一、行列式

nullnull线 性 代 数null§1 引言（二阶与三阶行列式） §2 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行(列)展开 §7 Cramer法则一 行 列 式n元排列null引出二阶与三阶行列式§1 引言一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组null方程组的解为由方程组的四个系数确定.null 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表定义即null主对角线次对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式nullnullnullnull则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方程组的系数行列式.null例1解二、三阶行列式二、三阶行列式定义记称为数表（5）所确定的三阶行列式.null三阶行列式的计算注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．null 如果三元线性方程组的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组null若记或null记即nullnull得null得null则三元线性方程组的解为:null 解按对角线法则，有null例 3解方程左端null例4 解线性方程组解由于方程组的系数行列式null同理可得故方程组的解为:null仅为引出高阶行列式的定义§2　逆序数问题 这种方法是否适合高阶情形？一、概念的引入一、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解1 2 3123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有二、排列及其逆序数二、排列及其逆序数问题定义把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.n 个不同的元素的所有排列的种数， 通常用 Pn 表示.由引例同理把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法.null例如 排列 32514 中， 定义 在一个排列中，如果一对数的前后位置与 大小顺序相反，就称为一个逆序。　由1, 2, …，n 组成的有序数组称为 n 级排列， 规定由小到大为自然顺序.排列的逆序数3 2 5 1 4null定义 一个排列中所有逆序的总数称为此 排列的逆序数.例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4逆序个数为313+1+0+1+0=5.null计算排列逆序数的方法方法 1分别计算排在1, 2, …, n, 前面比它大的数码之和, 即分别算出1, 2, …, n, 这 n 个元素的逆序个数， 这 n 个元素的逆序的总和即为所求排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性null计算出每个元素前面比它大的数码个数之和， 即算出排列中每个元素的逆序个数， 每个元素的逆序个数总和即为所求排列的逆序数.方法2例1 求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3 排在首位, 逆序个数为0;2 的前面比2大的数只有一个3,故逆序个数为1;null3 2 5 1 4于是排列32514的逆序数为5 的前面没有比 5 大的数,其逆序个数为 0;1 的前面比 1 大的数有 3 个,故逆序个数为 3;4 的前面比 4 大的数有 1 个,故逆序个数为 1;null例2 计算排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.null解null解null利用逆序数引出 高阶行列式的定义§3　n 阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式说明（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．null（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列二、n 阶行列式的定义二、n 阶行列式的定义定义nullnull说明1、行列式是根据求解方程个数和未知量个数相 同的线性方程组的需要而定义的;null例1　计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，同理可得解null即行列式中不为零的项为　例2 计算上三角行列式null分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解null例3null同理可得下三角行列式null例4 证明对角行列式null证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义证毕null例 5设证明证由行列式定义有nullnull由于 所以故null思考题已知null思考题解答解对应于nullnull为研究和计算高阶行列式 需要逆序数进一步的性质 §4　对换一、对换的定义一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为null因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为null所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.null推论奇排列调成自然排列的对换次数为奇数， 偶排列调成自然排列的对换次数为偶数.证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而自然排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.事实上，该定理为下面定理的特殊情况null自然顺序，即null一系列对换时改变，因此null两个集合中的元素相同null解下标的逆序数为下标的逆序数为null例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解431265的逆序数为null行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为nullnull解§5　行列式的性质§5　行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等.记null证明按定义又行列式 D 可表示为故证毕null性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.null于是则有null例如推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有 故证毕nullnull推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．证明：对于某一确定行中的 n 个元素，每一项 　　　都含有其中的一个且仅含有其中的一个null性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明null性质5　若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如null性质６　把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如计算举例计算举例例１计算行列式常用方法：利用上述性质把行列式化为上三角形行列式，从而得行列式的值．null解nullnullnullnullnull解nullnull例 3证明null证明null注意到：注意到： (行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．行列式的6个性质null课堂练习null计算提示：第一行乘 －１加到其余各行null计算提示：加到第一列null3. 计算四阶行列式null解nullnull证明奇数阶反对称行列式为零提示：每行提出　－１null计算提示：第一行乘 －１加到其余各行， 　　　讨论 　D1, D2 D3 　等§6 行列式按行(列)展开§6 行列式按行(列)展开一　余子式与代数余子式　 二、行列式按行(列)展开法则一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式例如null例如nullnull例如null证null得一般情形null注意到：null为null故得二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证nullnullnullnull 证用数学归纳法nullnull n-1阶范德蒙德行列式null推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证null同理null关于代数余子式的重要性质null解按第一行展开，得null例４ 计算行列式解null§6　Cramer法则§6　Cramer法则考 虑 方程个数与未知量个数相同情形非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念设有线性方程组则称此方程组为非 齐次线性方程组;则称此方程组为齐次线性方程组.null如果线性方程组的系数行列式不等于零，即且解可表示为：nullnull证明 为此，考虑 n+1 阶行列式按第 1 行展开，注意到第一行中 aij 的代数余子式为明显，第 1 行与第 i +1 行相同, 其值为零. 先证 (2) 是方程组 (1) 的解，即要证明null故有因而 即是线性方程组 (1) 解.null下面证明方程组解的唯一性我们证明：nullnull由代数余子式的性质可知,于是关于非齐次线性方程组的定理关于非齐次线性方程组的定理定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.null关于齐次线性方程组的定理如果齐次线性方程组(4)的系数行列式 , 则齐次线性方程组(4)没有非零解.齐次线性方程组定理(或) 仅有零解.null如果齐次线性方程组(4)有非零解, 则它的系数行列式必为零.有非零解.如果系数行列式以后我们还将证明：定理　null例1 用Cramer则解方程组解nullnullnull例2 用Cramer法则解方程组解nullnullnull解null思考题当线性方程组的系数行列式为零时, 能否用Cramer法则解方程组? 此时方程组的解为何?答：不能, 此时方程组的解为无解或有无穷多解.null方法 1：利用行列式性质计算提示：第一行乘 －１加到其余各行， 　　　讨论 D1, D2, D3 等.null四次多项式，分解因式计算null计算注意成为对角行列式null方法 2：化为三角行列式(1) 爪形的行列式计算 null提示：化为三角形.计算null(2) 行(列)相等计算计算null计算其中null计算注意到变成三角形行列式.null方法 3：递推方法（与归纳法结合）提示：按第一行展开，递推得计算null第一行展开，归纳得出nullnull利用对称性（或同样方法）可得消去null方法4：降阶法(按行(列)使高阶转化成低阶)按第一列展开按第一行展开，再分别计算null提示：按第一行展开，递推null提示：将第2，3，…，n 加到第一列.计算 n 阶行列式null方法5：升阶法 ( 加一行 ( 列 ) )nullnull方法5：利用范德蒙德行列式计算null考虑 n+1 阶范德蒙德行列式null计算注意null求第一行各元素的代数余子式之和方法6：代数余子式问题null提示第一行各元素的代数余子式之和可以表示成=