高等数学 下册-全微分 ppt课件

null第三节 第八章 *二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节:一、全微分的定义 全微分一、全微分的定义 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可示成其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量则称此函数在D 内可微.由微分定义 :由微分定义 :(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微得函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即定理1(必要条件)定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数同样可证证: 由全增量公式必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 null反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 (充分条件)定理2 (充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 null所以函数在点可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到, 故有推广: 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问.例如, 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算函数例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解:例2. 计算函数的全微分. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *二、全微分在数值计算中的应用可知当*二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差) (可用于近似计算) 例3. 有一圆柱体受压后发生形变,例3. 有一圆柱体受压后发生形变,半径由 20cm 增大解: 已知即受压后圆柱体体积减少了 到 20.05cm , 则 高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求此圆柱体例4.计算例4.计算的近似值. 解: 设,则取则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 误差估计分别表示 x , y , z 的绝对误差界,2. 误差估计利用令z 的绝对误差界约为z 的相对误差界约为机动 目录 上页 下页 返回 结束 则特别注意特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大 很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 利用公式例5. 利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为计算三角形面积.现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6.在直流电路中, 例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,解: 由欧姆定律可知( 欧)所以 R 的相对误差约为0.3  + 0.5 R 的绝对误差约为0.8  0.3;定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5  ,= 0.032 ( 欧 )= 0.8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求用欧姆内容小结内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分应用3. 微分应用• 近似计算• 估计误差绝对误差相对误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. P72 题 1 (总习题八)函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .2. 选择题机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. P73 题 73. P73 题 7 :也可写作:当 x = 2 , y =1 , △x = 0.01 , △y = 0.03 时 △z = 0.02 , d z = 0.03 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 设4. 设解: 利用轮换对称性 , 可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( L. P245 例2 )注意: x , y , z 具有 轮换对称性 5. 已知答案: 作业 P24 1 (3) , (4) ; 3 ; 5 ; 8 ; 10 5. 已知第四节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题在点 (0,0) 可微 .备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证: 1)因故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明函数所以null同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续.2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 null4) 下面证明可微 :说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回 结束