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函数的奇偶性

2010-10-25 4页 doc 174KB 85阅读

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函数的奇偶性             函数的奇偶性 函数的奇偶性 一.函数奇偶性的概念   一般地,如果对于函数 的定义域内的任意一个 ,都有 ,那么称函数 是偶函数;如果对于函数 的定义域内的任意一个 ,都有 ,那么称函数 是奇函数.   如果函数 是奇函数或偶函数,我们就说函数 具有奇偶性. 1.奇偶函数的定义域关于原点对称.   若 是定义域中的一个数值,则 也比如在定义域中,因此,函数 具有奇偶性的一个必不可少的条件是:定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称.换而言之,所给函数的定义域若不关于原点对称,则这个函数必不具有奇偶性,例...
函数的奇偶性
             函数的奇偶性 函数的奇偶性 一.函数奇偶性的概念   一般地,如果对于函数 的定义域内的任意一个 ,都有 ,那么称函数 是偶函数;如果对于函数 的定义域内的任意一个 ,都有 ,那么称函数 是奇函数.   如果函数 是奇函数或偶函数,我们就说函数 具有奇偶性. 1.奇偶函数的定义域关于原点对称.   若 是定义域中的一个数值,则 也比如在定义域中,因此,函数 具有奇偶性的一个必不可少的条件是:定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称.换而言之,所给函数的定义域若不关于原点对称,则这个函数必不具有奇偶性,例如函数 在区间 上为偶函数,但在区间 上却无奇偶性可言. 2.若奇函数 在 有定义,则 . 3. 为偶函数, 为奇函数.   对于复合函数 :若 为偶函数,则 为偶函数;若 为奇函数,且 为奇函数,则 为奇函数;若 为奇函数,且 为偶函数,则 为偶函数. 二.奇偶函数的图象与性质 1.奇函数图象关于原点成中心对称图形,偶函数图象关于 轴成轴对称图形,反之亦然.   因而研究这类函数的性质时,只需通过研究函数在区间 或 上的情况,即可推出函数在整个定义域内的性质(或图象). 2.重要性质: ①注意函数 与 的单调性与 相关. ②注意函数 与 的单调性之间的关系. ③奇函数在 和 有相同的单调性. ④偶函数在 和 有相反的单调性. 三.函数奇偶性的判定方法   判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法: 1定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区域,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点的对称区域,再判断 是否等于 ,或 是否等于零,或判断 是否等于 等. 2图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或 轴)对称. 3性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论要注意各函数的定义域.) 例1.证明下列各题: (1函数 , ,若对于任意实数 、 ,都有 .求证: 为奇函数. (2函数 , ,若对于任意实数 、 ,都有 .求证: 为偶函数. (3设函数 定义在 上,证明 是偶函数, 是奇函数. 证明:(1)设 ,则 ,∴ .     又设 , ,则 ,∴ .∴ 为奇函数. (2令 , ,得         令 , ,得          由得 .∴ 为偶函数. (3由于对任意的 ,也必有 .可见 的定义域也是 . 若设 , .则 与 的定义域也是 ,显然是关于原点对称的区间.而且 , .        所以 是偶函数, 是奇函数. [点评]由此题可知任何一个定义在R上的函数 都可以表示成一个偶函数 和一个奇函数 之和. 例2.判断下列函数是否具有奇偶性. (1;(2) ;(3) ; (4;(5) ;(6) ; (7;(8) ; (9) . 4用对称的方法讨论函数图象的性质   我们知道偶函数关于 轴对称,奇函数关于原点对称.这样我们只要把区间 上函数的图象与性质讨论清楚,就可知道区间 上函数的图象和性质.奇偶函数图象的对称性可作如下推广: 在定义域内恒满足: 的图象关于    对称       直线       直线       直线       点       点       点 例3.试画出函数 的图象. 例4.如果函数 ,对任意实数 都有 ,比较 、 、 的大小. 五.简单分式函数的图象与性质   学完了函数的奇偶性和单调性之后,我们可对简单分式函数的图象与性质作一些讨论. 例5.讨论函数 的奇偶性和单调性,并画出图象.   在这里把几个新的概念向同学们作些描述: (1)渐近线:图中直线 及 为 图象的渐近线.当 时, , 的图象越来越靠近直线 ,无限地接近直线 ,因此我们把 叫做 图象的渐近线. (2)间断点:当 时,函数无意义,在这里我们把 叫做 的间断点. (3)极限:当 时, ,这里0是 当 的极限. (4)左、右极限:当 从左边趋向零时, ;当 从右边趋向零时, .着叫做 的左右极限.可见 在 处的左右极限是不同的,而 也是 的渐近线.    我们画分式函数的图象一般要找到它的间断点,渐近线,增减分界点(即极值点),并运用奇偶性和增减性,才能画出有数量特征的图象来. 例6.讨论函数 的奇偶性和单调性,并画出图象. 练习: 1是偶函数,且在 上递减,则 与 的大小关系是:      . 2若 是偶函数, 是奇函数,且 ,求 与 . 3已知函数 的定义域为R,且对任意实数 、 总有 成立.求证: 是偶函数. 4已知函数 . (1)求函数的定义域与值域;(2)判断奇偶性;(3)判断单调性;(4)作出图象. 5设函数 是奇函数,且在 上单调递增, , ,求 的值. 6讨论函数 的奇偶性和单调性,并画出图象.
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