1.4群的各种子集

nullnull1.4 群的各种子集null 2. 常用几类子群 平庸（凡）子群（显然子群） 对任意群G，恒元E和整个群G本身都是G的子群 固有子群（真子群） 群的非平庸子群 （若无特殊说明，所说子群为真子群） 循环子群 任一元素的周期构成的子群nullRjnull 2. 陪集的性质 （1）H的两个左（右）陪集，要么有完全相同的元素 要么没有任何公共元素 ——陪集定理假设两个左陪集有一个公共元素，即由重排定理，TG=G，对子群同样适用若两个左陪集有一个公共元素，则两个左陪集完全相同null（2）陪集与子群没有公共元素证明：假设左陪集与子群有公共元素 注意：陪集中不包含恒元，即陪集一定不是群G的子群 （3）陪集中没有重复元素证明：若有重复元素 与H中无重复元素矛盾null（4）群G的阶g一定是子群H的阶h的整数倍 ——拉格朗日定理陪集与子群无公共元素，则H与 R1H 是不同的集合 H,R1H,R2H无公共元素，若仍不能充满整个群，则继续 G是有限群，则存在一个Rd-1使得H,R1H,R2H,...,Rd-1H 充满整个群，即群G的任一元素都包含在子群和它的左陪集串中 ，每个集合都有h个元素 群G的阶g=子群H的阶h × d d为整数，称为子群的指数 等于子群H左陪集数+1 （d=1，则H=G） nullnull2）阿贝尔群的所有子群都是不变子群（所有群元素对易） 3）指数为2的子群必为不变子群（d=2，则只有一个陪集） 证 明 ！4）阶为素数的群没有非平庸不变子群 null 4. 商群 定义：不变子群H及其所有陪集作为复元素的集合， 若按复元素的乘积满足群的四个条件，则构成群， 称为群G关于不变子群H的商群，记作G/H。 恒元：不变子群 阶：子群的指数 d=g/h 5. 从乘法表上找子群的陪集 与子群元素有关的各列中，每一行的元素分别构成子群或左陪集 行 列 右null例：C4v群 子群 H1={E,C4,C42,C43} d=g/h=8/4=2 不变子群左（右）陪集：{mx,my,σu,σv}null1）找出C4v群其它子群及相应左右陪集 2） D3 并指出哪些子群是不变子群null 性质： 1）恒元自成一类 2）阿贝尔群的每个元素自成一类 3）若R的阶为m，即Rm=E，则R类所有元素的阶都是m。nullnullnull4. 用乘法表判断共轭元素： 1）TS与ST是共轭的 即 若TS=R1，ST=R2 则 R1~R2 ST=ST SS-1=S(TS)S-1 反之， 互相共轭的元素一定可表达成某两元素的不同次序的乘积 2）若乘法表中左乘元素与右乘元素排列次序相同 则在乘法表中关于对角线对称的两元素互相共轭 即 互相共轭的元素一定出现在乘法表中关于对角线对称位置null群G的全部子群可分割为共轭子群类