小学几何问题的典型解法

几何图形的十大解法（30例） 几何图形的十大解法（30例） 体会： 注重积累，勤动笔。在平时的教学中，无论看到的、听到的、想到的、捕捉到的，灵感的一刹那都及时记下，并附上自己的一些想法和体会。 虚心好学，勤动口。无论是老教师还是青年教师，本校教师还是外校、外地老师，能者都是我的老师，学生也是我的老师。我的一些巧解有的就来自于学生。在与老师、学生的互动中提高自己的解题能力。 善于，勤动脑。在备课时，经常分析学生解题中的一些想法和方法，找到学生最容易接受、理解的方法。同时我尽可能掌握本题的不同解法，以获得答案较为简洁的方法和策略。 说明： 1）首先要以扎实的几何基础知识为铺垫，才能提升灵活解题的技能技巧。 2）以下十种解法是不全面的，更谈不上是最好的。唯有在实践中不断摸索、总结，找到适合自己的解题方法，才能不断创新。追求是永无止境的。 1、​ 分割法 例： 将两个相等的长方形重合在一起，求组合图形的 面积。（单位：厘米） 2 解：将图形分割成两个全等的梯形。 7​ S组=（7-2+7）×2÷2×2=24（平方厘米） 例： 下列两个正方形边长分别为8厘米和5厘米， 求阴影部分面积。 解：将图形分割成3个三角形。 S=5×5÷2+5×8÷2+（8-5）×5÷2 =12.5+20+7.5=38（平方厘米） 例： 左图中两个正方形的边长分别为8厘米和6厘米。 求阴影部分面积。 解：将阴影部分分割成两个三角形。 S阴=8×（8+6）÷2+8×6÷2 =56+24 =80（平方厘米） 2、​ 添辅助线 例：已知正方形边长4厘米，A、B、C、D是正方形边上的中点，P是任意一点。求阴影部分面积。 C 解：从P点向4个定点添辅助线，由此看出，阴影部分 面积和空白部分面积相等。 P S阴=4×4÷2=8（平方厘米） D B A 例：将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分，它们面积相差40平方厘米，平行四边形底20.4厘米，高8厘米。梯形下底是多少厘米？ 解：因为添一条辅助线平行于三角形一条边，发现40 平方厘米是一个平行四边形。 所以梯形下底：40÷8=5（厘米） 例： 平行四边形的面积是48平方厘米，BC分别是 A 这个平行四边形相邻两条边的中点，连接A、 B B、C得到4个三角形。求阴影部分的面积。 C 解：如图连接平行四边形各条边上的中点，可以 看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五， 阴影部分占了八分之三。 S阴=48÷8×3=18（平方厘米） 3、​ 倍比法 例： A B 已知：OC=2AO，SABO=2㎡，求梯形ABCD O 的面积。 解：因为OC=2AO，所以SBOC=2×2=4(㎡) D C SDOC=4×2=8(㎡) SABCD=2+4×2+8=18(㎡) 例： 7.5 已知：S阴=8.75㎡ ，求下图梯形的面积。 解：因为7.5÷2.5=3（倍） 所以S空=3S阴。 S=8.75×（3＋1）=35（㎡） 2.5 例： A 下图AB是AD的3倍，AC是AE的5倍， D E 那么三角形ABC的面积是三角形ADE的多少 倍？ B C解：设三角形ABE面积为1个单位。 则SABE=1×3=3 SABC=3×5=15 15÷3=5 所以三角形ABC的面积是三角形ADE的5倍。 4、​ 割补平移 例： A B 已知：S阴=20㎡， EF为中位线 E F 求梯形ABCD的面积。 D C 解：沿着中位线分割平移，将原图转化 成一个平行四边形。从图中看出，阴影 部分面积是平行四边形面积一半的一半。SABCD =20×2×2=80（㎡） 例： 10 求左图面积（单位：厘米） 5 解1：S组=S平行四边形=10×（5+5） 5 =100（平方厘米） 10 10 解2：S组=S平行四边形=S长方形 5 =5×（10+10） 5 =100（平方厘米） 10 例： 把一个长方形的长和宽分别增加2 a 2 厘米，面积增加24平方厘米。 b 求原长方形的周长。 2 2 解：C=（24÷2-2）×2 2 =20（厘米） 5、​ 等量代换 例： B 已知：AB平行于EC，求阴影部分面积。 A O C 解：因为AB//AC 所以S△AOE= S△BOC 8 则S阴=0.5S =10×8÷2=40（㎡） E 10 D （单位：m） 例：下图两个正方形边长分别是6分米、4分米。求阴影部分面积。 解：因为S1+S2=S3+S2=6×4÷2 4 1 所以S1=S3 3 2 则S阴=6×6÷2=18(平方分米) 例：已知三角形ABC的面积等于三角形AED的面积（形状大小都相同），它们重叠在一起，比较三角形BDF和三角形CEF的面积大小。（ C ） A A 三角形DBF大 B三角形CEF大 D C C两个三角形一样大 D无法比较 B F （因为S等量减S等量，等差不变） E 6、​ 等腰直角三角形 例： 已知长方形周长为22厘米，长7 厘米，求 阴影部分面积。 45° 解：b=22÷2-7=4（厘米） S阴=〔7+（7-4）〕×4÷2=20（平方厘米） 或S阴=7×4-4×4÷2=20（平方厘米） 例： 已知下列两个等腰直角三角形，直角边分别 是10厘米和6厘米。求阴影部分的面积。 解：10-6=4（厘米）6-4=2（厘米） 2 S阴=（6+2）×4÷2=16（厘米） 例： 下图长方形长9厘米，宽6厘米，求阴影部分 A B 面积。 45° 解：三角形BCE是等腰三角形 F FD=ED=9-6=3（厘米） E D C S阴=（9+3）×6÷2=36（平方厘米） 或S阴=9×9÷2+3×3÷2=36（平方厘米） 7、​ 扩倍、缩倍法 例： 如图：正方形面积是32 平方厘米，直角三角形 中的短直角边是长直角边的四分之一，三角形 a 面积是多少平方厘米？ b 解：将正方形面积扩大2倍为64平方厘米， 64=8×8 则a=8（厘米），b=8÷4=2（厘米） 那么，S=8×2÷2=8（平方厘米） 还原缩倍，所求三角形面积=8÷2=4（平方厘米） 例： 求左下图的面积（单位：米）。 30 解：将原图扩大两倍成长方形，求出长方 30 形的面积后再缩小两倍，就是原图形面积。 40 S=（40+30）×30÷2=1050（平方米） 例： 左图中每个小方格都是面积为3平方厘米的 正方形。求阴影部分面积。 解：先将3平方厘米缩小3倍，成1平方厘米。 面积是1平方厘米的正方形边长是1厘米。 将图形分割成两个三角形， S=3×2÷2+3×1÷2=4.5（平方厘米） 再将4.5扩大3倍，S阴=4.5×3=13.5（平方厘米） 8、​ 代数法 例：图中三角形甲的面积比乙的面积少8平方厘米,AB=8cm,CE=6cm。求三角形甲和三角形乙的面积各是多少？ A 甲 D 解：设AD长为Xcm。 再设DF长为ycm。 8 乙 F 8X+8=8(6+X)÷2 4y÷2+8=6（8-y）÷2 B C 6 E X=4 y=3.2 S甲=4×3.2 ÷2=6.4（c㎡） S乙=6.4+8=14.4（c㎡） 例：B 左图所示，AF=12，ED=10，BE=8，CF=6（单位：厘米） C 求四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ A E F D 解：AE-FD=2（厘米） 设FD长X厘米，则AE长（X+2）厘米。 SABCD=8（X+2）÷2+6X÷2+（8+6）（10-X）÷2 =4X+8+3X+70-7X=78（平方厘米） 例： 左图是一个等腰三角形，它的腰长是20厘米， 面积是144平方厘米。在底边上任取一点向两腰 20 20 作垂线，得a和b，求a+b的和。 a b 解：过顶点连接a、b的交点。 20b÷2+20a÷2=144 10a+10b=144 a+b=14.4 9、​ 看外高 例： 下图两个正方形的边长分别是6厘米和3厘米， 求阴影部分的面积。 解：从左上角向右下角添条辅助线，将S阴看 成两个钝角三角形。（钝角三角形有两条外高） S阴=S△+ S△ =3×（6+3）÷2+3×6÷2 =22.5（平方厘米） 例： 下图长方形长10厘米，宽7厘米，求阴影部分面积。 解：阴影部分是一个平行四边形。与底边2厘米 2 对应的高是10厘米。 S阴=10×2=20（平方厘米） 例：A D F 正方形ABCD的边长是18厘米，CE=2DE E （1）求三角形CEF的面积。 B C （2）求DF的长度。 解：BCF是一个钝角三角形，EFC也是一个钝角三角形 EC=18÷（2+1）×2=12（厘米） (1) SCEF=18×18÷2-12×18÷2=54（平方厘米） (2) DF=54×2÷12=9（厘米） 10、​ 概念法 例：一个直角三角形，三条边分别为4厘米、6厘米和7厘米。求它的面积。 解：因为三角形两条直角边之和大于第三边，两边之差小于第三条边，所以这个三角形的两条直角边分别为4厘米和6厘米。 S=4×6÷2=12（平方厘米） 例：用4个直角边分别是3厘米、4厘米和5厘米的直角三角形拼成一个菱形。这个菱形的周长和面积各是多少？ 解：因为菱形的两条对角线互相垂直，所以斜边5厘米只能作为 菱形的边长。 C=5×4=20（厘米） S=4×3÷2×4=24（平方厘米） 例：一个平行四边形两条边分别是5厘米和3厘米，其中一条高为 4.2，求这个平行四边形的面积。 解：因为在平行四边形中，高是一组对边间的距离，必定小于另一组对边的长度，所以高4.2厘米所对应的底只能是3厘米的边。 S=3×4.2=12.6（平方厘米）