刚体的基本运动

第一章 静力学基础 力学名家 第二篇 运动学 主讲教师 薛孔宪 纪冬梅 § 8-1 刚体的平行移动 § 8-2 刚体的定轴转动 § 8-3 转动刚体上点的速度和加速度 §8-4 绕定轴转动刚体的传动问题 §8-5 角速度和角加速度的矢量示 第八章 刚体的基本运动 1 1. 定义：平行移动（平动）：在运动过程中，刚体上 任一直线与其初始位置始终保持平行。 直线平移直线平移 §8-1 刚体的平行移动 曲线平移曲线平移 第八章 刚体的基本运动 2 第八章 刚体的基本运动 3 直线平移直线平移 曲线平移曲线平移 AB: 平移刚体上任取两点, 矢量 为一常量，刚体 在运动过程中，A、B 两 点所描绘出的轨迹曲线的 形状彼此相同。 BA 2. 平动刚体的特点 第八章 刚体的基本运动 4 结论：刚体平移时，体内所有各点的轨迹形状相同。 在同一瞬时，所有各点具有相同的速度和加速度。 A Br r BA= + uuurr r d d d d A Br r t t = r r A Bv v= r r A Ba a= r r d 0 d BA t = uuur 研究刚体的平动，可以 归结为研究刚体内任一 点的运动。 第八章 刚体的基本运动 5 1. 定义：定轴转动：在运动过程 中，刚体内（或其延拓部分）有一 条固定不动的直线。 转轴：固定不动的直线 §8-2刚体的定轴转动 定轴转动刚体的特点 刚体上不在轴线上的各点均作圆周运动； 轨迹圆和转轴垂直；圆心均在轴线上；半径为点 到转轴的距离。 第八章 刚体的基本运动 6 2.转动方程 平面Ⅰ：固定且通过z轴 平面Ⅱ：与刚体固连 显然平面Ⅱ的位置确定了，此刚体 的位置也就确定了。 单位：弧度（rad） 转动方程： )(tjj = 第八章 刚体的基本运动 7 为角坐标，其原点 为转动开 始时的位置；且以开始转动的方 向为角坐标 的正向 j 0j j 刚体在Dt时间内的角位移 : Dj 刚体的角速度: dlim dΔt 0 Δω Δt t j j ® = = 单位：rad/s 或 1/s 3.角速度 描述刚体定轴转动的快慢程度 30 nπω = 式中n为转速 单位：r/min或rpm 第八章 刚体的基本运动 8 和角坐标 的正向一致为正，反之为负j 4.角加速度 描述角速度变化的快慢程度 间隔Dt内，角速度的增量为 Dw 刚体的角加速度 ： 2 20 d dlim d dt t t t w w j e D ® D = = = D e 与 w 同号，刚体加速转动； e 与 w 异号，刚体减速转动。 单位： rad/s2或 1/s2 第八章 刚体的基本运动 9 和角坐标 的正向一致为正，反之为负j x y O A 0v hj x [例]物块以匀速 vo沿水平直线平动。杆OA可 绕O轴转动，杆保持紧靠在物块的侧棱上，如 图。已知物块的高度为h，试求OA杆的转动 方程、角速度和角加速度。 0tg v tx h h j = = 故OA杆的转动方程为 0arctg( )v t h j = 角速度为 0 2 2 2 0 d d hv t h v t j w = = + 顺时针 角加速度为 3 0 2 3 2 2 0 2d d ( ) hv t t h v t w e - = = + 逆时针 第八章 刚体的基本运动 10 解：建立如图的直角坐标。角坐标 以顺时针为正。则 j [例]某主机采用一台电动机带动，起动时，电动机转 速在5秒内由零均匀升到n＝500 rpm，此后由此转速 作匀速运动如图所示。试计算：(a)电动机启动阶段内 的角加速度；(b)10秒钟内电动机转过的转数。 在起动阶段电动机作匀变速转动 tεωω 0 += 解： 52.3 30 500 π 30 nπω === rad/s 46.10 5 3.52 ==e rad/s252.3＝0＋e×5 第八章 刚体的基本运动 11 （2）电动机在10秒内转过的转数在t1＝5s内, 电动机作匀变速转动，转过的角度为 2 2 1 1 1 1 1 0 .4 6 5 1 3 0 .8 2 2 tj e= = ´ ´ = rad 从t1＝5s后，电动机作匀速转动，到t2＝10s时， 转过的角度为, rad。 所以，电动机在10秒内共转过的角度为 2 52.3(10 5) 262tj w= = - = 因为每转等于2p rad，所以j以转数表示有 392.8 62.5 2 j p = = 周 第八章 刚体的基本运动 12 1 2 130.8 262 392.8radj j j= + = + = 1.运动方程 M为定轴转动刚体内任一点，其轨迹 圆的半径OM=R。以轨迹圆为曲线坐 标轴，在Δt时间内M经过的弧长 (t)RMMs j== ︵ 0 §8-3 定轴转动刚体上各点的速度和加速度 第八章 刚体的基本运动 13 2.速 度 d d d d sv R R t t f w= = = 第八章 刚体的基本运动 14 n转动刚体内任一点的速度的代数值等 于该点的转动半径与刚体的角速度的 乘积。 n速度的大小与转动半径成正比。 n速度的方位沿轨迹圆的切线方位与 其转动半径垂直；指向与角速度的转 向一致； 3.加速度 M点切向、法向加速度 t va d d =t r 2van = et Ra = 2wRan = r＝R ü切向加速度沿该点轨迹的切线方位，指向与角加速度 e的转 向一致； ü法向加速度总是沿着转动半径的方位,指向圆心。 第八章 刚体的基本运动 15 M点的全加速度a 等于其切向 加速度和法向加速度的矢量 和 na a at= + r r r 4222 wet +=+= Raaa n大小 2tan w e a t == na a 2arctg w e a = 方向 在同一瞬时，刚体内各 点的全加速度与其转动 半径的夹角a是相同的 第八章 刚体的基本运动 16 [例] 平行四边形机构中O1A=O2B=0.2m；AM=0.2m，O1O2=AB=0.6m。 j =15πt（rad）求t=0.8s时M点的速度和加速度。 解：①运动分析： O1A作定轴转动；AB作曲线 平动；M和A点有相同的轨 迹、速度和加速度； ②01A的角速度与角加速 度 d 15 d d 0 d t t j w p w e = = = = 第八章 刚体的基本运动 17 ③A点作圆周运动，其运动 方程为 d 0 dA M va a t t t= = = 2 2 2 2 1 9 45 m/s 0.2 n n A A M va a O A p p= = = = 3A Mv r vw p= = = 第八章 刚体的基本运动 18 A点与M点的速度与加速度如图所示。 §8-4 绕定轴转动刚体的传动问题 1．齿轮传动 机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速的目的。 齿轮传动分为外啮合齿轮和内啮合齿轮。 （1）齿轮传动特点 ①两轮接触点的速度大小、方向相同。 ②两轮接触点的切向加速度大小、方向相同。 外啮合：转向相反 内啮合：转向相同 ε2 ε1 tt BAaa ε1 ε2 t t B A a a 第八章 刚体的基本运动 19 （2）传动比 11A rv w= 22B rv w= BA vv = 2211 rr ww = 1 2 2 12 2 1 1 r z r z i w w = = =传动比 1 1 1 2 2 2 f w e f w e = = 式中Z1、Z2为齿数；r1、r2为齿轮节圆半径 多级传动的传动比： i1n=i12·i23·…·in-1,n +号表示内啮合，转向相同； －号表示外啮合，转向相反； 第八章 刚体的基本运动 20 ± ± 2 2 1 1 z r z r = ± = ± [例] 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装在同一轴 上(塔轮），与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为z1=36，z2=112， z3=32，z4=128。如主动轴Ⅰ的转速n1 = 1450rpm，试求从动轮Ⅳ的 转速。 解：以n1，n2，n3 和n4 分别表示各齿轮的转速，则有：n2=n3 1 2 4 1,4 1,2 3,4 4 1 3 112 128( ) ( ) 12.4 36 32 n z zi i i n z z × = = × = - × - = = × 由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮Ⅰ的转向相同 1 4 14 1450 117rpm 12.4 nn i = = = 第八章 刚体的基本运动 21 [例]图为减速箱，轴Ⅰ 为主动轴，与电动机相 联。已知电机转速n＝ 1450 rpm，各齿轮的齿 数z1＝14，z2＝42，z3＝ 20，z4＝36。求减速箱 的总传动比i14及轴Ⅲ的 转速。 解：各齿轮作定轴转动，为定轴轮系的传动问题 第八章 刚体的基本运动 22 轴Ⅰ与Ⅱ的传动比为 1 2 2 1 12 z z n ni == 轴Ⅱ与Ⅲ的传动比为 3 4 3 2 23 z z n ni == 从轴Ⅰ至轴Ⅲ 的总传动比为 23123 4 1 2 3 2 2 1 3 1 13 iiz z z z n n n n n ni ´=´=´== 1 1 13 3 3 12 42 36 14505.4 268.5rpm 14 20 5.4 n ni n n i = = ´ = = = = 轴Ⅲ的转向如图所示。 第八章 刚体的基本运动 23 2．皮带和链轮传动 皮带轮（链轮）传动适用于两轴距离较远的情况。 （1）特点： ①皮带不可伸长（理想化）。 ②设皮带与轮之间无相对滑动。 ③皮带（链条）上各点速度和切 向加速度大小相同 （2）传动比 2211 ww rr = 1 2 2 1 12 r ri == w w 传动比 r1、r2为带轮半径 第八章 刚体的基本运动 24 为了确定刚体定轴转动的角速度和角加速度的全部性质，应该 知道转动轴的位置、角速度和角加速度的大小和转动方向这三个因 素。这三个因素可用矢量表示出来，称为角速度矢和角加速度矢， 用 w和ε表示。 k kw w j= = r rr & d d d d k k t t w w e e= = = r r rr 以 表示Z轴的单位矢量， 如图，则 k §8-5 角速度和角加速度的矢量表示 1.角速度和角加速度的矢量表示 第八章 刚体的基本运动 25 当时 ，说明两 者同向，作加速转动。 当时 ，说明两 者反向，作减速转动。 0w e× >r r 0w e×