《大学基础物理实验》-投影

null《大学基础物理实验》绪论《大学基础物理实验》绪论主讲人：张春玲null实验课的实验课的要求预习 （20%） 看懂教材、明确目的、写出预习报告 预习报告：原理简述(一小段）、用到的公式、实验步骤（实验光路、电路图）、注意事项、数据 课堂实习 （40%） 独立操作仪器设备，记录测量数据。对记录的原始数据或观测到的现象进行分析，肯定基本合理后，交指导教师审查，不合理或错误的实验结果，经分析后要补做或重做。离开实验室前要整理好使用的仪器，做好清洁工作，经指导教师批准后，方可离开。 实验报告（40%） 实验报告：目的要求、原理简述、仪器用品、数据处理、思考题或者实验讨论实验报告格式实验报告格式实验名称 专业 姓名 组别 实验时间（周一晚上） 目的要求 实验原理简述 仪器用具 数据处理 问题讨论 回答教师指定的思考题注意事项!注意事项!迟到15分钟以上不准进入实验室，计零分。无故缺席者记零分。 若因病（医生）、因事（学院办公室证明）而缺课，应提前请假。 对号入座。 未经教师同意不得擅自操作，违规造成损失要赔偿。 实验结束请教师检查合格并签字后将仪器还原摆好。 按要求做实验报告，于下次实验前将报告交组长，由各组组长统一交给此次实验教师或放到指定的报告箱内。 严禁抄袭，疑似抄袭一般记零分。null§1 普通物理实验的意义、目的 §2 测量的基本概念及读数规则 有效数字及其运算法则 §3 测量不确定度 §4 实验数据处理方法 物理实验本质上就是要对实验过程进行观测§2　测量的基本概念及读数规则§2　测量的基本概念及读数规则物理量的表示方法： 一般 一个数值乘以测量单位所表示的特定量的大小 用数值和单位表示其大小，还要考虑其方向（如力、速度等） 通过实验测得的量（除个别无单位常数外） 用数值、单位和测量不确定度三者来表示，有的还要注明方向§2.1 测量基本概念 §2.1 测量基本概念 测量将预定的标准与未知量进行定量比较的过程和结果 测量过程中必须满足两个必要条件 (1)预定的标准必须是精确的已知量，并为人们所公认； (2)用以进行定量比较的仪器设备和程序必须能被证明是正确的 测量五要素---观测者、测量对象、测量仪器、 测量方法及测量条件 null1.直接测量 将待测量与基准或标准直接进行比对，从而直接读出待测量是标准单位的多少倍。 单次测量---根据需要或可能 多次测量2.间接测量 利用它与另外一些可直接测出的物理量之间的函数关系间接求取, 例如：§2.2 读数规则 §2.2 读数规则 仪器的可读度取决于采用模拟显示的仪表和观测者 1．线性刻度的仪器仪表，估读至其分度值的十分之几 2．几种类型的仪器仪表，一般不进行或不可能估读 读数规则的重要性：仪器、仪表读数的末位即是读数误差所在位，它将直接关系到对测量不确定度的估计。null49.82mmnull5.737mmnull0.919 KΩ§2.3 有效数字及其运算法则§2.3 有效数字及其运算法则 0 1cm一.有效数字：正确有效地表示测量和运算结果的数字 1.有效数字的组成 准确（可靠）数字＋一位欠准（可疑）数字 有效数字的位数---从第一位非零数字算起数字的个数9.3mm 两位有效数字 0.0093m 两位有效数字null2.与有效数字有关的几个问题 (1)测量结果的有效数字最终将取决于测量不确定度的大小，应遵从与测量不确定度末位取齐的原则 测量不确定度取一位或者两位 (2)科学计数法 (3)常数2,1/2, ,π及e等的有效数字位数是无限的 4位有效数字null二.有效数字的运算法则 1．尾数舍入规则 小于五舍，大于五入，等于五时尾数凑成偶数 2．有效数字的四则运算法则 加减法：“尾数取齐” 乘除法：“多取一位” 算术平均值 “多取一位” 一切近似常数一般应比测得值至少多取1～2位数字。在进行大量繁复运算，为了不失去原有精度就应尽可能地多保留一些位数。§3　测量不确定度§3　测量不确定度测量不确定度是正确表示实验测得量的需要。 测量不确定度：表征被测量的真值所处的量值范围的评定，是用以表述测量结果分散性的参数。§3.1 基本概念 测量不确定度可理解为测量结果有效性的可疑程度或不肯定程度，从统计意义上来理解，它是待测量真值所处范围的估计。null真值--被测量客观存在的真实值。（理想化的概念） 约定真值--给定目的、具有一定不确定度的、赋予特定量的值。 常用的约定真值有：国际计量会议约定的值或公称值（如基本物理常数、基本单位标准），经高一级仪器校验过的计量标准器的量值等。例如--国际千克原器的质量就是国际计量学约定真值。标准不确定度种类标准不确定度种类A类标准不确定度： 由对一系列测得值直接进行统计分析得到的 B类标准不确定度： 根据经验或其他信息进行评定 合成标准不确定度： 直接测量量的不确定度可以包含前两种不确定度 间接测量的测得值是由若干直接测量的测得值通过一定的函数关系求出的，所以其标准不确定度也应由合成标准不确定度表示。§3.2 误差基本概念、分类及其表示法 §3.2 误差基本概念、分类及其表示法 １．误差定义与误差公理 测得值(x)与被测量的真值(a)之差－－误差 误差存在于一切测量过程的始终，这一事实已为一切从事科学实验的人们所公认，故称之为误差公理。每一个测量要素对物理量的测得值均可能产生影响，使其与真值之间不可避免地产生差异。 ２．误差分类 ２．误差分类 系统误差---- 随机误差---- 测量误差的系统部分在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号恒定，或在条件改变时按某一确定规律变化的误差。测量误差的随机部分在相同条件下多次测量同一量时，误差时大时小、时正时负，无规则地涨落，但是对大量测量数据而言，其误差遵循统计规律。null3. 误差的表示（1）绝对误差 绝对真误差： 测量值与被测量的真值之差δx=x-a 样本方差、标准偏差：在有限次测量中，以 表示一组符合正态分布的等精度测量的取样标准误差的精确估计值，称为样本标准偏差。 算术平均值的标准偏差为 的1/ ，即： （2）相对误差 （2）相对误差 相对误差 EX 等于X的测量误差与其绝对量值之比。当粗略估计误差时，因测量值的绝对误差以δX表示 ,故： 定值误差 §3.3 系统误差的发现、减弱及处理方法 §3.3 系统误差的发现、减弱及处理方法 1. 系统误差主要来源 2．系统误差的不同的存在方式 3．系统误差的发现 4．减弱或消除系统误差的方法 5．系统误差的传递 1. 系统误差主要来源 1. 系统误差主要来源 仪器本身 条件不满足 方法理论误差 个人误差 相同条件下的多次测量方法不能减弱或消除系统误差，但是可能帮助人们发现那些由于外界影响因素而导致的系统误差。改变实验条件进行反复测量，然后根据测量结果和实践经验进行分析，不仅可以发现系统误差的存在、找到产生这种误差的原因，而且可能尽量减弱以至消除某些系统误差对测量结果的影响。 2. 系统误差的不同的存在方式2. 系统误差的不同的存在方式按系统误差的稳定程度划分 恒定系统误差---不随实验条件变化的系统误差 可变系统误差 由于理论公式的近似、系统与外界的热量交换、电源电动势随时间而线性变化以及周期性系统误差均为可变系统误差。按对系统误差掌握的程度划分 ---已定系统误差（方向和大小均可确知的误差） ---未定系统误差§3.4 随机误差§3.4 随机误差１．随机误差的特点 例２：以50分度游标卡尺对标称直径3.010cm的钢球进行150次（约三互垂直方向各50次）测量，测得值xj 的对应次数分别为kj ，列于表２。主要来源于不确定或无法控制的随机因素 如观测者视觉、听觉的分辨能力及外界环境影响因素的扰动等。这些外界因素的微小扰动，使单个测量值的误差毫无规则，从而导致它们在大量测量中产生正负相消的机会。 相同条件下多次测量的算术平均值比单个测量值的随机误差小，增加测量次数可以减小随机误差。表 2表 2null  表３ 测量数据统计表 ---- 百分率（又称频率） ----- 百分率密度（或频率密度）null随机误差的特点 ①单峰性 ②有界性 ③对称性 ④抵偿性抵偿性是随机误差最本质的统计特性。原则上可以说，凡是具有抵偿性的误差，均可按随机误差进行处理。阴影部分的面积表示随机变量在该数据区间内出现的频率，即： 所有矩形面积之和 图1纵坐标平移（如虚线所示），有：null当 ， 时，统计值方图的包线成为一条光滑曲线。随机误差落在 区间内的概率就是此微分单元中曲边梯形（阴影部分）的面积，即： 因图２中曲线下面包围的面积表示随机误差落在整个数据区间内的概率应等于1 。或曰事件（误差或测得值等）出现在全部区间内的概率：随机误差概率密度分布函数（正态分布函数）的归一化条件 概率密度函数为： 概率是随机事件出现可能性大小的量度null对一定的测量条件而言，σ有确定的数值；而且参数σ的值决定了正态分布曲线的形状 凡σ相同的测量都称为等精度测量方差--- 标准误差---方差的算术平方根2.标准化正态分布、误差的概率计算、置信概率 2.标准化正态分布、误差的概率计算、置信概率 (1)标准化正态分布: 随机误差落在 区间内的概率 计算误差出现在（δ1, δ2 ）区间内的概率，需求积分 令 概率密度函数变为 它相当于真值 ，参数 时的概率密度函数，被称为标准化正态分布。 标准化正态分布的分布函数即拉普拉斯函数： null(2)概率密度的计算（略） (3)置信概率－真值出现在某数据区间的概率 真值出现在置信区间(x-σ,x+σ)内的概率约为68.3% (x-2σ,x+2σ) 95.4% (x-3σ,x+3σ) 99.7% 误差极限 当希望以较高的置信概率(我国规定为95%)表述测量结果时，需要将标准不确定度扩大而乘上一个系数cp，即：Up为扩展不确定度３．有限次测量的标准偏差、直接测量Ａ类标准不确定度的估计３．有限次测量的标准偏差、直接测量Ａ类标准不确定度的估计有限次测量中标准偏差的估计——贝塞尔公式 样本标准偏差 样本算术平均值的标准偏差 算术平均值的标准偏差 表示有限次测量的最佳估计值对其数学期望值a的分散性直接测量Ａ类标准不确定度的估计直接测量Ａ类标准不确定度的估计单次测量－－测量结果是本次的测得值，在这种情况下，其Ａ类不确定度用与本次测量条件相同的“早先的多次测量”所得到的样本标准偏差表示，即： 多次测量－－Ａ类标准不确定度是对一系列测得值进行统计分析计算所得到的标准偏差估计值，用 来表示 （２）置信概率、ｔ分布（“学生分布” ）（２）置信概率、ｔ分布（“学生分布” ）有限次测量的结果遵从“t分布” 其概率密度函数为： t分布的峰值低于正态分布，为了达到同样的置信概率，即使曲线下面包围的面积相同，就要把误差扩大些，即若将Sxi或Sx乘上一个t分布的置信系数tpk，则其置信概率与n→∞时以σxi或σx表示结果的置信概率相同 例如：真值出现在区间 内的概率约为68.3%等 表５ 不同置信概率时t分布的置信系数与自由度的关系 彼此独立的随机变量的个数，等于测量次数减去该组测量中约束条件数表５ 不同置信概率时t分布的置信系数与自由度的关系 彼此独立的随机变量的个数，等于测量次数减去该组测量中约束条件数null用米尺测量黑板擦的长度三次算数平均值样本标准偏差算术平均值的标准偏差A类标准不确定度null解：根据贝塞尔公式有： 算术平均值的标准偏差： 查表５知：当自由度 时，ｔ分布的置信系数 所以，置信概率为68.3％时， 的Ａ类不确定度为： 例５ 以数字毫秒计时器（时基即最小读数单位为1ms）测定气轨斜面上滑块由某定点开始下滑时通过一定距离所经历的时间间隔t，在相同条件下独立测量了６次。测得数据如下（单位：s）：1.562　1.564　1.560　1.563　1.561　1.562。试估计其Ａ类不确定度。上节课内容回顾上节课内容回顾有效数字的运算法则 1．尾数舍入规则 小于五舍，大于五入，等于五时尾数凑偶 2．有效数字的四则运算法则 加减法：“尾数取齐” 乘除法：“多取一位” 算术平均值 “多取一位” 近似常数一般应比测得值至少多取1～2位数字。有效数字的组成 准确（可靠）数字＋一位欠准（可疑）数字 有效数字的位数---从第一位非零数字算起数字的个数nullA类标准不确定度：由对一系列测得值直接进行统计分析得到的 随机误差：测量误差的随机部分，是对大量测量数据而言，其误差遵循统计规律。 随机误差的特点①单峰性 ②有界性 ③对称性 ④抵偿性 直接测量Ａ类标准不确定度的估计 单次测量 多次测量null用米尺测量黑板擦的长度三次算数平均值样本标准偏差算术平均值的标准偏差A类标准不确定度§3.5 均匀分布理论、直接测量中Ｂ类标准不确定度的估计§3.5 均匀分布理论、直接测量中Ｂ类标准不确定度的估计一．测量仪器及其误差 二．均匀分布理论 三．直接测量Ｂ类标准不确定度的估计一．测量仪器及其误差一．测量仪器及其误差１．测量仪器 --包括量具、测量仪器和测量转换器 量具：不经过任何转换即可实现物理量值的装置，它只具有物理量的输出信号或输出大小。 测量仪器：它能够将测量信号转换为可以被人们的感觉器官直接接受的输出信号。 测量转换器：它与测量仪器的区别仅在于：其输出信号只适用于传输和保存，以供进一步转换或用作控制信号，而不能为人们的感官直接接受。 测量仪器的精密度和准确度会给测量带来不确定度。null２．仪器误差 基本误差－－在规定条件下使用时，测量仪器的误差（允差） 附加误差－－当测量仪器没有在规定条件下使用，由于外界影响物理量的存在，使测量仪器产生的误差 示值变差－－在测量迅速随时间变化的物理量时，由于仪器本身的动态响应特性欠佳，而使仪器的示值产生一个区别于真值的变差 单次测量的不确定度取决于仪器的基本误差，当仪器的基本误差没有给出时，就应根据测量的实际情况或参考仪器的分度值ε（测量仪器的最小分划单位）进行估计，它们对应仪器的误差极限Δ，它等于置信概率p=1时的扩展不确定度U。对于正态分布而言Δ=3σ。 遵从第一类读数规则的大多数仪器的误差遵从正态分布，观测者的反应时间遵从正态分布二．均匀分布理论二．均匀分布理论一些仪器的误差遵从均匀分布，如数字显示仪表、机械停表等属于第二类读数规则的仪器仪表。 对一些完全不知其分布的误差，也往往假定它们遵从均匀分布 在估计多次测量的不确定度时，除Ａ类标准不确定度外，还应包括由仪器的不精密度或由于仪器分辨率（所谓仪器的分辨率是指仪器最小可测输入的变化量）的限制引入的Ｂ类不确定度。因为小于其最小读数或动作单位的数值不能显示，所以，在此区间内的读数是一个定值，故也应遵从均匀分布。null若某连续的随机变量ε在（ε1，ε2）区间内取值不变，则称ε遵从均匀分布 因 故 三．直接测量Ｂ类标准不确定度的估计三．直接测量Ｂ类标准不确定度的估计1.单次测量 （１）仪器的允差服从正态分布p=68.3%时 第一类读数规则的仪器仪表多属于这种情况:物理天平感量属于均匀分布 一般Δ取仪器的分度值，但是米尺的Δ取分度值的一半（0.5mm） （２）仪器的允差遵从均匀分布 第二类读数规则的仪器仪表多属于这种情况（游标卡尺属于两点式分布） 完全不知其分布的误差也多假定其遵从均匀分布null（３）一般地，如果知道对应不同分布之置信概率为１（即p=1）时的覆盖因子c(1)，则Ｂ类标准不确定度： 2.多次测量 其B类不确定度一律遵从均匀分布。设仪器的分辨率为 ,则，Ｂ类标准不确定度为： 米尺 最小分度值1mm 最大允许误差0.5mm 分辨率0.1mm 游标卡尺 0.02mm 0.02mm 0.02mm 螺旋测微器 0.01mm 0.004mm 0.001mm§3.6 合成标准不确定度、间接测量标准不确定度的估计§3.6 合成标准不确定度、间接测量标准不确定度的估计直接测量的合成标 准不确定度 利用广义方和根法，即把各标准不确定度分量平方、求和，再求其算术平方根二．关于测量不确定度的取位二．关于测量不确定度的取位测量不确定度是对一系列测得值进行统计的或非统计的分析计算所得到的标准偏差的估计值。因此，测量不确定度自身也存在不确定度。 当测量不确定度的首数小于“5”时，取两位数字，当其首数大于或等于“5”时只取一位数字。 标准相对不确定度一律取两位数字。测量结果的表示null用米尺测量黑板擦的长度三次算数平均值样本标准偏差算术平均值的标准偏差A类标准不确定度null例10 以电子停表（时基为 0.01s）测定单摆100个周期的持续时间四次，数据如下（单位：s ）：196.48，196.24，196.89，196.65 。试估计时间的合成标准不确定度 。 解 ①计算 的算术平均值 及其Ａ类标准不确定度 ② B类标准不确定度包括两部分 手控计时引入 部分： 电子停表（数显）引入部分： ③用广义方和根法估计 合成标准不确定度 自由度 null例：用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6次测量值yi分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同时读得螺旋测微计的零位y0为：0.004, 单位mm，请给出完整的测量结果。 解：测得值的算数平均值为 测得值的最佳估计值为 算数平均值的标准偏差 则：测量结果为 Y=0.2460±0.0009mm三．间接测量的合成标准不确定度三．间接测量的合成标准不确定度 用广义方和根法求间接测量的合成标准不确定度 求间接测量合成标准不确定度公式的方法步骤 求间接测量合成标准不确定度公式的方法步骤 ①求全微分，或先取对数再行微分。当函数形式为混合运算时，可通过假设将函数化为乘除和加减相分离的形式，再求微分。 ②合并同一微分量的系数。 ③逐项平方，并将微分符号“ d ”改写为标准不确定度的符号“ u ”。各平方项间以“ + ”号连接。最后等式两端开平方即为所求。null用米尺测量黑板擦的长度三次黑板擦的面积？其不确定度？用米尺测量黑板擦的宽度三次null已知g=4π2l/T2，试求g的相对标准不确定度Eug＝ug/g解：等式两边取对数 lng=ln(4π2)+lnl-2lnT 上式两边逐项平方，且以“＋”号接，并将微分符号“d”改为标准不确定度的符号“u”，再开平方即得到g的相对标准不确定度的公式 Eug＝ug/g＝[(ul/l)2+(2uT/T)2]1/2求微分 dg/g=dl/l-2dT/T null粘滞系数的计算公式 试求其不确定度§4 实验数据处理方法§4 实验数据处理方法一. 列表法 二．作图法 三．环差法 四．用最小二乘原理求经验方程——方程的回归 二．作图法二．作图法电阻伏安特性曲线作图步骤： 1.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 2. 标明坐标轴： 3.标实验点： 4. 连成图线： 5.标出图线特征： 6.标出图名：伏安法测电阻实验数据如下： null不当图例展示：曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。图 1null改正为：null横轴坐标分度选取不当。横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。null改正为：null图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。null改正为：三．环差法三．环差法1．运用条件 （1）函数y与自变量x成线性关系： ,或x可以写成的多项式： ,或已线性化的非线性函数等。上述函数形式均可以通过逐差或环差的方法检验函数关系、求出关系式中的系数，即物理量的值。 （2）运用逐差法或环差法时要求人为地选择自变量x使之作等差变化。 2．基本做法 (1)逐差法：为验证 y 和 x 是否成线性关系，可以等差地改变自变量 x ，进行多次测量，得出相应的y值，若满足线性关系，则可得到右面 n 个方程： 2．基本做法 (1)逐差法：为验证 y 和 x 是否成线性关系，可以等差地改变自变量 x ，进行多次测量，得出相应的y值，若满足线性关系，则可得到右面 n 个方程： 将式中的方程逐一相减称之为逐差。逐差后可得下述个n -1 方程： 求斜率 可见，逐差法只能局限于验证 y 和 x 之间函数关系（2）环差法 为了充分利用全部测量数据，减小所求系数a0及a1的测量误差，令测量次数 n = 2l ，于是将前式改写为如下的个 2l 方程： （2）环差法 为了充分利用全部测量数据，减小所求系数a0及a1的测量误差，令测量次数 n = 2l ，于是将前式改写为如下的个 2l 方程： 将 2l 方程平均分为两组，然后依前后两组的顺序对应相减求差，这种求差的方法称之为环差法。求差后，即得式（71）所表述的 l 个方程： 求斜率null金属丝杨氏模量的数学表达式 null（3）平均点作图法 当满足环差法处理数据的条件时，由上面的结论可以推出平均点作图法。将斜率表达式变为：（3）平均点作图法 当满足环差法处理数据的条件时，由上面的结论可以推出平均点作图法。将斜率表达式变为：式中，A ( ) B ( ) A 、B 称为平均点 四．用最小二乘原理求经验方程——方程的回归 四．用最小二乘原理求经验方程——方程的回归 1.相关关系和方程的回归 随机变量间的一一对应关系-----函数关系 对随机变量每一个可能的取值，另一随机变量都有一个确定的条件分布，变量间的这种关系--相关关系 2.用最小二乘原理求直线的回归方程--直线拟合 以数理统计的方法处理相关关系， 找出变量间合适的数学模型，即 以某种函数的形式表示相关关系 应用最小二乘原理→ null根据函数求极值原理令： 线性方程组的解为： 为了将 表达式简化，令： 则： 回归方程： 3.标准不确定度的估计3.标准不确定度的估计 （1）单个测得值 的标准不确定度 因约束条件有二，故其自由度为：k=n-2，据定义有：(2)斜率的标准不确定度： 的计算公式：（3）截距 的标准不确定度： 4．线性相关系数、变量间线性相关程度的检验 4．线性相关系数、变量间线性相关程度的检验 (1)定义：在概率统计中，为了描述两变量之间线性相关的密切程度，定义两变量的 线性相关系数 为： 其中 称为 与 的协方差 在有限次等精密度测量中，以平均值代表真值，以残差代表误差，时，可以定义线性相关系数的估计值： 省略符号“∧”，变换后可得： （2）相关系数 的几个特性（2）相关系数 的几个特性①随机变量放大或缩小时，相关系数不变。 ②相关系数的绝对值小于等于1，即： 。 ③若 ，则 当 时， ，称 、 正相关 时，称 、 负相关。 当 时，称 、 强正相关； 时，称 、 强负相关。 ④若 ，则称 、 线性无关，或称线性独立。（3）随机变量 、 间线性相关程度的检验（3）随机变量 、 间线性相关程度的检验 只有当相关系数的绝对值大到一定程度时，才可以用回归直线近似表示 、 之间的关系。 、 在置信概率为 时显著线性相关 线性相关不显著 、 线性无关（线性独立） 此时拟合直线将毫无意义。 不同置信概率时显著性标准与自由度（k=n-2）的关系null 进一步的推导可得出简单适用的计算公式：计算目的在于求出函数的具体形式估算目的在于求斜率的结果表达式估算目的便于进行随机变量之间线性相关的程度的检验①求截距的结果表达式 ②证明随机变量之间是否存在正比关系