勾股定理试题

http://www.czsx.com.cn 2010年部分省市中考数学试分类汇编 直角三角形与勾股定理 1.（2010年四川省眉山市）下列命题中，真命题是 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．圆的切线垂直于经过切点的半径 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 【关键词】真命题、假命题 【】C 2．（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 A．90° B．60° C．45° D．30° 【关键词】勾股定理及其逆定理 【答案】C 3.（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为 的正方形，小颖将 图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图② 能验证的式子是（ ） A． B． C． D． 【关键词】正方形、勾股定理 【答案】B 4．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；② ＝ ＋ ；③MN≤ AB，其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【关键词】等腰直角三角形 【答案】D 5、 (2010福建泉州市惠安县)矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________. 【关键词】折叠 【答案】5.5 6、(2010福建泉州市惠安县)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm． ①如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B， 那么所用细线最短需要__________cm； ②如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B， 那么所用细线最短需要__________cm． 【关键词】勾股定理 【答案】① 10， ② 7、(2010年燕山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC， ∠B＝45°, AD＝1，B C＝4，求DC的长． 【关键词】等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质、勾股定理 【答案】如图1，分别过点A、D作AE⊥BC于点E ， DF⊥BC于点F． ………………………………1分 ∴ AE // DF．又 AD // BC， ∴ 四边形AEFD是矩形． ∴ EF=AD=1． ……………………………………2分 ∵ AB⊥AC，∠B=45°，BC= 4， ∴ AB=AC． ∴ AE=EC= = 2． ……………………………3分 ∴ DF=AE= 2， CF=EC-EF= 1． ……………………………4分 在Rt△DFC中，∠DFC=90°， ∴DC= . …………………………5分 8、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长. 【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）. ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝ x，EF＝ . 在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2， ∴（ ）2＋（ x＋x）2＝ . 解得，x＝ （舍去负值）. ∴正方形的边长为 . 9、（2010年广东省广州市）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线 ＝－ ＋ 交折线OAB于点E． （1）记△ODE的面积为S，求S与 的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由. 【关键词】轴对称 四边形 勾股定理 【答案】（1）由题意得B（3，1）． 若直线经过点A（3，0）时，则b＝ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1 1​ 若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ ，如图25-a， 此时E（2b，0） ∴S＝ OE·CO＝ ×2b×1＝b ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 ＜b＜ ，如图2 此时E（3， ），D（2b－2，1） ∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE ) ＝ 3－[ (2b－1)×1＋ ×(5－2b)·( )＋ ×3( )]＝ ∴ （2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H， 由题易知，tan∠DEN＝ ，DH＝1，∴HE＝2， 设菱形DNEM 的边长为a， 则在Rt△DHM中，由勾股定理知： ，∴ ∴S四边形DNEM＝NE·DH＝ ∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ． 10.（2010年山东省济南市）我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？ 【关键词】直角三角形、勾股定理 【答案】 解：作BG⊥AD于G，作EF⊥AD于F，………………1’ ∵Rt△ABG中，∠BAD=600，AB=40， ∴ BG =AB·sin600=20 ，AG = AB·cos600=20……………….3’ 同理在Rt△AEF中，∠EAD=450， ∴AF=EF=BG=20 ，……………….3’ ∴BE=FG=AF-AG=20( )米. ……………….1’