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特殊的正整数

2010-09-28 6页 doc 80KB 14阅读

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特殊的正整数第一章 初一数学竞赛讲座(二) 特殊的正整数 1、​ 知识要点 1、​ 完全平方数及其性质 定义1 如果一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数。如:1、4、9、…等都是完全平方数,完全平方数有下列性质: 性质1 任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9中的一个。 性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。 性质3 偶完全平方数是4的倍数。 性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。 性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数,完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。 2、​ 质数与合数 定义2 一个大于...
特殊的正整数
第一章 初一数学竞赛讲座(二) 特殊的正整数 1、​ 知识要点 1、​ 完全平方数及其性质 定义1 如果一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数。如:1、4、9、…等都是完全平方数,完全平方数有下列性质: 性质1 任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9中的一个。 性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。 性质3 偶完全平方数是4的倍数。 性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。 性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数,完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。 2、​ 质数与合数 定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数,那么a叫做质数。 定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数外,还有其他正约数,那么a叫做合数。 1既不是质数也不是合数。 3、​ 质数与合数的有关性质 (1)​ 质数有无数多个 (2)​ 2是唯一的既是质数,又是偶数的整数,即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。 (3)​ 若质数pa•b,则必有pa或pb。 (4)​ 若正整数a、b的积是质数p,则必有a=p或b=p. (5)​ 唯一分解定理:任何整数n(n>1)可以唯一地分解为: , 其中p1分析
:由题意得出abc=5(a+b+c),由此显然得质数a、b、c中必有一个是5,不妨设a=5,代入前式中再设法求b、c 解 因为abc=5(a+b+c),所以在质数a、b、c中必有一个是5,不妨设a=5, 于是5bc=5b+5c+25,即(b-1) (c-1)=6,而6=2 3=1 6, 则 ①或 ② 由①得b=3,c=4,不合题意,由②得b=2,c=7,符合题意。所以所求的三个质数是5,2,7。于是a2+b2+c2=78 评注:质数问题常常通过分解质因数来解决。 例4 试证:一个整数的平方的个位数字为6时,十位数字必为奇数。 分析:一个整数的平方的个位数字为6,则这个整数的个位数字必为4或6,从而可设此数为a=10g+4或a=10g+6 (g为整数)。 证明:设一个整数为a,则由一个整数的平方的个位数字为6知,此数可设为 a=10g+4或a=10g+6 (g为整数) ∴当a=10g+4时,a2=(10g+4)2=100g2+80g+16=10(10g2+8g+1)+6 当a=10g+6时,a2=(10g+6)2=100g2+120g+36=10(10g2+12g+3)+6 ∴十位数字必为10g2+8g+1和10g2+12g+3的个位数字,显然是奇数。 评注:类似地,可以证明:一个整数的个位数字和十位数字都是奇数,则这个整数不是完全平方数。 例4 三人分糖,每人都得整数块,乙比丙多得13块,甲所得是乙的2倍,已知糖的总块数是一个小于50的质数,且它的各位数字之和为11,试求每人得糖的块数。(安徽省初中数学联赛试题) 分析:设出未知数,根据题意,列出方程和不等式组,再通过质数的性质来求解。 解 设甲、乙、丙分别得糖x、y、z块,依题意得      ∵ 11=2+9=3+8=4+7=5+6,故小于50且数字和为11的质数只可能是29和47   若x+y+z=29,则可得4y=42 ,y不是整数,舍去。   若x+y+z=47,则可得4y=60,y=15,从而x=30,z=2 ∴甲、乙、丙分别得糖30、15、2块. 评注:本题的关键是分析出小于50且数字和为11的质数只可能是29和47。这类问题是常利用质数的性质来分析求得所有的可能值,再设法检验求得所要的解。 例5 如果p与p+2都是大于3的质数,那么6是p+1的因数。(第五届加拿大数学奥林匹克试题) 分析 任何一个大于3整数都可以示成6n-2,6n-1,6n,6n+1,6n+2,6n+3(n是大于0的整数)中的一种,显然6n-2,6n, 6n+2,6n+3都是合数,所以大于3的质数均可以写成6n+1或6n-1的形式,问题即证明p不能写成6n+1的形式。 解 因为p是大于3的质数,所以可设p=6n+1(n是大于0的整数),那么 p+2=6n+1+2=6n+3=3(2n+1) 与p+2是大于3的质数矛盾。 于是p≠6n+1,所以p=6n-1(n是大于0的整数),从而p+1=6n,即6是p+1的因数。 评注:对大于3整数合理分类是解决这个问题的关键。对无限多个整数进行讨论时,将其转化为有限的几类是一种常用的处理。   例6 证明有无穷多个n,使多项式n2+3n+7表示合数。 分析:要使多项式n2+3n+7表示合数,只要能将多项式n2+3n+7表示成两个因式的积的形式。 证明 当n为7的倍数时,即n=7k(k是大于等于1的整数)时 n2+3n+7=(7k)2+37k+7=7(7k2+3k+1) 为7的倍数,所以它显然是一个合数。 评注:本题也可将7换成其他数,比如:3、5、11等等。 例7求证:22001+3是合数   分析:22001+3不能分解,22001次数又太高,无法计算。我们可以探索2 n的末位数字的规律,从而得出22001+3的末位数字,由此来证明22001+3是合数。 证明:∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,29=256,…      ∴24k+1的末位数字是2,24k+2的末位数字是4,24k+3的末位数字是8,24k+4的末位数字是6(k为非负整数)     而2001=4 250+1 ∴22001的末位数字是2,∴22001+3的末位数字是5     ∴522001+3,显然22001+3≠5   所以22001+3是合数 评注:本题另辟蹊径,通过探索2 n的末位数字的规律来得出22001+3的末位数字,从而证明22001+3是合数。解数学竞赛题,思路要开阔。 例8 求证大于11的整数一定可以表示成两个合数之和。 证明 设大于11的整数为N 若N=3k(k≥4,且k为整数),则N=6+3(k-2),显然6和3(k-2)都是合数 若N=3k+1(k≥4,且k为整数),则N=4+3(k-1),显然4和3(k-1)都是合数 若N=3k+2(k≥4,且k为整数),则N=8+3(k-2),显然8和3(k-2)都是合数 于是对任意正整数N(N>11),一定可以表示成两个合数之和。 评注:本题是通过对整数的合理分类来帮助解题,这是解决整数问题的一种常用方法。但要注意对整数的分类要不重复不遗漏。 例9 证明:n (n+1)+1(n是自然数)不能是某个整数的平方。 分析:注意到n (n+1)+1=n2+n+1,∵n是自然数,∴n2练习
选择题 1、在整数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中,设质数的个数为x,偶数的个数为y,完全平方数的个数为z,合数的个数为u,则x+y+z+u的值是( ) A、17 B、15 C、13 D、11 2、设n为大于1的自然数,则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是(  ) A、3n2-3n+3 B、5n2-5n-5 C、9n2-9n+9 D、11n2-11n-11 3、有3个数,一个是最小的奇质数,一个是小于50的的最大质数,一个是大于60的最小质数,则这3个数的和是( ) A、101 B、110 C、111 D、113 4、两个质数的和是49,则这两个质数的倒数和是( ) A、 B、 C、 D、 5、a、b为正整数,且56a+392b为完全平方数,则a+b的最小值等于( ) A、6 B、7 C、8 D、9 6、3个质数p、q、r满足等式p+q=r,且pn2,且 ,则n1= ,n2= 解答题 13、证明:不存在这样的三位数 ,使 成为完全平方数。 14、试求四位数 ,使它是一个完全平方数。 15、a、b、c、d都是质数,且10
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