第6章 二次型及其标准形

nullnull第六章二次型及其型 §6.3 正定二次型与正定矩阵§6.2 化二次型为标准型§6.1 二次型及其矩阵示null在平面解析几何中，我们知道标准方程中的图形为圆。的图形为椭圆。的图形为双曲线。对于一般二次曲线的图形是什么？§6.1 二次型及其矩阵表示null判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见图所示.null称为二次型。含有n个变量 的二次齐次多项式定义1：null例如：都是二次型。不是二次型。null则（1）式可以表示为二次型用和号表示null注其中A为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素恰好是的系数。3、的系数的一半分给可保证null例如：二次型注：二次型 对称矩阵null写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。解nullnull只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。null对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。当C是正交矩阵时，称简记一、 非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。 当C 是可逆矩阵时, 称§6.2 化二次型为标准型当C是正交矩阵时，称为正交变换。null问题的提出：由变量y1, y2,…， yn到x1, x2,…， xn线性变换 若Ｃ为满秩矩阵，则上述线性变换称为满秩线性变换或 X=CY.问题：如何找一个满秩线性变换X=CY.，使得将其代入二次型后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式（标准型）。§6.2 化二次型为标准型null问题的讨论：现将X=CY代入二次型，得 上式右端是关于变量y1, y2,…， yn的二次型。如果其为标准型：标准型的系数矩阵是对角阵 Λ＝diag( d1, d2, …， dn) 比较上式两端得：ＣＴＡＣ＝ Λ ＝ diag( d1, d2, …， dn) 所以，寻求满秩线性变换X=CY，把二次型f (X) 化为标准型，从 矩阵的角度讲，就是寻求满秩方阵Ｃ，使得 ＣＴＡＣ＝ Λ 如果存在 n 阶可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝ Λ ，则称 Ａ和Λ。问：使得 ＣＴＡＣ成为对角阵Λ的满秩方阵Ｃ是否存在？null矩阵的合同：定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1) 反身性(2) 对称性(3) 传递性null二. 化二次型为标准形正交变换法（重点）问题转化为：回忆：nullnullnullnull例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解 二次型的矩阵为null3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：5)写出正交变换 X=QY，则可得标准型null注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。null解化为标准形。的特征值求二次型的矩阵null求A的规范正交的特征向量null求正交变换矩阵null写出二次型的标准形null解由题意nullA与D有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量(正交)为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵2. 配方法2. 配方法⑴ 同时含有平方项与交叉项的情形。例4 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：令令二次型的标准形为所求的可逆线性变换为即例5 用配方法化二次型例5 用配方法化二次型为标准形,并求出所作的可逆线性变换.解 令⑵ 只含交叉项的情形。令令即则二次型的标准形为所用的可逆线性变换为所用的可逆线性变换为null1、(1) 合同且相似；(2) 合同但不相似；(3) 不合同但相似；(4) 不合同且不相似；⒈ 惯性定理经正交变换例1中⒈ 惯性定理标准形为(1)§6.3 正定二次型与正定矩阵用配方法,得可逆线性变换用配方法,得可逆线性变换(2)标准形为标准形为(1)唯一确定。小结：二次型的标准形不唯一，但平方项个数被 f 的矩阵Anull对式(1) 、(2)作可逆线性变换(1)(2) f 的标准形化为称(3)式为二次型的规范形.(3)null定理 二次型必可化为规范形。证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:再做一次可逆的线性变换思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？null(1) 二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？ (3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？ (4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么？定理(惯性定理) 任何实二次型总可以经过一个适当的可逆定理(惯性定理) 任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形,规范形是唯一的。其中 r 为 f 的秩，p为正惯性指数，r－p为负惯性指数。二次型都有⒉ 正定二次型定义 设为实二次型( A为实对称矩阵),如果对于任意非零向量称 f 为正定(半正定)二次型,称正定(半正定)二次型 f 的矩阵A为正定(半正定)矩阵。二次型的对称矩阵A是正定（半正定）矩阵。二次型正定（半正定）二次型二次型的对称矩阵A是负定（半负正定）矩阵。二次型负定（半负正定）null任例1 判别下列二次型的正定性,故半正定.1.2.解1.代入都有2.不定.例2 设例2 设取为正定矩阵.证明代入注意null当设存在可逆变换证明可逆,充分性:使时必要性:则取,使假设存在与 f 正定矛盾.定理 实二次型正定个系数全为正.推论推论正定的 n 个特征值全为正.各阶顺序主子式全大于0,即定理正定奇数阶顺序主子式为负,负定偶数阶顺序主子式为正,即f 为负定的充要条件是 A 的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正。null例3例3设 为正定矩阵,与 合同,证明 也正定.证明从而则上式右端全为正,null判别二次型的正定性.解它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别 －Ａ 为正定.null是正定二次型？解 二次型的矩阵为A的顺序主子式为：所以当例5 问t 满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于0，此时 f 正定。null解判别二次型是否正定.即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值nullA特征值是两正一负。例8例8证明存在可逆矩阵为实对称阵,实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是:使则存在正交矩阵使必要性:令令由于 可逆,且充分性:任意则从而null3.3.正交变换法:1.二次型的矩阵表示方法,二次型的秩,矩阵的合同关系.2.1)二次型化为标准形的矩阵 与对角矩阵 合同.求正交变换化二次型为标准形找正交矩阵使2)配方法小结惯性定理null关于正定有如下充要条件:4.二次型 正定等价于的矩阵 正定.1)标准形中平方项的系数全为正.2)3)4)5)的特征值全为正.的顺序主子式全为正.与单位矩阵合同.存在可逆矩阵 ,使