5.2二次型的标准形

§5.2 二次型的形 第五章 二次型 §5.2 二次型的标准形 一、用配化二次型为标准形 二、用变换法化二次型为标准形 第五章 二次型 一、用配方法化二次型为标准形 数域F上的二次型能否经非退化线性替换化为标准形？ 下面的定理回答这个问题。 定理5.2.1 数域F上任意一个二次型 1 2 1 1 ( , , , ) , , 1, , n n n ij i j ij ji i j f x x x a x x a a i j n = = = = =∑∑" " 都可经非退化线性替换化为标准形。 证明：当 0f = 时，已是标准形。 0f ≠ 用归纳法进行证明。下面只对 ，结论显然成立。1n = 21 11 1( )f x a x=当 时，二次型 1n− n假设结论对 元二次型成立，下面考虑 元二次型 1 2( , , , ) 0nf x x x ≠" 第五章 二次型 0iia ≠ 11 0a ≠1)若有某个 ，不妨设 。 的项利用配方法：1x下面先对含 2 1 2 11 1 1 1 2 2 2 ( , , , ) 2( ) n n n n j j ij i j j i j f x x x a x a x x a x x = = = = + +∑ ∑∑" 2 1 1 2 11 1 11 1 1 11 1 2 2 [ 2 ( ) ( ) ] n n j j j j j j a x a a x x a a x− − = = = + +∑ ∑ 1 2 11 1 2 2 2 ( ) n n n j j ij i j j i j a a x a x x− = = = − +∑ ∑∑ 1 2 11 1 11 1 1 2 2 ( ) ( , , ) n j j n j a x a a x f x x− = = + +∑ " 1 2 1 2 11 1 2 2 2 ( , , ) ( ) n n n n j j ij i j j i j f x x a a x a x x− = = = = − +∑ ∑∑" 2 , , nx x"这里 是关于 1n−的 元二次型。 第五章 二次型 作非退化线性变换： 1 1 11 1 2 2 n j j j n x a a x x x − = ⎧ = +⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩ ∑ """ 1 2 n y y y 此即 1 1 11 1 2 2 n j j j n x y a a y x y x y − = ⎧ = −⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩ ∑ " 1 2 n 则原二次型化为： 21 2 11 1 1 2( , , , ) ( , , )n nf x x x a y g y y= +" " 退化线性替换： 1n− 1 2( , , )ng y y"由归纳假设知，对 元二次型 ，存在非 2 22 23 2 2 2 1 2 3 n n n n n nn n n y c c c z z C y c c c z z − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " # # # # # # " 1 2 1 2 11 1 2 2 2 2 2 ( , , ) ( ) n n n n n n j j ij i j ij i j j i j i j g y y a a x a x x b y y− = = = = = = − + =∑ ∑∑ ∑∑"其中 第五章 二次型 2 2 1 2 2 2( , , )n n ng y y d z d z= + +" "使 于是，作非退化线性替换： 1 1 2 2 1 1 0 0 n n n y z y z C y z − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ # # 2 2 2 1 2 11 1 2 2( , , , )n n nf x x x a z d z d z= + + +" "就使 1 1 111 12 11 1 2 1 1 1 00 1 0 0 0 0 1 n n n zx a a a a zx C zx − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ " " #" " " " " " 1 2 n 所用的非退化线性替换是： DZ= 第五章 二次型 0, 1,2, ,iia i n= = " 0ija i j≠ <,2）若 ，但存在某 ， ，这时12 0a ≠不妨设 1 2 12 1 2 1 1( , , , ) 2 2n n n n nf x x x a x x a a x x− −= + +" " 作非退化线性替换： 通过非退化线性变换出现平方项 1 1 2 2 1 2 3 3 n n x y y x y y x y x y = +⎧⎪ = −⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩ "" 1 2 12 1 2 1 2( , , , ) 2 ( )( )nf x x x a y y y y= + − +" "这时 2 2 12 1 12 22 2a y a y= − +" 1 2, , , ny y y" 21y 122 0a ≠这是关于 的二次型，且 项的系数 ， 第五章 二次型 ，使Y DZ=故由1）知可经非退化线性变换 2 2 2 1 2 1 1 2 2( , , , )n n nf x x x d z d z d z= + + +" " 综合1）、2）、3）知定理成立。 3）若 ，由对称性知：11 12 1 0na a a= = = =" 21 31 1 0na a a= = = =" 这时 1 2 2 2 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a x x = = = ∑∑" 这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立。 定理5.2.1的证法提供了化二次型为标准形的一种方法: 配方法 用配方法化二次型为标准形的例： 第五章 二次型 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3( , , ) 2 2 2 8 5f x x x x x x x x x x x x= + + + + + 例5.2.1 化以下二次型为标准形： 的配方：11 0a ≠ 1x解：由于 ，先求含项 2 2 2 1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3( , , ) 2 ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x x x= + + + + − + 2 2 2 2 3 32 8 5x x x x+ + + 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3( ) 6 4x x x x x x x= + + + + + 2 2 2 1 2 3 2 3 3( ) ( 3 ) 5x x x x x x= + + + + − 1 1 2 3 2 2 3 3 3 3 y x x x y x x y x = + +⎧⎪ = +⎨⎪ =⎩ 1 1 2 3 2 2 3 3 3 2 3 x y y y x y y x y = − +⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩ 即令 经此非退化线性替换，原二次型化为标准形： 2 2 21 2 35f y y y= + − 第五章 二次型 ，先作非退化线性替换0iia = 12 0a ≠解：本例中 ，但 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y ⎧ = +⎪ = −⎨⎪ =⎩ 则 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3( , , ) 2( )( ) 2( ) 6( )f x x x y y y y y y y y y y= + − + + − − 例5.2.2 化二次型 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 2 6f x x x x x x x x x= + − 为标准形， 并求所用的非退化线性替换。 2 2 1 2 1 3 2 32 4 8y y y y y y= − − + 2 2 2 1 3 2 3 2 32( ) 2 2 8y y y y y y= − − − + 2 2 2 1 3 2 3 32( ) 2( 2 ) 6y y y y y= − − − + 作非退化线性替换： 第五章 二次型 1 1 3 2 2 3 3 3 2 z y y z y y z y = −⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩ 即 1 1 3 2 2 3 3 3 2 y z z y z z y z = +⎧⎪ = +⎨⎪ =⎩ 1 2 3( , , )f x x x 2 2 2 1 2 32 2 6f z z z= − +则二次型 化为标准形： 所用的非退化线性替换是： 1 2 3 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 z z z ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1 2 2 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 1 x y x y x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 2 2 1 2 3 1 3 2 3 3( , , ) 2( ) 2( 2 ) 6f x x x y y y y y= − − − + 1 1 2 2 3 3 1 1 3 1 1 1 0 0 1 x z x z x z ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 即 第五章 二次型 换也可把二次型化为标准形。 上面利用配方法把二次型化为标准形，利用矩阵的初等变 二、用合同变换法化二次型为标准形 化为标准形：X CY= 由定理5.2.1知，任一个n元二次型都可经非退化线性替换： 2 2 2 1 1 2 2 r rd y d y d y+ + +" 其中 r是二次型矩阵的秩。 这个结论用矩阵形式表示就是： 1 1 2( , , , ) 0 0 r n d d f x x x X AX Y C ACY Y Y ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ % " % 由于二次型与对称矩阵相对应，因此我们有 第五章 二次型 存在F上一个n 阶可逆矩阵C，使 定理5.2.2 设A是数域F上一个秩为r的n 阶对称矩阵，则 1 , 0, 1, , 0 0 r i d d C AC d i r ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′ = ≠ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ % " % 本定理表明，一个n阶对称矩阵合同于一个对角矩阵， 其对角线上非零项个数等于矩阵A的秩。由此可知： 要化二次型为标准形，只要对其矩阵进行变换。即： 找一个可逆矩阵C，使 C AC′ 成为对角形， 所求的非退化线性替换就是： C即是所求矩阵。 X CY= 第五章 二次型 例5.2.3 用矩阵的合同变换把以下二次型化为标准形： 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 2 6f x x x x x x x x x= + − 解：这个二次型的矩阵为 0 1 1 1 0 3 1 3 0 A ⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ (2(1) 1) 1 1 2 1 0 3 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 + −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " " " 0 1 1 1 0 3 1 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A I ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " " " " [2(1) 1] 2 1 2 1 0 3 2 3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 + −⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " " " 第五章 二次型 原二次型可化为标准形： 1 1 1/ 2 3 1 1/ 2 1 , 0 0 1 C −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 若取 1X CY=则经非退化线性替换 2 1 1 3 1 1 1 , 0 0 1 C −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 若取 2X C Y=则经非退化线性替换 2 2 2 1 1 3 12 6 2 f y y y= − + ； 。2 2 21 1 32 2 6f y y y= − +原二次型可化为标准形： 比较例5.2.2和例5.2.3可知： 1)不同的线性替换可得到相同的标准形； 2)一个二次型的标准形未必唯一， 是由二次型唯一确定的。 但标准形中平方项个数 第五章 二次型 2 1 2 1 0 3 2 3 1 A −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ 1 2 3( , , )f x x x例5.2.4 设二次型 的矩阵 试求可逆矩阵C，使C AC′ 为对角矩阵。 解： 2 1 2 1 0 3 2 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A I −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " " " " 2 0 0 0 1/ 2 0 0 0 31 1 1/ 2 3 0 1 8 0 0 1 ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ " " " 1 1/ 2 3 0 1 8 , 0 0 1 C − −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 。 2 0 0 0 1/ 2 0 0 0 31 C AC ⎛ ⎞⎜ ⎟′ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 取 则