海伦公式

海伦的再次探究与延伸 ——关于多边形面积的计算问 Further Exploration of The Heron's Formula ______ With regard to the calculation of polygon area 广州市广外附设外语学校：谢雨扬 何恰闻 指导老师：朱文广 洪建刚 完成时间：2009年 8月 8日星期六 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 摘要： 天地有大美而不言,四时有明法而不议,万物有成理而不说。在我 们的课题中，我们研究了具有数学之美的海伦公式。并通过研 究，我们掌握了有关多边形面积计算的规律。首先，我们对海 伦公式的各种证法进行了研究，继而推出关于圆内接四边形的 面积公式。于是我们继续对五边形进行探究.但是五边形以上的 图形不固定，仅知道边长，面积是不确定的。但于任何 n 边形 都可以分割成 n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面 积的公式。比如说测量多边形土地的面积的时候.我们只需测每 两点间的距离，就可以方便地导出答案。后来我们转换思路， 从坐标的角度对此研究，并获得了平面多边形面积公式。继而 推出空间多边形面积公式，并得出一个简洁优美的定理。从探 索中，我们体会到了数学的奇妙，以及创新的快乐 关键字：面积、海伦公式、多边形、n、空间勾股定理 备注：我们相信我们研究出来的空间勾股定理以及其猜想，具有独立性和创新性，但由 于我们的数学水平不足，尚不能完整证明，希望看到这篇文章的教授们能够仔细研究一 下，感激不尽 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Abstract: There are great beauty in the world which never show.The four season have clear rules but they never say.Everything have its routine.In our topic,we study a beautiful formula which is called the Heron's Formula. Through research, we got the rule about the calculation of polygon’s area.At the beginning,we made a survey on every prove of Heron’s formula.Then we got a formula of inscribed circle of arbitrary quadrilateral.Then we continued to explore pentagon’s area calculation.But the pentagon’s area is not fixed,including polygon which sides are more than five.We can’t calculate its area only knowing its length of sides.But polygon can be divided into triangles.So Heron’s formula is available for polygon’s area calculation.For example,when measureing the land,we can just measure the distance of every two points then we can calculate the area of the land. So we changed our mind and attained a formula about polygon on the plane from the standpoint of coordinate.Then we extended it to polygon in the space and acquired an elegant formula.Through exploration,we felt the fantasy of mathematics and the happiness of innovation Keywords: area, Heron formula, polygon, n, points Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 文摘 1. 引言 2.圆内接四边形的海伦公式 3.积公式，探讨数学领域 4.从坐标角度探究多边形面积计算公式 5.多边形面积计算公式的应用 6.空间多边形的探究 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 1.引言： 早在古代，叙拉古国海伦（Heron）二世发现公式，利用三角形的三条边来求取三角形 面积，即 2 ,))()(( cbapcpbpappS ABC ++ =---=D ,如此简洁的公式，完全符合 数学之美 而海伦公式的变形同样具有美的特征 S= ))()(( cpbpapp --- = ))()()(( 4 1 acbbcacbacba -+-+-+++ ① = ])(][)[( 4 1 2222 baccba ---+ ② = )]2()[2( 4 1 222222 abcbaabcba --+-+-+ ③ = 222222 )(4 4 1 cbaba -+- ④ = 444222222 222 4 1 cbacbcaba ---++ ⑤ 这引起了我们的兴趣 首先我们对海伦公式的各种证法进行了研究。如图，任意三角形△ABC，边长分别为 a、b、 c，求三角形的面积 b a c A C BH 证明：如图 HA⊥BC，设 CH=y,BH=x,根据勾股定理，得: ï î ï í ì -= -= -= 222 222 xcHA ybHA yax x = a bca 2 222 -+ y = a bca 2 222 +- Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. HA = 22 yb - = 2 2222 2 4 )( a bcab +-- = a bcaba 2 )(4 222222 +-- ∴ S△ABC = 2 1 a*HA= 2 1 a× a bcaba 2 )(4 222222 +-- = 222222 )(4 4 1 cbaba -+- 则 2 ,))()(( cbapcpbpappS ABC ++ =---=D 证法二：余弦定理 运用余弦定理 Cabbac Ð-+= cos2222 对其进行证明。 要证明 2 ,))()(( cbapcpbpappS ABC ++ =---=D ])(][)[( 4 1 2222 baccbaS ABC ---+=D则要证 即 ])()cos2][()cos2()[( 4 1 22222222 baCabbaCabbabaS ABC ---+-+-+=D = )cos22)(cos22( 4 1 CababCabab -+ = 2 1 ab×sinC 此时 S = 2 1 ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 从中我们得到了一个优美而简洁的公式，而同时我们也产生了更多的疑问。于是我们就这个 美妙的公式进行了更深入地探究 我们研究的问题共有以下三个 1， 如此优美的公式能否推广到四边形，五边形甚至 n边形呢？即能否只知道边长求得多边 形面积 2， 我们能否通过获得多边形的坐标来求得多边形面积，以及指导生活生产 3， 当多边形处于一个空间坐标系中，我们能否找到关于这个多边形面积的一些普遍规律 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2.圆内接四边形的海伦公式 引言中，我们研究了三角形海伦公式。于是我们猜想四边形中是否存在同样的规律。由于只 给定边长的四边形是无法确定形状的，因此我们将其放入圆中讨论。如图，设圆内接四边形 □ABCD，边长分别为 a、b、c、d a e f c d b E B C A D 延长 DA，CB交于点 E。 设 EA = e EB = f ∵∠EAB+∠BAD =180○ ∠BAD+∠C =180○ ∴∠EAB =∠C ∴△EAB～△ECD ∴ ea f + = cf e + = d b ABCD EAB S S 四边形 D = 22 2 bd b - 解得： e = 22 )( bd cdabb - + ① f = 22 )( bd bcadb - + ② 由于 S 四边形ABCD = 2 22 b bd - S△EAB 将①，②跟 b = 22 22 )( bd bdb - + 代入公式变形④，得： ∴S 四边形ABCD = 2 22 4b bd - 222222 )(4 fbebe -+- 2 222 22 222 2222 222 22 422 22224 2 22 )] )( )( )( )( )( )([( )( )()(4 4 bd bcadb bd bdb bd cdabb bd bdcdabb b bd - + - - - + - + - - -+- = { }2222222222422 4 2 22 ])()()[()()(4 )(4 bcadbdcdabbdcdab bd b b bd +--++--+ - - = Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2222222222 22 ]}{}{}[{)()(4)(4 1 bcadbdcdabbdcdab bd +--++--+ - = )2()()(4 )(4 1 2222224422222222 22 cbdabdbddcbabdcdabbd ---+++--+ - = )()([)()(4 )(4 1 22222222222222 22 cabddcdbabbdcdabbd +--+--+--+ - = = )(4 1 22 bd - ])()(4[)( 222222222 abdccdabbd --+-+- = 4 1 )22)(22( 22222222 cabdcdababdccdab -++-+--+++ = ])()][()()[( 4 1 2222 cadbdbca --+--+ = ))()()(( 4 1 acdbbcdacdbadcba -++-++-++-++ = ))()()(( dpcpbpap ---- 我们得出结论，对于任意圆内接四边形□ABCD，边长分别为 a、b、c、d，其面积 S 四边形 = ))()()(( dpcpbpap ---- ，p= 2 dcba +++ 应用：已知圆内接四边形 ABCD的边长 AB=2，BC=6，CD=DA=4. 求四边形 ABCD的面积. B A C D 解法一：利用海伦公式的推广 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 38)48)(48)(68)(28())()()(( 8 2 4462p =----=----= = +++ = dpcpbpapS ABCD四边形 解法二：如图，连结 BD，则四边形面积 S＝S△ABD＋S△CBD＝AB?ADsinA＋BC?CDsinC ∵ A＋C＝180°， ∴sinA＝sinC， ∴ S＝（AB?AD＋BC?CD）?sinA＝16sinA. 在△ABD中，由余弦定理得 AABD cos1620cos42242 222 -=´´-+= 在△CDB中， CACBD cos4852cos1620,cos522 -=-\-= 又 38s16, 2 3sin, 2 1cos,coscos ===\=\-= inASAAAC 得 在印度婆罗摩笈多（约 593-665后）的书中，就已经能够算出圆内接多边形的面积(解法二)， 称为婆罗摩笈多公式. 于是我们继续探究我们的猜想，对于任意圆内接 n边形，边长分别为 a1、a2……an，其 面积能够只用边长来表达。 遗憾的是，我们在推广五边形时并无发现类似公式，也没有找到只用边表达的公式 但是，在圆内接五边形中，我们只需知道一个角和这五边形五条边的边长，就可以求出五 边形的面积 D B C E A 如果我们知道∠EAB的角度，则我们可以利用余弦定理求出 BE的长度，从而求出三角形 EAB的面积，再用上面推出的公式求出四边形 BCDE的面积 则可以得出五边形 ABCDE的面积。 其中，特殊如正多边形，只需知道边长和边数便可求得该多边形的面积正 n边形的面积公 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 式为 )180cot( 4 1 2 n an o ×× 首先我们可以将各个点跟正多边形的中心，则每个三角形的面积可以表示为 )180cot( 4 1) 2 360cot( 2 1a 2 1 2 n a n aS °° =×××=三角形 所以 )180cot( 4 1 2 n anS o ××=总 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3.从坐标角度探究多边形面积计算公式 于是我们从上面的探究抽脱出来，转换思路，从坐标的角度来计算多边形面积。首先我们 从 四 边 形 开 始 研 究 。 如 图 ， 已 知 四 边 形 ABCD ， 其 坐 标 分 别 为 A （x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),求其面积 ABCDS y X A(X1,Y1) D(X4,Y4) C(X3,Y3) B(X2,Y2) A1 B1 D1 C1 我们可以把四边形 ABCD 的面积看做梯形 AA1B1B 加上梯形 BB1C1C（再减去梯形 AA1D1D）和梯形 DD1C1C 即 S 四边形ABCD=S 四边形 AA1B1B+S 四边形 BB1C1C- S 四边形 AA1D1-S 四边形DD1C1C S=1/2（X1+X2）(Y2-Y1)+1/2(X2+X3)(Y3-Y2)-1/2(X1+X4)(Y4-Y1)-1/2(Y3-Y4)(X3+X4) =1/2 （ X1Y2-X1Y1+X2Y2-X2Y1+X2Y3-X2Y2+X3Y3-X3Y2-X1Y4+X1Y1-X4Y4+X4Y1-Y3X3-Y3X4+Y4 X3+Y4X4） =1/2［X1(Y2-Y4)+X2(Y3-Y1)+X3(Y4-Y2)+ X4(Y1-Y3)］ 同理，当该多边形为五边形时。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. yX A(X1,Y1) D(X4,Y4) C(X3,Y3) B(X2,Y2) E(X5,Y5) A1 B1 D1 C1E1 S 五边形=S 四边形AA1B1B+ S 四边形AA1E1E- S 四边形 EE1D1D- S 四边形DD1C1C 即 S 五边形ABCDE=1/2［（Y2-Y1）（X1+X2）+（Y3-Y2）（X2+X3）-（Y3-Y4）（X3+X4）-（Y4-Y5） （X4+X5）-（Y5-Y1）（X1+X5）］ =1/2 （ X1Y2-X1Y2-X1Y1-X2Y1+X2Y3+X2Y3+X3Y3-X2Y2-X3Y2-X3Y3-X4Y3+X3Y4+Y4X4-X4Y4-Y4 X5+Y5X4+Y5X5-Y5X1-Y5X5-Y1X1+Y1X5） =1/2［X1(Y2-Y5)+X2(Y3-Y1)+X3(Y4-Y2)+X4(Y5-Y3)+X5(Y1-Y4)］ 我们可以发现了这样的一条规律，即凸 n边形的面积 )( 2 1 1 1 1 - = + -= å i n i ii yyxS 而且当该多边形为凹多边形时，公式仍成立 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. YX B(x2,y2) A(x1,y1) D(x4,y4) C(x3,y3) D1A1 B1 C1 S 凹四边形 ABCD=S 四边形 AA1B1B+ S 四边形 BB1C1C— S 四边形 AA1D1D- S 四边形 DD1C1C=1/2 ［X1(Y2-Y4)+X2(Y3-Y1)+X3(Y4-Y2)+X4(Y1-Y3)］ 于是我们得出结论，已知任意多边形（凹或凸）的点的坐标顺时针为（X1 ,Y1）,(X2,Y2),(X3,Y3)……(Xn,Yn) ,则 å = -+ -×= n i iii yyxS 1 11 )(2 1 (其中 Yi+1为 Xi顺时 针方向的下一个点，Yi-1为 Xi逆时针方向的上一个点) 为了方便研究，我们将此坐标公式用行列式表示 2 12 11 12 11 2 1 ][ 2 1 yy yy xx xx S i i i i n i - - - - = + + + + - = å 应用： (1) 假设某测量队需测量一块不规则多边形草地的面积，已知其顶点坐标分别 为 A(2,2),B(4,5),C(8,6),D(9,3),E(5,1) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 则其面积可套用上面的公式 å = -+ -×= n i iii yyxS 1 11 )(2 1 以点 A为起始点（x1,y1） 则 23)]85(3)39(6)28(5)53(2[ 2 1 =-´+-´+-´+-´=S （2）利用计算机编程来求多边形面积（已知多边形的点的坐标，用编程语言进行编写 程序，实现功能） Option Explicit Private Type Point X As Long Y As Long End Type Dim pCount As Integer '点总数 Dim P(20) As Point '点坐标 Private Sub Form_Load() Me.AutoRedraw = True Me.ScaleMode = 3 pCount = 0 End Sub Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Private Sub Form_MouseDown(Button As Integer, Shift As Integer, X As Single, Y As Single) If pCount > 19 Then Exit Sub If Button = vbRightButton Then pCount = 0 P(pCount).X = X P(pCount).Y = Y pCount = pCount + 1 DrawPolygon xCalc End Sub Private Sub DrawPolygon() Dim i As Integer Me.Cls '顶点 Me.ForeColor = vbBlue Me.DrawWidth = 5 For i = 0 To pCount - 1 Me.PSet (P(i).X, P(i).Y) Next If pCount < 3 Then Exit Sub '边线 Me.DrawWidth = 2 For i = 0 To pCount - 2 Me.Line (P(i).X, P(i).Y)-(P(i + 1).X, P(i + 1).Y) Next Me.Line (P(0).X, P(0).Y)-(P(pCount - 1).X, P(pCount - 1).Y) '多边形的分割 Me.DrawWidth = 1 Me.ForeColor = vbRed For i = 2 To pCount - 2 Me.Line (P(i).X, P(i).Y)-(P(0).X, P(0).Y) Next End Sub Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. '计算各块面积 Private Sub xCalc() Dim i As Integer Dim S As Single Dim tS As Single '三角形的三个顶点为 ABC '坐标分别为(a1，a2)、(b1，b2)、(c1，c2) '那么面积 'S = (AB * BC * Sin ∠ ABC) / 2 = (a1b2 + b1c2 + c1a2 - a1c2 - a2b1 - b2c1) / 2 '这里始终用第一个点作 B点,用相邻点作 AC点 For i = 1 To pCount - 2 S = P(i).X * P(0).Y + P(0).X * P(i + 1).Y + P( i + 1).X * P(i).Y S = S - P(i).X * P(i + 1).Y - P(i).Y * P(0).X - P(0).Y * P(i + 1).X S = S / 2 Me.CurrentX = P(i).X Me.CurrentY = P(i).Y Me.Print "(" & P(i).X & "," & P(i).Y & "):"; S tS = tS + S Next If tS < 0 Then tS = -tS Me.Caption = "总面积：" & tS End Sub 已知多边形的各点的坐标（x1,y1,x2,y2…………..）如何实现求面积的功能 public float area_of_polygon(Point[] APoints) { if (APoints.Length < 3) return 0; float s = APoints[0].Y * (APoints[APoints.Length - 1].X - APoints[1].X); for (int i = 1; i < APoints.Length; i++) s += APoints[i].Y * (APoints[(i - 1)].X - APoints[(i + 1) % APoints.Length].X); return System.Math.Abs(s / 2); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Text = area_of_polygon(new Point[] { new Point(0, 0), new Point(0, 10), new Point(10, 10), new Point(10, 0)}).ToString(); } Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 4.空间多边形的探究 得出利用坐标计算平面多边形面积之后，我们又将坐标放入三维坐标系中，此时这一个 公式发生了很大的变化，但却更能反映它的本质。如图，在空间坐标系中有三角形 ABC， 其坐标分别为 A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),问其面积为多少 Y Z X C(X3,Y3,Z3) A(X1,Y1,Z1) B(X2,Y2,Z2) 这里，我们采用向量的求解 2 13 12 13 12 2 13 12 13 12 2 13 12 13 12 13 12 13 12 13 12 13 12 13 12 13 12 131313 121212 2 1 2 1 ),,( ),,( yy yy xx xx xx xx zz zz zz zz yy yy ACABS k yy yy xx xx j xx xx zz zz i zz zz yy yy ACAB zzyyxxAC zzyyxxAB ABC - - - - + - - - - + - - - - =´= - - - - + - - - - + - - - - =´ ---= ---= D 从中我们得出空间三角形的面积公式，那么对于空间上的任意多边形，面积公式又应该如何 表达呢？？ 设空间上有平面?，该平面上有 n个点，按顺时针方向分别为 a1,,a2.....an，其坐标 a1(x1,y1,z1),a2(x2,y2,z2)⋯⋯⋯⋯an(xn,yn,zn) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ),,( 12121221 zzyyxxaa ---= ),,( 13131331 zzyyxxaa ---= ),,( ...... 1111 zzyyxxaa nnnn ---= k yy yy xx xx j xx xx zz zz i zz zz yy yy aaaaS 13 12 13 12 13 12 13 12 13 12 13 12 31211 - - - - + - - - - + - - - - =´=则 k yy yy xx xx j xx xx zz zz i zz zz yy yy aaaaS 14 13 14 13 14 13 14 13 14 13 14 13 41312 - - - - + - - - - + - - - - =´= …………. k yy yy xx xx j xx xx zz zz i zz zz yy yy aaaaS n n n n n n n n n n n n nnn 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 111 - - - - + - - - - + - - - - =´= ------- 2 12 11 12 11 2 1 2 12 11 12 11 2 1 2 12 11 12 11 2 1 21 ][ ][ ][ 2 1........ 2 1 yy yy xx xx xx xx zz zz zz zz yy yy SSSS i i i i n i i i i i n i i i i i n i n - - - - + - - - - + - - - - =+++= + + + + - = + + + + - = + + + + - = å å å 即空间多边形面积 S = 2 1 111 2 1 111 2 1 111 ])(2 1[])( 2 1[])( 2 1[ ååå + -+ + -+ + -+ -+-+- n i ii n i ii n i ii xxYZZXyyZ 最终，我们得出以下结论，对于空间任意多边形（无论是凸还是凹）的面积 S的平方等 于它在三个互相垂直的平面 XOY ,YOZ,ZOX正投影面积的平方和 从另外一个角度看，我们惊奇地发现空间任意多边形面积（无论是凸还是凹）S的平方 等于它在三个互相垂直的平面 XOY ,YOZ,ZOX正投影面积的平方和 这个定理，我们称之为空间勾股定理！此时，我们心中又产生了一个疑问 猜想：空间任意平面区域 D 的面积 S 的平方等于它在三个互相垂直的平面 XOY ,YOZ,ZOX正投影面积的平方和 翻开十七，十八世纪的历史，我们从有限突破到无限，诞生了微积分这般伟大的思想， 成为现代社会的奠基之石。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 那么，当多边形的边数从有限突破到无限的时候，直的将会变成曲的，而这个空间勾股 定理也会发生质的变化。 以下是我们对这个猜想的简单论证 r r x A B C 如图，若我们弧形 ABC的面积 S，就可以采用从有限到无限的思想 2 2 2 1 2 1 ÷ ø ö ç è æ D-D=D xrxS ABC 然后，我们将这段弧分割成 n个三角形，当 xD 趋向于 0时，n趋向于正无穷，这无数 个三角形无限趋近于这个弧形的面积 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. BS C D E F G H A I J K L M N O P Q R 根据这个思想，我们可以推出 rCBxrxnS n x ×=D-D= +¥® ®D ) 2 1) 2 1(lim 2 1 22 0 设∠BAC=q 则 rrCB ×=×= qp p q 2 2 ) 2 2 1 rS ×= q 特别的，当 pq 2= ，我们就可以求出圆的面积 2r×= pS 从中，我们可以想象出，任意的区域都可以用多边形不断逼近，当该多边形边数趋向无 穷时，便可无限逼近区域面积 最终，我们得出一个结论 在空间有平面区域 D，其面积为 S，构建空间直角坐标系 XYZ，该区域在这三个互相 垂直的平面 XOY ,YOZ,ZOX的正投影面积为 S1，S2，S3必定满足 2 3 2 2 2 1 SSS ++=S 这个就是我们所探究的空间勾股定理的本质之所在 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 【参考文献】 (1)《大学数学》2007年四月 国际刊号：ISSN1672-1454 国内刊号：CN34-1221101 （2）韩玉良 、于永胜、 郭林著 《微积分》（第三版） 清华大学出版社 【作图工具】：几何画板 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.