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笔算开立方

2010-10-30 2页 doc 35KB 65阅读

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笔算开立方笔算开立方 笔算开立方 一天,我遇到了一道需要用到 的近似值的物理题。我没带计算器或《中学数学用表》,只好逐个计算一些数的立方,并与10比较,好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。 笔算开平方的方法我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些关联,不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下: 1.​ 将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组; 2.​ 根据最左边一组,求得平方根的最高位数; 3.​ 用第一组数减去平方根最高位数的平方,在其差右边写上第二组数; 4.​ 用求得的最高位数的20倍试除...
笔算开立方
笔算开立方 笔算开立方 一天,我遇到了一道需要用到 的近似值的物理题。我没带计算器或《中学数学用》,只好逐个计算一些数的立方,并与10比较,好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。 笔算开平方的方法我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些关联,不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下: 1.​ 将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组; 2.​ 根据最左边一组,求得平方根的最高位数; 3.​ 用第一组数减去平方根最高位数的平方,在其差右边写上第二组数; 4.​ 用求得的最高位数的20倍试除上述余数,得出试商。再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商,若所得的积不大于余数,试商就是平方根的第二位数,若大于,就减小试商再试。 5.​ 用同样方法继续进行下去。 类似地,若要写出笔算开立方的法则,显然第1步中的“两”应改为“三”,第2、3步中的“平”应改为“立”,而第5步不变化。关键是第4步如何进行。 当天晚上,我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2,完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。我先后想出了几种可能的方法,经检验,都是行不通的。那么我有必要分析笔算开平方的本质。 以两位数 为例, = (10a+b)2=100a2+20ab+b2。这里a代表平方根的最高位数,b代表试商。事实上,100a2已在第3步里被减去了。那么剩下的就是20ab+b2,即(20a+b)·b,也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。这样,如果被开方数是(10a+b)2,那么最后所得的余数恰好为零;如果被开方数比(10a+b)2大,就把10a+b看作a继续进行下去。同样的道理,这个法则对多位数、一位数和小数也适用。 类似地,(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3,其中1000a3在开立方法则第3 步里被减去了。那么我就应该把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积,求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边,用第3 步所得余数减去它们的和。举几个简单的例子验证一下: (300=12×300×1 (600=12×300×2 (1200=22×300×1) 30=1×30×12 120=1×30×22 60=2×30×12 1=13) 8=23) 1=13) 为了进一步验证这种方法的正确性,我求出了 的近似值,并与计算器的结果进行比照: (为了写简便,我把10.000……后面的“0”省略了。) 用这种方法算出10的立方根约等于2.1544,而计算器的结果是2.1544347,这说明求出的结果是正确的。 现将笔算开立方的方法总结如下: 1.​ 将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组; 2.​ 根据最左边一组,求得立方根的最高位数; 3.​ 用第一组数减去立方根最高位数的立方,在其右边写上第二组数; 4.​ 用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数,得出试商;并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边,观察其和是否大于余数,若大于,就减小试商再试,若不大于,试商就是立方根的第二位数; 5.​ 用同样方法继续进行下去。 这种方法肯定早就有人发明了。其运算量相当大,实用价值也不高。但我毕竟是独立地发现了它。虽然欣喜无法与发现新大陆相比,但这至少使我体验到在数学世界中探索的快乐。 此后不久,我居然发现这种方法在期中考试中发挥了作用── 期中考试物理试卷中有这样一道题:“神舟”三号飞船的运行周期约是91分钟,地球半径约是6370㎞,求飞船的轨道高度(以km为单位,保留两个有效数字)。 这道题并不难。根据所学知识,我很快就列出方程,并求出了结果的表达式。经过近似计算和约分、化简,结果大约是(1000 -6370)㎞。我想大多数同学能够算到这里,而对于 就束手无策了。 但它难不倒我。我运用了笔算开立方的方法。由于法则是自己总结的,所以记得很牢,用起来也得心应手。很快,我求出 ≈6.7,最终结果约是3.3×102㎞。严格地说,这个是不可靠的。要保证最终结果的第二个有效数字准确,应该把 计算到百分位。但因时间有限,且300这个数本身就是不准确的,我只好这样写。后来我看到答案,知道我的结果是正确的。 我感到高兴,因为我自己发现并总结出的规律在考试中得到应用。我觉得这种笔算开立方的方法不能为大家所知似乎是个遗憾。但它的应用似乎仅限于这类由周期求轨道半径的物理题,除此之外,别的意义很是寥寥。换言之,这种方法仅是雕虫小技而已。然而探索的过程使我体会到初步的数学研究方法,或许将有更大的意义──因为“对真理的探求比对真理的占有更为可贵”。
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