几何光学的基本原理

null第三章 几何光学的基本原理第三章 几何光学的基本原理教学基本要求： •  阐明光线、折射率、光程、光学系统、理想成象、实物、虚物、实象、虚象和物、象空间等物理概念。 •  阐明平面反射、折射成象的规律。重点阐明球面镜反射成象、球面折射成象、薄透镜成象的构象公式以及平行光线和任意光线的成象作图法，培养学生的计算和作图的能力。 •  了解费马原理的物理思想，用费马原理推导反射或折射定律。 •  着重叙述基点、基面的物理意义。了解薄透镜的组合成象 •  阐明全反射的物理规律。扼要介绍光导纤维的构造和应用。§3-1 基本概念及基本实验定律§3-1 基本概念及基本实验定律一、光线与波面1.光线：形象示光的传播方向的几何线。说明：① 同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数学模型。 它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗细之分，仅 代表光的传播方向。任何想从实际装置（如无限小的孔） 中得到“光线”的想法均是徒劳的。② 无数光线构成光束。2.波面：光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面。③ 光沿光线方向传播时，位相不断改变。说明： ① 波面即等相面，也是一种抽象的数学模型。 波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球 面的称为球 面光波（如点光源所发光波）；为柱面的 称为柱面光波（如缝光源所发光波）null3.光线与波面的关系 在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。即光线与波 面总是垂直的。平面波球面波柱面波二、几何光学的基本实验定律1.直线传播定律：在均匀介质中，光总是沿直线传播的。2.反射定律：null3.折射定律：4.独立传播定律：5.光路可逆原理： 自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的传播 不发生影响。即各自保持自己原有的特性，沿原方向继续传播，互 不影响。在几何光学中，任何光路都是可逆的。§3-2 费马原理§3-2 费马原理 光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。一、费马原理1.表述： 光在空间两定点间传播时，实际光程为一特定的极值。2、表达式：3.说明：①意义：费马原理是几何光学的基本原理，用以描绘光在空间两定点间的传播规律。②用途：A .可以推证反射定律、折射定律等实验定律。由此反证了费马原理的正确性.③极值的含义：极小值，极大值，恒定值。一般情况下，实际光程大多取极小值。 B.推求理想成象公式。null二、费马原理的证明1、直线传播定律：（在均匀介质中）2、折射定律：（在非均匀介质中）如图示：Ａ点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上，折射后到达Ｂ点。① 折射线在入射线和法线决定的平面内 只需证明折射点C点在交线OO’上即可.null②折射线、入射线分居法线两侧null由于反射、折射定律是实验定律，是公认的正确的结论，所以，费马原理是正确的。同理：也可证明反射定律。§3-3 单心光束 实像和虚像§3-3 单心光束 实像和虚像 成像问题是几何光学研究的主要问题之 一。光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的。为学习研究成像规律，首先介绍几个基本概念。一、单心光束、实像、虚像1、发光点：只有几何位置而没有大小的发射光束的光源。 它也是一个抽象概念，一个理想模型，有助于描述物和像的性质。点光源就是一个发光点。若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点；若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为虚发光点。2、单心光束：只有一个交点的光束，亦称同心光束。 该唯一的交点称为光束的顶点。发散单心光束会聚单心光束null实象：有实际光线会聚的象点。 虚象：无实际光线会聚的象点。 （光束反向延长线的交点）。 当顶点为光束的发出点时，该顶点称为光源、物点。3、实像、虚像当单心光束经折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持了其单心性。该顶点称为象点。实像虚像二、实物、实像、虚像的联系与区别1、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。 光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光 束的顶点被看到，而不是看到了光束本身； 宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是 由于没有尘埃作为散射源。 对能保持单心性的光束，一个物点能且只 能 形成一个像点，即物与像形成一一对应关系。null2、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置 单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过 对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是发散光束的顶点，二者之间没有区别。 实物、实像、虚像的区别A：P与P’、P‘’ P各处可见；而由于透镜大小的限制，P‘和P’‘仅在光束范围内可见。B：P’与P‘’ 置一白纸于P’、 P‘’处，由于有实际光线通过， P’是亮点；由于无实际光线通过， P‘’处看不到光点。§3-4 光在平面介面上的反射和折射 光学纤维§3-4 光在平面介面上的反射和折射 光学纤维 保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保证。所以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题。 一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持情况。一、光在平面上的反射如图示：点光源P发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光束，其反向延长线交于一点P‘，且与P点对称。显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持了其单心性，是一个理想成像过程—— P‘是P的虚像。∴平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的 光学系统。并且也是唯一的一个。null二、光在平面介面上的折射1、光束单心性的破坏介质n1中的发光点P发出单心光束经两面介面XOZ折射后进入介质n2，现取其中一微元光束（如图示），在XOY平面内，其折射光束的反向延长线交于P‘点，并与OY轴交于P1、P2两点。各点坐标如图示：经计算（见附录3—1）可得：null将PA1、PA2沿OY轴旋转一微小角度成一立体微元，则：P、P1、P2三点不动，而交点P’将画出一小圆弧（近似视为垂直于XOY平面的一小段直线）。所以，光束内任一条光线与Y轴的交点均处在直线P1P2（弧矢象线）内，但不相交；交点P‘也处在直线P’P‘（子午象线）上，也不相交。即：发光点经折射后，成象为两条相互垂直的象线而不是象点，称为象散。折射后，光束的单心性已被破坏。2、象似深度null三、全反射 光学纤维1、全反射：只有反射而无折射的现象称为全折射。null2、光学纤维原理：∴在顶角为2i的园锥体内的光线，均能在光纤内顺利传播。直径约为几微米的单根或多根玻璃(或透明塑料)纤维.null说明：四、棱镜1、偏向角、最小偏向角： 棱镜是一种由多个平面界面组合而成的光学元件。光通过棱镜时，产生两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生偏折。最常用的棱镜是三棱镜（如图示）。三棱镜两折射面的夹角称三棱镜顶角A。出射光与入射光之间的夹角称棱镜的偏向角。null2、应用 棱镜光谱：当用白光入射时，由于折射 率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。 所以，三棱镜也是一种分光装置。 改变光路：如右图示§3-5 光在球面介面上的反射和折射§3-5 光在球面介面上的反射和折射一、球面的几个概念 符号法则球面顶点：O 球面曲率中心：C 球面曲率半径：r 球面主轴：连接O、C而得的直线。 主截面：通过主轴的平面。2、符号法则：为使计算结果普遍适用，对线段和角度正负取法的规定。1、基本概念： 线段长度均从顶点算起： A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； 凡光线与主 轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。 ② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴 （或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）沿轴线段垂轴线段新笛卡尔法则null③ 图中出现的长度和角度只用正值。例：球面反射成像各量的正负。无论光线从左至右还是从右至左，无论是球面反射还是折射，以上符号法则均适用。以下的讨论假设光线从左至右进行。二、球面反射对单心性的破坏从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点反射，反射光与主轴交于P`点。即P`为P的像。按符号法则，各有关线段和角度的正负如图所示。s — 物距 s`— 象距null对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S‘。 即：同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。null由P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏三、近轴光线下球面反射的物像公式1、近轴光线条件即：对一定的反射球面（r一定），Ｓ‘和Ｓ一一对应，而与入射点无关。∴ 由P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点P‘，光束的单心 性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。在近轴光线条件下：像点称为高斯像点；研究物像关系的为高斯光学。null2、物像公式焦点：沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于 主轴上一点，该点称为反射球面的焦点(F’)。F`说明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；2、式中各量必须严格遵从符号法则；3、对凸球面反射同样适用；4、当光线从右至左时同样适用。null一个点状物放在凹面镜前0.05m处，凹面镜的曲率半径为0.20m，试确定像的位置和性质.[解]：设光线从左至右最后像是处于镜后0.1米处的虚像。当光线从右至左时，可得到相同结论。说明符号法则均适用例题：null四、球面折射对光束单心性的破坏从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点折射，折射光与主轴交于P`点。即P`为P的像。null对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S‘。 即：同一个物点所发出的不同光线经球面折射后不再交于一点。由P点所发出的单心光束经球面折射后，单心性被破坏null五、近轴光线下球面折射的物像公式1、物像公式:2、讨论：当介质和球面一定时（n,n’,r 一定），S‘与S一一对应，即：在近轴 光线条件下光束单心性得到保持。计算时r 取米为单位null③ 物像公式对凹球面折射同样适用。 物像共轭：P‘为P的像点，反之，当物点为P‘时，像点必在P点；这种 物像可易性称为物像共轭。它是光路可逆原理的必然结果。其中：P、P’称为共轭点，光线PA、AP‘称为共轭光线。⑤ 物空间与像空间：规定：入射线在其中进行的空间——物空间； 折射线（或折射线）在其中进行的空间——像空间。n`S‘>0:实像S‘<0:虚像虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束,故像方折射率仍为n’.S‘<0:实像S‘>0:虚像null⑥ 焦点、焦距F`Fnull⑦ 球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例∵　在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反物理上无意义六、理想成象的两个普适公式1、高斯公式：高斯公式 对任何理想成像过程均适用null2、牛顿公式：若将取值原点由顶点O改为物、像方焦点F、F‘，则有如下关系（如右图示）3、说明： 高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。只是在不同 情况下，焦距的形式不同而已。牛顿公式 对任何理想成像过程均适用例题:例题:一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。[解]：两次折射成像问题。1、P为物对球面O1折射成像P1’2、P1‘为物对球面O2折射成像也可用高斯公式、牛顿公式求解！§3-6 光连续在几个球面上的折射 虚物§3-6 光连续在几个球面上的折射 虚物 实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个球面上的折射成像更具实际意义。一、共轴光具组1、定义：由两个或两个以上的球面所构成的，其曲率中心处在同一条直线上的光学系统，称为共轴光具组。该直线为共轴光具组的光轴。反之，称为非共轴光具组。2、共轴光具组的特点：① 光在连续折射时，前一球面的像就是后一球面的物； 通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一个球面，才能保 证整个系统最后能够成像。——光线是近轴的。null二、逐个球面成像法1、定义：依球面的顺序，应用成像公式逐个对球面求像，最后得到整个共轴光具组的像。2、方法特点及注意事项① 必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像。② 前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一球面的物空间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示）③ 必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点为取值原点，不能混淆。④ 计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示）null三、虚物1、定义：会聚的入射光束的顶点，称为虚物。如上图中P4发散的入射光束的顶点，称为实物。如上图中P1、P2和P3。2、说明：① 实物、虚物的判断依据A、入射光束： 发散——实物；会聚——虚物B、物所处空间： 物空间——实物；像空间——虚物② 虚物处永远没有光线通过。（实物不一定，如P1、P2有， P3 无）④ 虚物仍遵从符号法则。（如上图中S4>0） ③ 虚物处像空间，但对应的却是物空间的会聚光束，故折射率就取 物方折射率。（与虚像类似。如上图中P4：物方折射率为n4§3-7 薄透镜§3-7 薄透镜一、透镜1、定义：用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个球面或一个球面一个 平面所形成的薄片。通常做成园形。2、分类：按表面形状分① 凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜。 ② 凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。弯凸平凸双凸双凹平凹弯凹null3、有关透镜的几个概念： 主截面：包含主轴的任一平面。有无穷个。注意：由于透镜为园形，主轴为其对称轴，所以各主截面内 光线分布均相同，只需研究一个面内的成像就行了。 孔径： 垂直于主轴方向透镜的直径。当透镜厚度与其曲率半径相比可以忽略不计时，称为薄透镜； 当透镜厚度与其曲率半径相比不可忽略不计时，称为厚透镜。null二、近轴条件下薄透镜的物像公式在近轴光线条件下，对透镜两面的折射过程分别应用球面折射成象公式（逐个球面成像法）：1、物像公式薄透镜物像公式null2、讨论：③ 薄透镜的会聚和发散，不仅与其形状有关，还与两侧的介质有关：空气中的薄透镜null④ 高斯公式⑥ 薄透镜简化模型凸透镜凹透镜null1、定义：在近轴光线和近轴物的条件下，像的横向大小与物的横向大小之比。2、说明：null四、薄透镜作图求像法1、主轴外的近轴物点 作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用。方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即 为所求像点。null2、主轴上的物点 物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点F且与主轴垂直的平面。 像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点F‘且与主轴垂直的平面。 付轴： 焦平面上任一点与光心O的连线。有无穷条。 焦平面的性质：物方焦平面像方焦平面null利用物方焦平面利用像方焦平面§3-8 近轴物点近轴光线成像条件 §3-8 近轴物点近轴光线成像条件 前几节研究了在近轴光线条件下，主轴上的发光物点的反射和折射成像规律。实际的物体总有一定的大小，它可以看成由无数个发光物点构成。这些发光物点有的在主轴上，有的在主轴外。因此，研究具有一定大小的物体的成像，就归结为研究主轴外的发光物点的反射、折射成像。一、费马原理的推论费马原理：光在空间两定点间传播时，光程总是取极值。 两点一定，其极值为一个确定值。 无论这两点间有多少条实际光路，每条光路（即光线）的光 程都必须且只能等于这个确定值。要使物体上的任一点Q（定点）理想成像于Q‘（另一定点），即从Q点发出的所有光线经反射或折射后均会聚于Q’，必须满足：从Q点发出的所有光线到达Q‘时，光程均相等。——费马原理的推论等光程成像原理，适用于所有理想成像过程null二、近轴物近轴光线球面反射成像1、物像公式 由近轴物点Q发出的光线，一条在球面顶点O处反射，另一条在球面任意位置A点处反射，两反射光交于Q`点。由图可求得从Q点到Q`点的光程为：null当反射点A的位置不同时，h值将不同，因而会得到不同的光程值。 若要使Q点理想成像于Q‘点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值， 即其光程与h无关。为此令上式中所有含h的项的系数为0，有：2、说明⑵ 此公式是一般公式，对主轴外、主轴上的物点均适用。⑶ 当轴上物点P和近轴物点Q具有同一 物距 s 值时，轴上象点P`和近 轴象点Q`必有同一象距 s`值，物和象具有几何相似性，即近轴光条 件下近轴物可实现理想成象。null⑸ 从公式推导中可看出：主轴外物点要理想成像，必须满足近轴条件： A、光线必须是近轴的； B、物点必须是近轴的。三、近轴物近轴光线球面折射成像1、物像公式近轴物点Q发出的两条光线分别在球面的O点和A点发生折射，折射光交于Q`点。null在近轴光线和近轴物点条件下，用二项式定理展开并略去高次项得： 当折射点A的位置不同时，h值将不同，因而会得到不同的光程值。 若要使Q点理想成像于Q‘点，由费马原理的推论，光程必须为唯一定值， 即其光程与h无关。为此令上式中所有含h的项的系数为0，有：2、说明：null⑵ 由上述公式可知：若近轴线状物垂直于主轴，则其像为线状也垂直于主 轴，满足理想成像条件。例题:例题:用一个焦距为20cm的凸透镜与一个平面镜组成共轴光具组，平面镜位于透镜右边10cm处，今置高为1cm的物体于透镜左方10cm处（系统处于空气中），（1）求最后成像的大小和性质；（2）作出准确的光路图。 [解]：此题属三次成像问题。如图示。（1）物y对凸透镜 s1= -10cm f1'=20cm∴ 由高斯公式有： β1=s1'/s1=(-20)/(-10)=2y1=β1y=2×1=2cm（2）y1对平面镜 s2= -10-20= -30cm∴ s2'= -s2=30cm β2=1 y2=2cmnull（3）y2对凸透镜 s3=30+10=40cm f3'= -20cmβ3=s3'/s3=(-40)/40= -1 y3=β3y2=(-1)×2= -2cm∴ 最后成像在凸透镜左方40cm处，为放大、倒立的实像。光路图如下：§3-9 理想光具组简介§3-9 理想光具组简介引言：理想光具组是一种简化方法，把共轴系统作一个整体处理，以一个等效光具组代替整个共轴光具组的光学系统，不必考虑光在该系统中的实际路径。理想光具组理论建立了点与点、直线与直线、面与面间的共轭关系的纯几何理论。物方的每个同心光束转化成象方的一个同心光束，满足这种理想成象要求的光具组，叫理想光具组。 null一、理想光具组的基点和基面1、主点和主平面① 物、像方主点H、H’是一对共轭点；② 物、像主主平面是共轭平面，且面上任一对共轭点到主轴的距离相等；入射到物方主平面上一点M 的任一条光线，将从像方主 平面上等高点M‘处出射。null2、焦点、焦平面① 平行于主轴的光线经光具组后会聚于像方焦点（如图1）② 过物方焦点的光线经光具组后平行于主轴（如图2）③ 一束倾斜平行光经光具组后交于像方焦平面上一点（如图3）④ 物方主平面上任一点发出的光线经光具组后成为一束倾斜平行光（如图4）null3、节点和节平面① 从物方节点入射的光线，将从像方节点出射，且传播方向不变（u=u’)③ 当光具组两边为同一介质时，节点与主点重合。 （K与H重合，K‘与H’重合）null二、理想光具组的角放大率三、理想光具组的简化模型四、理想光具组的作图求像法四、理想光具组的作图求像法1、对主轴外的物点取下述三条特殊光线中的两条即可2、对主轴上的物点（1）、利用物方焦平面null（2）、利用像方焦平面