2010-10-05 50页 doc 3MB 473阅读
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1}. 若q∈A,同样可知q>0.由an+1-an=a1·qn-a1·qn-1=a1·qn-1(q-1)<0,得 当a1>0时,那么0<q<1;当a1<0时,则q>1. 亦可知 B={q | 01}. 故知A∩B={q | 01}. 说明:貌似无法求解的问题,通过数列的基本量,很快就找到了问题的突破口! 例2.求数列1,(1+2),(1+2+22),……,(1+2+22+……+2n-1),……前n项的和. 分析:要求得数列的和,当务之急是要求得数列的通项,并从中发现一定规律.而通项又是一等比数列的和.设数列的通项为an,则an=1+2+22+……+2n-1==2n-1.从而该数列前n项的和 Sn=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1) =(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2. 说明:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: 2、等比数列求和公式: 3、 4、 5、 常用的数列求和方法有:利用常用求和公式求和;错位相减法求和;反序相加法求和;分组法求和;裂项法求和;合并法求和;利用数列的通项求和等等。 例3.已知等差数列{an}的公差d=,S100=145.设S奇=a1+a3+a5+……+a99,S'=a3+a6+a9+……+a99,求S奇、S'. 解:依题意,可得 S奇+S偶=145, 即S奇+(S奇+50d)=145, 即2 S奇+25=145, 解得,S奇=120. 又由S100=145,得 =145,故得a1+a100=2.9 S'=a3+a6+a9+……+a99 =====1.7·33=56.1. 说明:整体思想是求解数列问题的有效手段! 例4.在数列{an}中,a1=b(b≠0),前n项和Sn构成公比为q的等比数列。 (1)求证:数列{an}不是等比数列; (2)设bn=a1S1+a2S2+…+anSn,|q|<1,求 bn。 解:(1)证明:由已知S1=a1=b ∵{Sn}成等比数列,且公比为q。 ∴Sn=bqn-1,∴Sn-1=b·qn-2(n≥2)。 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bqn-1-bqn-2=b·(q-1)·qn-2 故当q≠1时,==q, 而==q-1≠q,∴{an}不是等比数列。 当q=1,n≥2时,an=0,所以{an}也不是等比数列。 综上所述,{an}不是等比数列。 (2)∵|q|<1,由(1)知n≥2,a2,a3,a4,…,an构成公比为q的等比数列,∴a2S2,a3S3,…,anSn是公比为q2的等比数列。 ∴bn=b2+a2S2·(1+q2+q4+…+q2n-4) ∵S2=bq,a2=S2-S1=bq-b ∴a2S2=b2q(q-1) ∴bn=b2+b2q(q-1)· ∵|q|<1 ∴ q2n-2=0 ∴ bn=b2+b2q(q-1)·= 说明: 1+q2+q4+…+q2n-4的最后一项及这个式子的项数很容易求错,故解此类题时要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关,它取决于n→∞时,数列变化的趋势。 二、数列应用题 例5. (2001年全国理)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业. 根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元. 写出an,bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解:第1年投入800万元,第2年投入800×(1-)万元……, 第n年投入800×(1-)n-1万元 所以总投入an=800+800(1-)+…