有效数字及其运算

第 17卷第 6期 2005年 11月 Vo1．17 No．6 2005．11 嘉兴学院学报 Journal of Jiaxing University 有 效 数 字 及 其 运 算 孙红贵“，朴 影，张建华 (嘉兴学院机电工程学院，浙江嘉兴 314001) 摘 要 ：该文较为详尽地讨论 了有效数字及其一般分析计算方法．针对实验教材、教学 参考书中的一些不够 明确的 内容给 出了明确的解答．对于提 高实验结果 的分析质量有较大 帮助． 关键词 ：有效数字；可靠数字；存疑数字；不确定度 中图分类号：o4—34 Availability Figures and Their Calculation SUN Hong—gui，PU ying，ZHANG Jian—hua (School of Mechanism and Electrics，Jiaxing University，Jiaxing Zhejiang 314001) Abstract：In this paper we expound the availability figures and their calculation meth— ods，give some definite answers to some confusable contents in other physical experiment reference books and hope they will be helpful for improving the analysis quality of experi— ment results． Key words：availability figures；credible figures；incredible figures；uncertainty． 文献标识码 ：A． 文章编号 ：1008—6781(2005)06—0031—03 在物理实验中测量是必然的，测量中总会有误差的存在．那么在实验 中如何正确读取数据 ，并科学 合理地对测得 的数据进行运算 ，尽可能反映测量应有的准确度 ，是有效数字及其运算所要讨论 的问题． 1 有效数字的意义 1．1 有效数字来源于测量仪器 在实验中，实验者从仪器上读取测量数值时 ，所读取 的数字的准确程度受仪器本身的精密程度的限 制．为了获得合理的测量结果，在读取数字时，通常的作法是：首先读出能够从仪器上直接读出的准确数 字，然后对余下部分再进行估计读数．也就是把读数过程分为“直读”和“估读”．如图 1所示，用米尺测量 一 物体的长度时 ，物体的长度在 3．3～3．4cm之间 ，首先直 读 ，可以直接读出的部分是 3．3cm；然后估读 ，估计余下部 分约 为 0．6mm，即 0．06cm．物体 的长度 的测 量值 为 3． 36cm．其 中 3．3cm部分为可靠数字 ，0．06cm部分为存疑数 字．测量结果中可靠数字与存疑数字的总和叫有效数字．如 上例 中测得物体的长度3．36cm，示三位有效数字． * 收稿 日期 ：2005—03—27． ** 作者简介：孙红 贵 (1965一 )，男 ，黑龙江哈尔滨人 ，嘉兴学院机 电工程学院 图 1 长度测量 与有效 数宇 维普资讯 http://www.cqvip.com 嘉兴学院学报 第17卷第 6期 1．2 关于有效数字的说明 1．2．1 有效数字的位数由被测量物体的大小和测量仪器的精度决定．如前例 中测得物体的长度为3．36 cm，有三位有效数字．若用千分尺来测量，其有效数字的位数有五位． 1．2．2 第一个非零数字前的零不是有效数字．或者说用来表示小数点位置的零不是有效数字．例如 ：0． 568和 0．0568都是三位有效数字． 1．2．3 第一个非零数字开始的所有数字 (包括零)都是有效数字．例如 ：2．7O是三位有效数字 ，而 2．700 则是四位有效数字． 1-2．4 因有效数字来源于测量仪器 ，反映了测量仪器的测量精确程度 ，所 以单位 的变换不应改变有效 数字的位数．如 76．2m可记为 0．0762km．若用 cm和 mm作单位时，虽然从角度来看，可记为 7620cm和 76200mm，但从测量角度来看，这一做法改变了有效数字的位数 ，是错误的．采用科学计数法 可 以保证在单位变换下，有效数字位数的不变，如 ： 76．2m 一 7．62× 10。cm 一 7．62× 10 mm 因此 ，实验中要求尽量使用科学计数法表示实验数据． 1．2．5 有效数字与不确定度的关系．有效数字的末位是估读数字，存在不确定性．一般情况下不确定度 的有效数字只取一位，它的位置与测量结果的存疑位对齐；有时不确定度需要取两位数字，其最后一个 数位与测量结果的存疑数字的位置对应． 由于有效数字的最后一位是不确定度所在的位置，因此有效数字在一定程度上反映了测量值的不 确定度(或误差限值)．测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小 ；有效数字位数越少 ，相对 不确定度就越大．可见，有效数字可以粗略反映测量结果的不确定度． 2 有效数字的运算 间接测量结果的得出必须经过有效数字的运算．只有客观合理的运算，才能保证测量结果的准确性 和可信性．原则上 ，运算结果中保留的有效数字位数 ，应当以不确定度传递公式来决定．但是为 了方便 ， 一 般可采用一些简化规则． 2．1 四则运算．有效数字在参与四则运算时，对应数位上只要有可疑数字参 与，该位 即为可疑位．下面 各例中加点数字为存疑数字． 2．1．1 加减运算 4196 + 59752 479 立 式 中后三位“3 5 2”都是存疑数字 ，如果保 留一位 ，应将“5 2”舍去 ，但在这种情 况下，5是舍还是 留 呢?根据等几率原则，按照“四舍六人五凑偶”的办法处理，即能使上一位变成偶数的 5保留，使上一位 变成奇数 5的舍去．因此本题结果是 47．94． 2．1-2 乘法运算 59 × 4京 47832 48916 53‘6‘9‘9‘2‘ 保 留一位存疑数字 ，结果为 5．4×10。．特别注意 ，结果不能写成 5400，如果写成 5400，则表示四位有 效数字 ，是错误的． 维普资讯 http://www.cqvip.com 孙红贵 ，祁 月盈 ，张建华 ：有效数 字及其运 算 2．1．3 除法运算 1625 24， 一 24 1 50 】44 6O 一 48 12O 12O 当余数全部为可疑数字时，商的对应位就是商的第一个可疑位 ，如图中箭头所示．本例结果为 l6． 事实上 ，四则运算结果的有效数字的位数，一般与参与运算 的最短的有效数字相同． 2．2 乘方、开方结果的有效数 字可以认 为与其底的有效数字相同 2．3 对数 函数 、指数 函数和三角函数运算结果的有效数字应 当按照不确定度传递公式决定 也就是说 ，首先计算出函数的不确定度 ，然后根据 函数的不确定度来确定函数的运算结果的有效数 字的位数．假设 N —F(z)，z— z_4-Ax，即 z的不确定度为 Ax．Ax使 N也产生一个不确定度 △N， 把 Az和 △N看成是增量，借用数学中的微分公式 dN 一 z可以得到不确定度的传递公式 △N 一 △z，利用传递公式求出△N之后，把由N—F(z)计算出来的N与△N相比较，就可以确定 N的不确定度．例如 ，已知 一 3．26，求 Y一 10 的有效数字． 根据不确定度的传递公式 ，△ 一 dyAx— In 10 ． 10。·Ax，因 z的存疑数字在小数点后第二位 ，所 以 Ax一 10～．代入 △ 式，求得 Ay一 0．04×10。，而 Y一 10 一 1819．700859，与 △ 比较 ，确定 Y — 1．82× lO。． 2．4． 自然数与常数 1)自然数不是测量值 ，不存在误差，因此 自然数 的有效数字是无穷多位 ； 2)常数 丌、e等 的有效数字的位数，可以与参加运算 的量中位数最少的有效数字相同或多取一位． 3 常见问题 3．1 有效数 字运算时，尾数的舍、入容易出错 人们习惯于通常的“四舍五入”法则，但对于大量尾数分布几率相同的数据来说，这样舍入不合理， 因为人的几率比舍的几率大．为了让几率分布相同的数据有相等的舍、入几率，小于五的舍，大于五的 入，等于五则把尾数凑成偶数． 例如 ：1．535取 3位有效数字为 1．54；12．405取四位有效数字为 l2．4O． 3．2 混合运算时，结果的有效数字一般应该先计算其绝对误差，然后依据绝对误差决定混合运算结果 的有效数字 例如 ：已知 ro一 8．44±0．03cm，丁一 1．1373±0．0002S，g一 980．12cm／s ，求 ： ● ’ D一 g r0 T2结果的有效数字的位数． 解 ：首先 ，因为在各分量 中 r0的有效数字是三位 ，最少 ，以它为准 ，丁，丌，g都取四位 ，结果保留四位． D一 筹 ≈270．8 然后计算绝对误差 ： 0 "D 一 √c +c争 一√c +c ≈ ≈ 运算 中，舍去了小于最大相对误差 1／3的分量．(下转第 46页) 维普资讯 http://www.cqvip.com 嘉兴学院学报 第 17卷第 6期 命题 1(2)可知结论成立； (3)类似于(2)可证明若 在D (o<户<2)有 界 紧)，则C 在D 上有界 紧)．若 在OD上无角 导数且 C 在 D (户> 口+1)上有界：若 P> 2，由 P> 口+ 1得 + 1 户< (1+ 1 2，故 由命题 2 f1)知 C。在 D 上紧 ；若 0< P 2，由P> 口+1 得 2一P< 1～口，故由命题 2(2)知 C 在 D 上 也紧 ． 其余的结论可利用命题 1类似证 明，定理 证毕． 上面的定理表明若由 导出的 C 在 D 上不 是 紧的，则C 在 D < P< 2)和 D (户> 口+ 1> 0)上也不紧；特别 的若 导出的 C 在 D 上 不紧且 在 OD上无角导数，则其导出的C 在 D (p> 口+1> 0)上无界．故由定理B及定理 1立 即可得我们所要的定理 ． 定 理 2 (1)当2 P一口+1时 ，D上任意 ，C 在 D 上有界 而当P> 口+1> 0时 ，存在 使 C 在 D 上无界 ； f2)当P>口+1> 0或 0< P一口+1 2时 ， 在 OD上无角导数是 C 在 D 上紧的必要非充分 条件 ； (3)当P>口+1> 0或 0 a+1> 0时，若 为 内函数且在 OD上无角导数，则 C 在 D 上无界． 参考文献 ： [1]MacCluer B D，Shapiro J H．Angular derivations and compact composition on the Hardy and Bergman spaces EJ]．Can J Math。1986。(38)：878～906． E2]徐宪民．复合算子理论[M]．北京 ：科学出版社，1999． [3]Zhu K H．Analytic Besov spaces[J]．sl J Math Analysis and Applications，)1991，(157)：318～336． E4]陈泳．加权 Diriehlet型空间上的紧复合算子 [J]．浙江师 范大学学报 (自然科学 版，2002，(25)：224～227． [s]徐宪民．加权Dirichlet空间上的复合算子亡J]．数学杂志， 1994，(14)：165～ 175． E6]Hibschweiler R A．Composition operators on Diriehlet—— type spaces[J]．Proc Amer Math Soc，2000，(128)：3579~3586． (责任编辑 方土) (上接第 33页) ： O 'D ． D ≈ 1O'D 一 ’ 最后 ，把 。与D 比较可见，D 一 271± 1 CliO_ ．当已知条件中没有给出误差时，一般取结果的有效数字位 数与分量中有效数字最少的一样就可以了． 3．3 关于直读表 的读数 的有效数 字，取 决于 表的精度与其满该度量程的乘积 图 2所示 是量程为 100mA 的 电流 表．图 中，表的读数容易被读做 66．2mA．事实上，这 一 规格 的表的不确定度 ：d一1．0×100—1mA， 也就是说，66．2中的个 位“6”已经 是“存 疑数 字”了，没有必要再“估读 ”一 位，因此 ，表 的读 数应是 66mA． 参考文献 ： r1]林抒。龚镇雄．普通物理实验EM]．北京：人民教育出 版社 ,1 981． 图 2 1．O级 电流表 的读数 [2]熊春宝，姬玉华．测量学[M] 天津：天津大学出版 社 ，2004． [3]隋成华，施建青．大学基础物理实验教程[M]．杭州：浙江电子音像出版社，2001． (责任编辑 丁火) 维普资讯 http://www.cqvip.com