2.4 镜像法

第四节 镜像法 第四节 镜像法 教学目的：当所研究区域内有有限电荷分布时，区域边界是导体或介质界面，这时的感应电荷或者极化电荷可以选取假想电荷代替，这种求解的成为镜像法。首先，要掌握镜像法的概念和适用范围；其次，能够对几种典型的范例给出镜像电荷；再次，能够熟练掌握镜像法，并将其推广到静磁场或者运动磁场中去。 重难点：镜像电荷的选取与计算。 教学方法与手段：多媒体＋课堂板讲授。 教学内容： 本节研究的主要内容是研究所考虑的区域只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面的问。解决这类问题的一种特殊方法称为镜像法。（前面一节讨论内容，知道在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplace’s方程求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，需求解Poisson方程。 1、镜像法的基本问题(The Fundamental Problems of the Method of Images) 当点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或者介质的束缚电荷共同产生。（这感应电荷或束缚电荷如何等价代替？） 在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？（这种想象是有一定物理基础的！） 光学理论给我们的启发，看过哈哈镜的人会有这样的印象：平面镜内的像与物体大小一样，凸透镜内的像比物体小，凹透镜内的像比物理大。（我们可以考虑镜像电荷，然后根据物理的需要进行确定其大小。） 当我们把点电荷作为物体，把导体或者介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就作为我们所说的像，然后把物体和像在场点处的贡献叠加起来，就是我们讨论的结果。（关键是找到能够完全代替感应电荷或者束缚电荷的镜像电荷） 2、镜像法的理论基础(The Theoretical Foundation of the Method of Images) 镜像法的理论基础（理论依据）是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的“像电荷”代替真实的导体上的感应电荷或介质中的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所处的位置由Poisson方程和边界条件决定。 注意： a)​ 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poisson方程或Laplace方程。因此，在研究的场域内不可放置像电荷，也就是说像电荷必须放置在所求区域外。 b)​ 由于像电荷代替了真实的感应电荷或者束缚电荷（极化电荷）的作用，当考虑像电荷时，就必须忽略原有的感应电荷和束缚电荷的作用。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且介电常数和所求场区域完全一致。 c)​ 像电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。但是像电荷的电量与感应电荷的电量或束缚电荷的电量是不一定能够相等的，当然在一些特殊情况下也有可能相等。 d)​ 镜像法所适应的范围是：场区域的电荷是点电荷，或无限长带电直导线；导体或介质的边界必须是简单几何面（平面、柱面、球面）。 3、镜像法的具体应用(The Special Applications of the Method of Images) 用镜像法解题大致可按以下步骤进行： a.​ 正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件； b.​ 根据给定的边界条件计算像电荷的电量和位置； c.​ 由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d.​ 根据需要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。 4应用举例(Examples for the Application of the Method of Images) (1)​ 界面是平面情况 [例1]接地无限大平面导体板附近有一点电荷，其电量为Q，距板a处，求空间中的势分布。 解：根据静电屏蔽可判定接地导体板左半空间没有电场。右半空间的电场Q及S面上的感应电荷面密度 共同产生的。以假想的点电荷 等效地代替感应电荷，右半空间的电势必须满足以下条件： 为了满足上面方程，假想电荷Q必须在左半空间内，这样才能使原方程不变（所求场内不会出现其它电荷），根据上面边界条件，可以给出镜像电荷的大小和位置为 因此，在右半空间任一点的电势为： 而 所以有 根据边界条件，很容易看出 所求电势的解可以简化为 课堂讨论： a)如果导体板不接地，左半空间有电场存在。这时左右两半空间的电势必须满足什么条件？ 镜像电荷如何选取？ b)求无限大接地导体板平面上的感应电荷分布情况？求无限大不接地导体板平面上的电荷分布情况？ 解题的初步思路，先求出电场强度，然后再根据边界条件求出面电荷密度。然后再求出导体面上总的感应电荷，是否和镜像电荷量相等？ c)求出电荷Q受到导体平面板的作用力？（或者无限大导体平面板受到电荷的作用力？） [例2]在无穷大空间中充满介电常数为 和 的两种均匀电介质，其分界面为平面。设在介质 中放一点电荷Q，其所在位置距离分界面为a，试求二介质的电势分布。 解：类似于例1。 满足的方程与边界条件为 根据镜像电荷法，给出两个区域的解为 和 根据边界条件可以给出镜像电荷之间关系为 即为 故得 再根据电荷守恒定律。有 欲成立，必有a=b=c。 同时有 即 由此可见 从而得到 最终得到 和 (2)​ 界面为球面的情况 [例3]有一半径为R0的接地导体球，距球心为a(a>R0)处有一点电荷Q，求空间的电势分布。 解：取球心为坐标原点，球心到点电荷Q的方向为x轴，设Q的坐标为(a,0,0)。根据静电平衡条件（现象）。球内的电势为零。故只讨论外空间的电势即可。 球外空间的电势由Q和球面上感应电荷共同激发，其电势所满足的定解条件为 用一个象电荷Q’来代替球面上的感应电荷，为了不改变原方程，Q必须在球内，并距球心距离为b，故等效为： 球外空间一点电势为 在bR0)，试求空间的电势分布。 本题和导体球非常类似，此处简略之。 (4)​ 界面为劈形的情况 [例6]有两个相交的接地导体平面，其夹角为 ，若在所夹区域内有一电量为Q的点电荷，求下列情况下所夹区域内的电势：