1.6给定阶的不同群

nullnull1.5 给定阶的不同群依据： 1）群G的阶g一定是子群H的阶h的整数倍 子群的指数 d=g/h （d=陪集数+1） 2）对有限群G中的元素A，它的周期是群G的一个子群，则 有限群的任一元素的阶(m)必定是此群阶(g)的整数因子 即 g/m=整数1. n=1 群中只有一个元素，则只能有一种结构：仅有恒元G={E} null2. n=2 群中有两个元素 必有恒元，设另一元素为A，记作G= {E，A} 据群元素乘积的封闭性 E E=E E A=A 若 A A=A 则 A=E （×），因此 A A=E 即群只有一种结构：2阶循环群 G={A，A2=E} 元素的阶为2null3. n=3 设群元素为 G= {E，A，B} 据群元素乘积的封闭性 E E=E E A=A E B=BAB： 若AB=A 则 B=E （×） B A=E （×） 只能 AB=E AA： 若AA=A 则 A=E （×） E 则 {A，A2=E} 2阶循环子群 （×） 只能 AA=B 同理 BB=A 即 E=AB=A AA=A3 因此，3阶群只有一种结构，即3阶循环群 G={A，A2，A3=E} or G={B，B2，B3=E}null4. n=4 设群元素为 G= {E，A，B，C} 据：有限群，任元素阶必为群阶的整数因子 则 元素A，B，C的阶只可能是 2 or 41) 若其中任一元素A的阶为 4 A4=E 则据乘法的封闭性，群中其余两元素必定是A的幂次 可令 A2=B，A3=C 即构成由A生成的4阶循环群 G={A，A2，A3，A4=E}2) 当没有4阶元素时，所有元素，除E外，阶都应为2 即 A2=B2=C2=E 据乘法封闭性，可得4阶非循环阿贝尔群 G={E，A，B，C}，且 A2=B2=C2=E AB=C，BC=A，CA=B 这是最低阶非循环群null5. n=5 据：有限群，任元素阶必为群阶的整数因子 则 任元素的阶只可能是 1 or 5 因此 5阶群只有一种结构，即5阶循环群 G={A，A2，A3，A4，A5=E}据：有限群，任元素阶必为群阶的整数因子 则 各元素的阶只可能是 2，3 or 66. n=6 设群元素为 G= {E，A，B，C，D，F} 1) 若其中任一元素A的阶为 6 A6=E 则据乘法的封闭性，群中其余两元素必定是A的幂次 即构成由A生成的6阶循环群 G={A，A2，... ，A6=E}null2) 设所有元素的阶为 2 ， 则此群为阿贝尔群 则4个元素H={E，A，B，C}构成一个4阶子群 但此时 g/h=6/4 不是整数 因此，不能所有元素的阶都为2. 3) 设元素A的阶为 3 则6阶群中包含一个3阶循环子群 H={A，A2，A3=E}, 且为不变子群(d=g/h=6/3=2) 可令 B=A2，B2=A2A2=A，B3=A6=E 即 B的阶为 3 此时群元素可写为 G={E=A3，A，A2，C，D，F} 由群中选一元素作子群的陪集 CH={C，CA，CA2}null陪集与子群无公共元素， 则陪集中元素不属于子H 但属于原群 G 可令 CA=D CA2=FG={E=A3，A，A2，C，D，F} H={E=A3，A，A2} CH={C，CA，CA2}另，据重排定理 CG=G 即 {C，CA，CA2，C2，CD，CF}={E，A，A2，C，D，F}则 C2，CD，CF 对应于 E，A，A2先看 C2：若 C2=A，又 A3=E，则 C6=E （第一中情况） C2=A2， 则 C=A （×）只能 C2=E， 因此 C的阶为 2null群元素间乘积关系：G={E=A3，A，A2，C，D，F} H={E=A3，A，A2}null一个6阶非循环群最低阶非阿贝尔群n=6 时有两种互不同构的群7. n=7 只有一种结构，即7阶循环群 G={A，A2，...... ，A7=E}更大的 n 值，按照这样的做法继续下去，原则上式可以求出所有不同够的群，但比较困难。null一般说来，非同构群的数目随 n 的增大而增加，但是有两点共性：1）对任意有限的 n 值，总有一个由 n 阶元素构成的循环群，即 {An=E，A，...，An-1}2）若群的阶 n 是一个素数，则只能有一种结构，就是 n 阶循环群