鸡兔同笼

鸡兔同笼 鸡兔同笼 目标预设： 1． 由《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问引入，激发学生的趣。 2． 了解“鸡兔问题”尝试用不同的方法解决这类问题，并使学生体会列举法的特点和怎样列举更快捷。 3． 在掌握基本解法的基础上，比较和梳理各种解法的特点。 4． 注意渗透数学建模的思想。应用鸡兔同笼问题的解题策略解决简单的实际问题，促进模型的进一步内化。 5． 渗透数学文化，关注学生的探究精神等情意目标的达成。 教学重点；渗透数学模型的思想，掌握解决此类问题的方法 教学难点：怎样灵活的选择适合自已方法。 活动预设： 一、梳理解法 1、学习准备.（课件出示） 师：上课之前来考一下大家的生活常识 准备1、 1只鸡有（ ）只头，（ ）只脚。 1只兔有（ ）只头，（ ）只脚。 准备2、 2只鸡2只兔共有（ ）只头，（ ）只脚。 7只鸡3只兔共有（ ）只头，（ ）只脚。 2、资料介绍：介绍中国数学文化，引入《孙子算经》及关于鸡兔同笼问题的资料。 1．师：数学在中国历史久矣。中国是世界上最早研究数学的文明古国之一，我们的先辈写了很多在全世界都非常有影响力的著作，比如：《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》等，这些著作对全世界数学的发展都有非常大的贡献。在我国古代数学名著《九章算术》、《孙子算经》中都记载了这样一道数学趣题。我们一起来看看。 2．课件出示：今有雉兔同笼，上有八头，下有二十二足，问雉兔各有几只？ 师：我们把它翻译成现代文就是： （课件出示：今有鸡兔同笼，上有8头，下有22足。问：鸡有几只？兔有几只？ ） 师：这是一道什么问题？（鸡兔同笼问题） 师：鸡兔同笼是什么意思？（鸡和兔关在同一个笼子里） 师：不少同学在兴趣小组活动的时候，在自己的课外阅读中都已经接触过这类问题，今天我们一起来研究它。 【板书课题：鸡兔同笼】 师：题目你能读懂吗？ （能） 师：告诉了我们哪些已知条件？ 生1：共有八个头，二十二只脚。（已知条件，学生易想到） 生2：还有两个条件：鸡有两只脚，兔有四只脚。（隐藏条件不易想到如想不到给于启发：再思考一下题目中隐藏什么条件？） （如有学生想到给于表扬）师：很好！还隐藏着两个条件，同样是读懂了，可是懂的水平不一样了！ 师：会做吗？ 师：你打算用什么方法解决这个问题？请同学们思考一下，想好了，和同桌交流一下你的想法。（2分） 师：知道怎么做的就可以自己先尝试做一下，如果暂时不知道怎么尝试的可以打开老师为你们准备的“锦囊妙计”看对你有没有什么帮助。 （学生试做，老师相机指点，并选择学生的一些典型解法，全班交流。） 2、自主探索：让学生自己去尝试：感受算法多样化，优化列举法 师：现在我们看看这位同学做的。其他的同学看看他的做法和你的有什么不同，看可以从同学身上可以学道什么？ （学生展示做法，实物投影仪显示） 学生可能出现情况： 学生作业① （22—8×2）÷(4-2)=3（只） 8-3=5（只） 答：鸡有5只，兔有3只。 师：说说你是怎么想的？ 生可能：我先假设全是鸡就有16只脚，而现在有22只脚，还少6只脚，就说明还有一些兔子被算成了鸡，而每只兔子算成鸡就少两只脚，一共少6只脚，就说明有3只兔子，还有5只鸡。 师：不但会做，而且讲得很清楚！再看看这位同学做的，这和刚才的解法联系吗？ 师：这里还有一种解法，谁做的？给大家讲讲你的思路。 （实物投影仪显示：学生作业②） 如没有：课前曾问过几个三、四年级的小朋友，他给出的方法是这样的，看看他是怎么做的？ （课件出示：） 头的只数 鸡的只数 兔的只数 腿的总数 8 0 8 32 8 1 7 30 8 2 6 28 8 3 5 26 8 4 4 24 8 5 3 22 师：谁能说说他又是怎么想的？ 生可能：他是用列举的方法凑的，找到符合条件的只数。 师：凑也是一种方法，像他们这样有序地凑就是一种列举，我们可以称它叫列举法。 师：这里还有一种和他比较类似的解法。给大家讲讲你的思路，说说你为什么不一一列举呢？要跳着跳着的列举呢？ 头的只数 鸡的只数 兔的只数 腿的总数 8 1 7 30 8 3 5 26 8 5 3 22 学生可能会说一一列举麻烦，这样能很快的找出正确。 师：这里还有一种比他写得更少的一种解法。 头的只数 鸡的只数 兔的只数 腿的总数 8 4 4 24 8 5 3 22 师：谁能说说他又是怎么想的？ 生可能：他直接是从中间开始列举的？ 谁做的，来给大家讲一讲你为什么要从中间开始列举呢？ 比较梳理：交流解法，教师作适当补充，梳理各种解法的特点 师：一上课有的同学会解答这类问题，有的不会，现在我们又学会用不同的列举法来解答，水平不一样了！数学学习讲究的就是深入，如果就此打住那我们今天的探索还是不够深入。比较一下这些不同的解法，你比较喜欢哪种方法？能说说你的理由吗？ （主要让学生分析，比较三种列举法的优劣，学会边列举边思考的解题技巧。如学生说不到可以这样引入：我们来看看这三种解法有什么不同？） 师：看来不同的解法各有各的特点，它们既有联系又有区别， 基本练习：学会了吗？来我们试一下。 1、今有鸡兔同笼，上有10头，下有32足。问：鸡有几只？兔有几只？（目的：让学生先分析条件找到应该从什么地方入手列举） 2、今有鸡兔同笼，上有11头，下有28足。问：鸡有几只？兔有几只？ 师：从这两道题你有什么收获？（列举时要先分析一下题中的数据再列举要方便一些） 师：看到大家有大家做这类题能够灵活的运用列举法去尝试，感受到大家的进步，我真为你们感到骄傲！看来数学太有魅力了。 二、建构模型 1、初步提炼：从“鸡兔同笼”到日本人说的“龟鹤问题”，再到“人和狗”的民谣，逐步提炼出鸡兔同笼问题的基本特征。 师：不但我国古代的数学著作《孙子算经》中就记载了鸡兔同笼问题， 日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。 （课件演示：龟鹤的图片） 师：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？ 生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。 师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，还可以给它取个其它的名字吗？ 生1：鸭猫问题。 生2：猪鹅问题。 生3：马鹰问题。 …… 师：抓住了本质的东西！看来这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！ 【板书：给鸡兔加上红色“”号 】 师：这儿有一首民谣，我们一起来读一读： （课件出示： 一队猎人一队狗，两队并成一队走。 数头一共是十二，数脚一共四十二。 ） 师：读了这则民谣，你有没有什么话想说? 生：我觉得这还是鸡兔同笼问题。 师：（追问）不对吧？这里是人和狗？ 生：这里的猎人有两只脚其实就是鸡，而狗就是兔。 师：你说的是这个意思吗？ （课件出示：猎人————鸡 两条腿 狗————兔 四条腿 ） 师：你能算出猎人和狗各有多少吗？用你喜欢的方法自己去试一试。 （学生练习，老师巡视指导） 师：算出来了？ 生：3个猎人，9只狗。 师：到底对不对呢？我们可以带进原题当中去验算一下。 （学生检验，确认结果正确） 师：看来鸡兔同笼不仅仅可以解决“鸡兔”同笼的问题，换成乌龟和仙鹤，换成人和狗，仍然是鸡兔同笼问题，“鸡兔”同笼其实只是这类问题一个模型！ 【板书：模型】 师：听说过“模型”这个词吗？ 生：听说过。 师：你们在哪儿听说过？ 生可能：我们都玩过飞机模型，坦克模型…… 师：那你给大家介绍一下，什么叫做飞机模型？ 生：飞机模型就是假飞机，不是真的。 师：说得好！虽然不是真飞机，但是得具备飞机的基本构造的“假飞机”，我们就称它叫飞机模型。就像这些“龟鹤问题”、“人狗问题”虽然外表不是“鸡兔同笼的问题”，但是他具备了“鸡兔同笼的问题”的基本原理。 2、首次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？ 师：以前我们就接触过鸡兔同笼问题，今天又进一步研究了这类问题，可现在老师突然想到一个问题：生活中谁会将鸡和兔放在一个笼子里？即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了？生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？ （学生思考） 3、游戏建模：猜硬币游戏，利用2分、5分的硬币，数形结合拓展鸡兔同笼问题的内涵，从四只脚的兔子到“五只脚的兔子”实现认识上的飞跃，进一步逼近问题本质。 师：有些同学好像已经有了自己的想法，更多的同学还在思考，接下来咱们先做一个“猜一猜”的游戏，大家可以边猜边想。 师：（出示一个信封）周老师这儿有一个信封，谁能猜出信封里放的是什么吗？ 师：猜得真准，这信封里装的就是钱，放了5元和2元的纸币，共7张，你能猜出信封里一共有多少钱吗？ 【板书：2 元、5元、共7张】 师：咱们降低些难度，你能猜出大致的范围吗？ 生：我觉得应该在14元到35元分之间。 师：就在这个范围内！你是怎么猜的？ 生：假设这些硬币全是二元，七张就是14元，假设全是五元的，七张就是35元。 师：信封里一共放了29元钱，你们能猜出信封里放了几张2元几张5元的 ？ 师：这个游戏和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？ 生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的二分硬币就相当于鸡有两只脚，而五分的硬币就相当于兔，也就是五只脚的“怪兔”！ （课件动态演示：将二分硬币换成鸡，将五分硬币换成五只脚的“怪兔”） 师：我们把兔子给“整成”了五条腿。看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔。即使再出现3只脚的鸡，我们也不会觉得奇怪了，又进一步逼近了问题的本质！ 三、拓展应用 1、再次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？ 师：刚才我就问大家，生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？现在大家觉得有吗？ （有的学生还在思考，还有的则若有所悟地点点头。） 师：下面就让我们带上一双“数学的眼睛”到我们身边去看一看…… 【板书：生活】 2、应用模型：利用模型解决实际问题，同时也促进模型的进一步内化。 （课件出示1、乒乓球赛2、儿童公园） 师：想先到哪里去看一看呢？ 乒乓球赛： 师：在乒乓球比赛中有没有类似咱们今天研究的问题呢？先请大家自己读一读。 （课件出示：12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？） 师：题目告诉我们哪些条件？ 生：它告诉我们共有12张球台，34人在进行比赛，单打就是2人打，双打就是4个人打。 师：真厉害！一下子将两个隐含着的条件也挖出来了，共四个条件。这和我们今天探索的问题有联系吗？ 生：差不多，单打就可以看成鸡有两只脚，双打就可以看成兔有4只脚，12张球台就是共有12只动物，34人就是共有34只脚，问有几桌单打就是有几只鸡，有几桌双打就是有几只兔子。 师：同意他的意见吗？这时问题就转化成这样： （课件出示：鸡2脚，兔4脚，共12头，34脚，问：鸡？只，兔？只。） 师：会做吗？用你喜欢的方法自己去试一试。 （学生练习，教师巡视指导。） 师：算出来了？ 师：谁来介绍一下你用的是什么方法？（你为什么选用这种解法？） 一个学生回答。 儿童公园 师：接下来我们再到哪里去看一看？ 生：公园 师：行，就到公园去玩玩。 （课件出示：师生共42人去龙泉湖划船，共租了10条船，恰好坐满，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船和小船各租了几条？） 师：读懂了吗？同桌先交流一下你通过读题知道了什么？ （同桌相互讨论。） 师：这还是鸡兔同笼问题吗？ 生：这其实还是一个鸡兔同笼问题，也就是说：一种怪鸡有4只脚，一种怪兔有6只脚，一共有10个头，42只脚，问：怪鸡有几只？怪兔有几只？ 师：经过我们的奇思妙想，这个问题也转化成了一道鸡兔同笼问题。 （课件出示：怪鸡4脚，怪兔6脚，共10头，42脚，问：怪鸡？只，怪兔？只。） 师：会做吗？这道题就不要求大家解答了。 （时间允许可做，不允许就） 四、反思 1、深度追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？ 师：有一个问题我们一直都在思考，现在我们再来看一看：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？ 生：（异口同声）有。 师：真的有吗？ 生：（高呼）有!! 师：的确只要你有一双数学的眼睛和一个数学的头脑，你就会在生活中找到和我们书上知识的生活原形。 2、延伸：完善板书，小结全课，注重学法指导，引领孩子学会反思和追问。 师：同学们，一上课我们就用列举法解决鸡兔同笼问题，后来我们又灵活地适当的运用方法列举法来解决这类问题，现在我们又能用解决这类问题的方法来解决我们生活中的问题，会的水平是越来越高了！其实我们的数学学习就应该是这样的——在不断的思考中逐渐深入…… （课件出示：思考让数学变得更美丽、思考让你变得更有智慧！） 师：让我们在自己的心中把这句话默默地说一遍，下课。