数学奥林匹克问题

数学奥林匹克问 本 期 问 题 初 253　如图 1,在 △AB C中 , E、F两点 图 1 都在大边 BC 上 , BE =BA, CF = CA,又 D E ∥ AB , D F ∥ AC. 求 证 : △AB F、 △ACE、 △D EF的外接圆交于 一点. (黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 , 246003) 图 2 初 254　如图 2, 设四边形 AB CD 是正 方形 , E是边 AD 上的 任意一点 (不与 A、D 重合 ) , EC与 BD交于 点 F,设 x、y、z为阴影 部分面积. (1)试求 x、y、z之间满足的等式关系 ; (2)若给定 x、y的值 ,试求正方形 AB CD 的面积 (用关于 x、y的式子示 ) ; (3)给定一个正数 k,试求D E EA 的值 ,使得 y = kx (用关于 k的式子表示 ) . (吴伟朝 　广州大学数学与信息科学学 院 , 510006) 高 253　设 O 为 △AB C内的任意一点 , 延长 AO、BO、CO 分别交 △BOC、△COA、 △AOB 的外接圆于点 A′、B ′、C′. 则 OA OA′+ OB OB ′+ OC OC′≥ 3 2 . (刘才华　山东省宁阳第一中学 , 271400) 高 254　设 { an }是正项等差数列 , n、p为 正整数 ,且 p > 1. 求证 : n i = 1 (1 + p ai ) ≥ (1 + 2p a1 an ) n. (盛宏礼　安徽省明光市涧溪中学 , 239461) 上 期 问 题 解 答 初 251　设四位数 w1 = abcd是完全平方 数 ,把它从中间划开 ,得到两个两位数 x1 = ab 与 y1 = cd; w2 = 3x1 y1 + 1是完全平方数 ,把 w2 从中间划开 ,得到两个两位数 x2、y2 ; w3 = 2x2 y2 是完全平方数 ,把 w3 从中间划开 ,得到 两个两位数 x3、y3 ; w4 = x3 y3 + 1是完全平方 数 , w4 的 9倍是四位数 w5 , w5 也是完全平方 数. 求四位数 w i ( i = 1, 2, 3, 4, 5) . 解 :由 w4 的 9倍是四位数 w5 , w5 也是完 全平方数知 w4 = 33 2 = 1 089, w5 = 9 ×332 = 992 = 9 801. 由 w4 = x3 y3 + 1是完全平方数 1 089知 1 089 - 1 = 332 - 1 = 34 ×32 = 17 ×64 = 16 ×68. 由 1 668、6 816、6 417、1 764、3 432、3 234 这六个四位数中 ,只有 1 764 = 422 为完全平 方数 ,知 w3 = 1 764. 由 w3 = 2x2 y2 是完全平方数 1 764,知 x2 y2 = 882 = 21 ×42 = 14 ×63 = 18 ×49. 经检验只有 1 849 = 432 为完全平方数 , TJ w2 = 1 849. 由 w2 = 3x1 y1 + 1是完全平方数 1 849知 3x1 y1 = 43 2 - 1 = 44 ×42,有 x1 y1 = 44 ×14 = 22 ×28 = 11 ×56. 经检验 ,只有 1 156 与 1 444 是完全平 方数 ,知 w1 = 1 156或 1 444. 综上 , w1 = 1 156 = 342 或 1 444 = 382 , w2 = 1 849 = 43 2 , w3 = 1 764 = 42 2 , w4 = 1 089 = 33 2 , w5 = 9 801 = 99 2 . (田永海 　黑龙江省绥化市教育学院 , 152054) 84 中 等 数 学 初 252　已知 △AB C的内切圆切边 B C 于点 D, AD 交内切圆于另一点 E,过 E作该 圆的切线分别交 AB、AC于点 F、G. 求证 : 1 AB + 1 A F = 1 AC + 1 AG . 图 3 证明 :如图 3, 设内切圆切边 AB 于点 T, 联结 TD、 TE. 由面积关系得 A F FT = S△A FE S△FTE = A E sinθ TE sinα, B T AB = S△B TD S△BAD = TD sinβ AD sinθ. 以上两式相乘得 A F FT ·B T AB = A E TE ·TD AD ·sinβ sinα. ① 在 △TD E中 ,有 sinβ sinα = TD TE . ② 又因为 △A TE △AD T,所以 , A E AD = S△A TE S△AD T = TE TD 2 . ③ 将式 ②、③代入式 ①得 A F FT ·B T AB = TE TD 2 ·TD TE ·TD TE = 1] FT A F = B T AB ] A T - A F AF = AB - A T AB] A T A F + A T AB = 2] 1 A F + 1 AB = 2 A T . 同理 ,设内切圆切边 AC于点 S. 则 1 AC + 1 AG = 2 AS . 而 A T =AS,因此 , 1 AB + 1 A F = 1 AC + 1 AG . (袁安全　重庆市合川太和中学 , 401555) 高 251　如图 4,凸四边形 AB CD外切于 O,两组对边所在的直线分别交于点 E、F, 对角线交于点 G. 求证 : OG EF. 图 4 证明 :如图 4,设 O 与边 AB、B C、CD、 DA的切点分别为 M、N、P、Q, O E与 PM 交于 点 H, O的半径为 r. 由牛顿定理知 AC、BD、PM、QN 四线共 点于 G. 易证 O E是 PM 的垂直平分线 ,所以 , EP2 - EG2 = PH2 - PG2 = ( PH + PG) ( PH - PG ) = GP·GM. 又 EP2 = EO2 - r2 ,代入上式即得 EO2 - EG2 = r2 + GP·GM. 类似可证 FO2 - FG2 = r2 + GQ·GN. 因为 GP·GM = GQ·GN ,所以 , EO2 - EG2 = FO2 - FG2. 因此 , OG EF. (牛顿定理 　圆的外切四边形的对角线 与切点四边形的对角线交于一点 ) . (沈　毅　重庆市合川太和中学 , 401555) 高 252　已知 a、b、c为满足 abc = 1的正 实数. 求证 : 1 a ( a + b) + 1 b ( b + c) + 1 c ( c + a) ≥ 3 2 . 证明 :令 a = y x , b = z y , c = x z ( x、y、z为 正实数 ) . 则原不等式等价于 x 2 y2 + zx + y2 z 2 + xy + z 2 x 2 + yz ≥ 32 . 由柯西不等式得 [ (x2 y2 + zx3 ) + (y2 z2 + xy3 ) + (z2 x2 + yz3 ) ]· 　 x 4 x 2 y2 + zx3 + y4 y2 z2 + xy3 + z 4 z 2 x 2 + yz3 ≥ ( x2 + y2 + z2 ) 2. 942009年第 7期 竞赛史话 (连载六 ) 数学奥林匹克之路 　　　———我愿意做的事 裘 宗 沪 　　1990年 7月 11日 ,第 31届国际中学生数学奥 林匹克在北京海淀体育馆隆重开幕。国际数学奥林 匹克委员会主席雅克夫列夫 ,中国数学会理事长王 元 ,国家教委副主任柳斌 ,北京市副市长陆宇澄等亲 自出席。参赛的 54个国家和地区的 304名中学生 和他们的领队 ,中国数学界许多知名学者 ,北京市的 中学生代表参加了开幕式。 所有的活动都按照计划有条不紊地进行着。两 天的比赛结束后 ,试卷集中送到香山饭店。按照 IMO赛程规定 :各参赛队的试卷先由本国的正副领 队评阅 ,再与东道国安排的协调委员会 (由 53个协 调员组成 ,他们都是全国各大学数学系的教师 ,其中 有 18个人是博士生导师 )协商 ,每个协调员只负责 一道题的评分 ,待双方看法取得完全一致后方可给 分。如果协调员和领队之间遇到分歧 ,交由主试委 员会仲裁。 按照惯例 ,中国队的分数一律邀请供题国领队 来协调评判。所有的阅卷工作接近尾声后 ,中国队 员的全部试卷将移交给加拿大领队理查德 ·诺瓦考 茨基先生 ,由他做最后的审定。经过最后审定 ,中国 队以 5枚金牌、1枚银牌、230分的总成绩获得第 31 届 IMO总分第一。值得一提的是 ,中国队的总分比 第二名的苏联代表队整整多了 37分。这也是中国 队第二次获得 IMO总分第一。 成绩未公布之前 ,巴林的公主 (他们的领队 )来 找我 ,问协调委员会是否能给他们一个奖牌 ,这是违 反规则的事情 ,因此 ,协调委员会没有同意。这是巴 林第一次派队参加 IMO。但是这件事情并没有影响 双方的友好关系 ,临别前 ,公主送给齐民友、王寿仁、 齐东旭和我每人一个金色的贝壳作为纪念 ,贝壳里 还有一颗华丽的珍珠。 闭幕式在中国剧院举行。组委会主任李铁映在 闭幕式上致词 ,并给获得金牌的学生发了奖。香港 的徐展堂先生向每位金牌选手赠送了一台价值一百 多美元的照相机 ,还赠送给连续三届获得金牌的苏 联女学生马力茨卡娃一串珍珠项链。 至此 ,第 31届国际数学奥林匹克盛会圆满地落 下了帷幕。 这届比赛是国际数学奥林匹克史上的一次空前 盛会 ,是数学奥林匹克精神在中国的一次完美体现。 31届 IMO之后 ,我国迎来了数学奥林匹克的热潮。 通过这次举办活动 ,我们在数学竞赛的命题、阅卷、 评分等业务方面积累了很多经验。随后 ,中国数学 奥林匹克委员会基本上固定下来。这支队伍一直工 作到 2003年 ,始终非常完整和团结 ,成员之间的关 系也很融洽。 第 31届 IMO的成功举办要感谢很多的人。谨 在此深深地感谢所有为 31届 IMO付出过努力和心 血的人们 ,感谢你们的情谊。 1991年第 6届全国中学生数学冬令营在武汉 华中师范大学举行。由于举办 IMO的影响 ,大家要 求把冬令营正式命名为“中国数学奥林匹克 ”,不再 标明届数 ,直接写出年份。 　　故 x 2 y2 + zx + y2 z 2 + xy + z 2 x 2 + yz ≥ ( x 2 + y2 + z2 ) 2 x 2 y2 + y2 z2 + z2 x2 + xy3 + yz3 + zx3 . 于是 ,要证原不等式 ,只要证 ( x2 + y2 + z2 ) 2 x 2 y2 + y2 z2 + z2 x2 + xy3 + yz3 + zx3 ≥ 32Ζ 2 ( x4 + y4 + z4 ) + x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 ≥3 ( xy3 + yz3 + zx3 ) . ① 注意到 x 4 +7y4 +4x2 y2 ≥2x2 y2 +6y4 +4x2 y2 ≥12xy3. 同理 , y4 + 7z4 + 4y2 z2 ≥12yz3 , z 4 + 7x4 + 4z2 x2 ≥12zx3. 以上三式相加 ,整理即得式 ①. 综上 ,原不等式成立. (宋 　庆 　南昌大学附中 , 330047)