球的表面积与体积

null球的表面积与体积球的表面积与体积上海师范大学数理学院 陆新生 xslushnu@qq.com1.球的体积与表面积学习指导概况1.球的体积与表面积学习指导概况 现 状∶课程中的地位 指导∶ 问所在∶ 设 问∶能否用问题解决教学 方式进行指导 →对球的体积与表面积求积问题作历史探究null2.数学史上对球的求积问题的探索 (1)古希腊数学家∶阿基米德nullnull结论∶null阿基米德对球的表面积所作的类推球的面积为大圆面积的4倍 数学史家阿鲍的评论∶数学史上第一个大胆类推，且是最美的一个类推null《九章算术》少广章问题 24提示了球的体积 公式的由来，刘辉加注作了说明，其中之一图示如下 立方体体积∶圆柱体积＝4∶3 圆柱体积∶球体积 ＝4∶3 所以 立方体体积∶球体积＝16∶9 (2)中国古代数学家的探索左边的推理中第二个比式有错，实际上与球体积之比为4∶3的应是一个特殊的立体球体积与牟合方盖的求积球体积与牟合方盖的求积nullnullnullnull(3)中世印度数学家的工作(3)中世印度数学家的工作五世纪印度数学家天文学家阿耶波多一世给出了球体积与表面积的一个计算方法 对其由来后人 如右图的推测 对表面积公式 的推导∶ 　　　用圆形布nullnull　null(4)近代日本数学家的贡献(4)近代日本数学家的贡献对玉率(球率)的探索 最初用9/16 《算用记》及毛利重能的《割算》用 即0.493039（与立方体等积的想法,1600、1602) 百川治兵卫的《诸勘分物》(1622)用 即0.64（与圆锥等积的想法) 村松茂清将直径一尺的球等厚度分成100份看成圆台求积得与率0.524（比0.64少比0.49多) 村濑义益∶10000等分，用圆台公式，费时3年半求得球率0.5236 null而算圣关孝和用他的快速收敛的增约术 只需将球分成50、100、200等分，分别计算称为初积、中积、后积的三个情形的球体积，设它们为a、b、ｃ，能很快求出了较精确的球率 至于球的表面积，早期用大圆自乘除以4的方法 由来展开求积的想法矶村吉德给出了球的表面积的计算公式矶村吉德给出了球的表面积的计算公式这一方法立方体的表面积与体积之比的类比∶表面积＝体积×(6/d) 建部贤弘用微分的思想即用球壳的体积除以球壳的厚度，从结果中归纳出球的表面积与圆周率成比例 关孝和则直观地得出球的表面积与体积的关系 两人关于问题解决方法优劣的观点 3.考察3.考察长期性与困难性 解决的方法 实测法；等积变形法；类比推理法；　　　 　　转换法；分割求积法 类推的作用 体积与表面积的关系 球的分割方法 球的表面积、体积与圆周率的关系4.球的体积与表面积的学习指导4.球的体积与表面积的学习指导该内容的教育价值 理解的深化 理想的世界观的树立 学习兴趣的提高 教学 问题解决型的学习指导 情理兼容的学习指导