2010专升本高等数学A2

祝贺云飞专升本又取得可喜成绩 2010 年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试 高等数学 题 号 一 二 三 四 五 总 分 分 值 60 20 45 16 9 150 注意事项： 答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 本试卷的试题必须答在答题卡上，答在试卷上无效。 一、选择题（每小题 2 分，共 60 分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 1．设函数 f ( x) 的定义域为区间 (1 , 1]，则函数 e f ( x 1 ) 的定义域为 A．[2, 2] B． (1, 1] C． (2, 0] D． (0, 2] 【答案】D. 解： 1  x  1 ﾣ 1 ￞ 0  xﾣ2 ，应选 D. 2．若 f ( x) ( x ￎR) 为奇函数，则下列函数为偶函数的是 A． y  3 x3 1 f ( x) ， x ￎ[1, 1] B． y  xf ( x) tan3 x， x ￎ (π, π) C． y  x3 sin x  f ( x) ， x ￎ[1, 1] D． y  f ( x)e x2 sin5 x， x ￎ[π, π] 【答案】D. x2 5 解： 根据偶函数的定义及结论得： y  f ( x)e sin x， x ￎ[π, π] 为偶函数， 应选 D. 3．当 x ﾮ 0时， e2 x 1是 sin 3x 的 A．低阶无穷小 B．高阶无穷小 C．等价无穷小 D．同阶非等价无穷小 【答案】D. 解： lim e2 x 1 2x  lim  2 ，从而是同阶非等价无穷小，应选 D. xﾮ0 sin 3x xﾮ0 3x 3 ￬ 1 ￯x sin 5 x 0 4．设函数 f ( x) ￭ x ￯ 1 ￮e x , x0 ，则 x 0 是 f ( x) 的 A．可去间断点 B．跳跃间断点 C．连续点 D．第二类间断点 【答案】A. 解： lim x ﾮ0 断点，应选 A. f ( x)  lim x2 sin x ﾮ0 1 x5  0; lim x ﾮ0 1 f ( x)  lim e x 0 ，从而 x 0 是可去间 x ﾮ0  5．下列方程在区间 (0, 1) 内至少有一个实根的为 A． x2  2  0 C． x3  5x2  2  0 【答案】C. B． sin x  1  π D． x2  1  arctan x0 解： 构造函数，验证端点函数值异号，应选 C. 6．函数 f ( x) 在点 x x0 处可导，且 f ﾢ( x0) 1，则 lim h ﾮ0 f ( x0 )  f ( x0 3h)  2h A． 2 3 B．  2 3 C．  3 2 D． 3 2 【答案】D. 解： lim f ( x0 )  f ( x0 3h)   3 f ﾢ( x )  3 ，应选 D. h ﾮ0 2h 2 0 2 7．曲线 y  x lnx 的平行于直线 x  y 1 0 的切线方程是 A． y  x 1 C． y   x 1 B． y  (x 1) D． y  (lnx 1)( x 1) 【答案】A. 解： y  x ln x ￞ yﾢ 1  ln x  1 ￞ x  1, y0 ，可得切线为 y  x 1，应选 A. 也可以根据切线与已知直线平行这个条件，直接得到。 8．设函数 y  x 1  x2 2 sin π ，则yﾢ  5 π x A．  2 cos 1  x2 5 2x B．  1  x2 2x 2 π C． D．   cos 1  x2 【答案】B. 1 x2 5 5 解： y  1  x2  2 sin π ￞ yﾢ x ，应选 B. 5 1 x2 9．若函数 f ( x) 满足 df ( x)   x sin x2 dx，则 f ( x)  A． cos x2 【答案】B. B． cos x2  C C． sin x2  C D．  cos x2 C 解： df ( x)  2x sin x2dx ￞ f ( x)  ￲ ( x sin x2 )dx 10． d b ￲ exsin(1  2x)dx   ￲ sin x2dx2  cos x2 C,应选 B. dx a A． ex sin(1 2x) C． ex sin(1  2x)  C B． ex sin(1  2x)dx D． 0 【答案】D. 解： 定积分是常数，其导数为 0，应选 D. 11．若 f ( x)  f ( x) ，在区间 (0,  ﾥ)内， f ﾢ( x) 0 ， f ﾢﾢ( x) 0 ，则 f ( x) 在 区间 (ﾥ 0)内 A． f ﾢ( x) 0 ， f ﾢﾢ( x)  0 C． f ﾢ( x) 0 ， f ﾢﾢ( x)  0 B． f ﾢ( x) 0 ， f ﾢﾢ( x)  0 D． f ﾢ( x) 0 ， f ﾢﾢ( x) 0 【答案】D. 解： 根据偶函数的图像关于 y 轴的性质，在 (ﾥ 应选 D. 0)内有 f ﾢ( x) 0 ，f ﾢﾢ( x) 0 ， 12．若函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内连续，在点 x0 处不可导， x0 ￎ(a, b) ，则 A． x0 是 f ( x) 的极大值点 B． x0 是 f ( x) 的极小值点 C． x0 不是 f ( x) 的极值点 D． x0 可能是 f ( x) 的极值点 【答案】D. 解： 根据可能的极限点是驻点或不可导点的结论知， x0 可能是 f ( x) 的极值点. 应选 D. 13．曲线 y xe x 的拐点为 ￦ 2 ￶ ￦ 1 ￶ A． x  1 【答案】C. B． x  2 C． ￧ 2, e2 ￷ D．￧1, ￨ ￷ ￸ 解： y  xe x ￞ yﾢ  e x  xe x ￞ yﾢﾢ ( x  2)ex ￞ x2 ，应选 C. 14．曲线 y  2 arctan x  3 5x A．仅有水平渐近线 B．仅有垂直渐近线 C．既有水平渐近线，又有垂直渐近线 D．既无水平渐近线，又无垂直渐近线 【答案】A. 解： lim y  lim ￦ 2 arctan x  3￶  3; lim y  lim ￦ 2 arctan x  3 ￶ ﾥ，仅有水 x ﾮﾱﾥ x ﾮﾱﾥ ￨ 5x ￸ xﾮ 0 xﾮ0 ￨ 5x ￸ 平渐近线，应选 A. 15．若 cos x 是 f ( x) 的一个原函数，则￲ df ( x)  A．  sin x  C B． sin x  C C．  cos x  C D． cos x  C 【答案】A. 解： f ( x)  cos x ﾢ sin x， ￲ df ( x)  f ( x)  C   sin x C,应选 A. 16．设曲线 y  f ( x) 过点 (0, 1) ，且在该曲线上任意一点 ( x, y) 处切线的斜率为 x ex ，则 f ( x)  x2 A．  ex 2 【答案】B. x2 B．  ex 2 C． x2  ex D． x2 ex 解：yﾢ  x  e x ￞ f ( x)  x  e x dx  1 x2  e x C,把点 (0, 1) 代入得C 0 , 2 所以 f ( x)  π 17． ￲ π x2 ex ，应选 B. 2 x2 sin x dx  1 x4 A． 2 B． 0 C．1 D． 1 【答案】B. 解：根据奇函数在对称区间上定积分性质知，应选 B. x2 18．设 f ( x) 是连续函数，则 ￲a f (t)dt是 A． f ( x) 的一个原函数 B． f ( x) 的全体原函数 C． 2xf ( x 2 ) 的一个原函数 D． 2xf ( x 2 ) 的全体原函数 【答案】C. 解：因为 ￩ ￪￫ x2 ￲a f (t )dt ﾢ  2 xf ( x2 ) ，所以 x2 ￲a f (t)dt是 2xf ( x 2 ) 的一个原函数， 应选 C. 19．下列广义积分收敛的是 A． ￲  ﾥ 1 1 dx x B． ￲  ﾥ ln2 x dx e x  ﾥ C． ￲ e 【答案】C. 1 dx x ln 2 x  ﾥ D． ￲1 x dx 1 x2  ﾥ 解： ￲ 1 dx   ﾥ 1 dlnx ，可看作 p 2 的广义积分，是收敛的，应 选 C. e x ln 2 x ￲e ln 2 x 20．微分方程 x 4( yﾢﾢ) 2  yﾢx 2 y 0 的阶数是 A．1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】B. 解：根据微分方程阶的定义知，此方程为 2 阶常微分方程，应选 B. r 21．已知向量 a  {5, x, r 2} 和 b { y, 6, 4} 平行，则 x 和 y 的值分别为 A． 4， 5 B． 3， 10 【答案】B. C． 4， 10 D． 10， 3 r r 5 x 2 解： a // b ￞   ￞ x  3, y  10 ，应选 B. y 6 4 22．平面 x  y  z1 与平面 x  y z 2的位置关系是 A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D. 解： 根据系数之间不成比例，也对应乘积之和也不为 0，位置关系是相交但不 垂直，应选 D. 23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是 A． y 2  z2  1 C． z 2  x2  y2 B． z  x2  y2 D． z  x2 y2 【答案】A. 解：在空间直角坐标系中表示柱面的方程至含有两个变量，应选 A. ￬ xy ￯ 2 2 24．关于函数 f ( x, y) ￭x y ￯ ￮ x2  y2 ﾹ0 x2  y2 0 下列表述错误的是 A． f ( x, y) 在点 (0, 0) 处连续 B． fx (0, 0)  0 C． fy (0, 0)  0 D． f ( x, y) 在点 (0, 0) 处不可微 【答案】D. 解：lim f ( x, y) lim xy 不存在，从而 f ( x, y) 在点 (0, 0) 处不连续，应选 xﾮ 0 y ﾮ 0 A. xﾮ0 x 2 y2 y ﾮ0 25．设函数 z x ln( x  y) ，则ﾶz  y ﾶy x A． B．  xln( x y) y( x  y) ln( x y) x C．  y2 xln(x y) x D．   【答案】D. x y y( x  y) ﾶz x x y2 1 y(x y 解： z  ln( x  y) ￞   y ﾶy y2 ln( x  y)  ﾴ y x  y ￞ ﾶz   xln(x y)  x ，应选 D. ﾶy y2 y(x y 2 2 x x2 ￲ 0 ￲ 2 x x2 26．累次积分 dx f ( x, y)dy写成另一种次序的积分是 1 y 2 2 y y2 ￲ 0 ￲ y ￲ 0 ￲  2 y y 2 A． dy f ( x, y)dx B． dy f ( x, y)dx 1 1y2 1 1 1y 2 C． ￲ 1 dy ￲  1y 2 f ( x, y)dx D． ￲ 1 dy ￲1 1y 2 f ( x, y)dx 【答案】D. 解：( x, y) | 0 ﾣ x ﾣ 2,  2x  x2 ﾣ y ﾣ 2x  x2   ( x, y) | 1 ﾣ y ﾣ 1,1  1  y2 ﾣ x ﾣ 1  1 y2  ，应选 D. 27．设 D  {( x, y) | x ≤ 2, y ≤ 2} ，则￲￲dxdy  D A． 2 B．16 C．12 D． 4 【答案】D. 解： ￲￲ dxdy SD 16 ,应选 B. D ﾥ n n 0 ﾥ ￥an n0 ( x  2) 2 n 的收敛区间为 A． ( R , R) B． (2  R, 2  R) C． (R, R) D． (2  R , 2  R) 【答案】D. ﾥ 解 ： 收 敛 区 间 是 不 考 虑 端 点 的 ， 因 ￥an x n 1 在 x ￎ (R, R) 内 收 敛 , 级 数 ﾥ ￥an n 1 ( x2)2 n ﾥ 写 作 ￥an [( x1) ] n 1 ， 所 以 有 ( x  2)2 ￎ (R, R) ， 即 有 2  R  x  2  ﾥ R，即￥an n0 ( x  2) 2 n 收敛区间为 (2  R , 2  R) .应选 D. 29．下列级数绝对收敛的是 ﾥ ﾥ n A．￥(1) n 1 n 1 n B．￥(1) n n 1 3 22 n ﾥ C．￥(1) n n 1 【答案】B. ﾥ n 1 2n 1 n ﾥ n ﾥ ﾥ D．￥(1)n n1 n n 2n2 1 3 3 ￦ 3 ￶ ￥ 22 n ￥ 22 n ￥￧ 4 ￷ 解： n 1 (1)n   n 1 n1 ￨ ￸ 是收敛，故应选 B. 30．若幂级数 ﾥ ￥an n 0 ( x3)n 在点 x 1 处发散，在点 x 5 处收敛，则在点 x 0 ， x 2 ， x 4 ， x 6 中使该级数发散的点的个数有 A． 0 个 B．1个 C． 2 个 D．3 个 【答案】A. 解： 令 x  3 t，则级数化为 ﾥ ￥an t 。而 x 1 就是 t 2 ， x 5 就是 t2 ， n 0 这说明级数 ﾥ ￥an t 的收敛域为 (2, 2]，从而点 x 0 ， x 2 ， x 4 ， x 6 ，相当 n 0 于 t 3 ，t 1 ， t1 ， t3 ，故原级数发散的点的个数有 2，应选 C. 二、填空题（每空 2 分，共 20 分） 31．设 f (3 2x) 的定义域为 ( , 4]，则 f ( x) 的定义域为 ． 解: 3  x ﾣ 4 ￞ 6  2 x ﾳ 8 ￞ 9  3  2 xﾳ 5 , 所以 f ( x) 的定义域为[5, 9)。 32．极限 lim x ﾮﾥ x ( x  2  x 3)   ． 解： lim x ﾮﾥ x ( x  2  x  3)  lim xﾮ ﾥ 5 x x  2  x3 5 。 2 33．设函数 f ( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x4) ，则 f ( 4 ) ( x)   ． 解： f ( x)  ( x2  3x  2)( x2  7 x  12)  x4  4x3  7 x2  22 x24 所以 f ( 4 ) ( x)  24 . ￬x  2t 1 34．设参数方程 ￭ 2 ￮y  3t 1 所确定的函数为 y  y( x) ，则 d2 y  ． dx2 dy yﾢ 6t d2 y 1 3 解:  t   3t,  (3t )ﾢ  2  . dx xﾢ 2 dx2 x xﾢ 2 t t 35． ￲ (ln x  1)dx ． 解： ￲ (ln x  1)dx  x ln x C. 36．点 (3, 2, 1)到平面 x  y  z1 0 的距离是 ． | 3  2  1 1 | 解： d   3 。 3 37．函数 z  (1 y)x 在点 (1, 1) 处的全微分 dz ． 解：因为 dz  (1  y) x ln(1  y)dx  x(1 y)x 1 dy，所以 dz  2 ln 2dx  dy. 38．设 L 为三个顶点分别为 (0, 0) ， (1, 0) 和 (0, 1) 的三角形边界， L 的方向为 逆时针方向，则 ￑￲ ( xy 2  y3 )dx  ( x2 y  3xy2 )dy ． ﾶP ﾶQ 解：因为   2xy2 3 y2 ，与积分路径无关， ﾶy ﾶx  故 ￑￲ ( xy 2  y3 )dx  ( x2 y  3xy2 )dy0 。 39．已知微分方程 yﾢay ex 的一个特解为 y xex ，则 a  ． 解：把 y xex 代入方程得 (a  1) x  0 ￞ a 1 . ﾥ 3n 40．级数 的和为 ． n 0 ﾥ n 解： ￥ e3 。 n 0 n! 三、计算题（每小题 5 分，共 45 分） ￦ x2 ￶ ￧ (e x 1) sin x ￲ si n t d t ￷ 41．求极限 lim ￧  0 ￷． xﾮ0 ￧ 1 cos x x4 ￷ ￨ ￸ ￦ x2 ￶ x2 ￧ (e x  1) sin x ￲ si n t d t ￷ (e x 1) sin x ￲ sin tdt 解： lim ￧  0 ￷ lim lim 0 ­­1 分 xﾮ 0 ￧ 1  cos x x4 ￷ x ﾮ0 1 cos x x ﾮ0 x4 ￨ ￸  lim x lim 2x sin x2 ­­­3 分 x ﾮ0 1  cos x x ﾮ 4x3  lim 2x  lim 2x3  2  1  3 ­­­­5 分 x ﾮ0 sin x xﾮ0 4x3 2 2 42．设由方程 e y  xy2 e2 确定的函数为 y y( x) ，求 dy ． dx x 0 解：方程 e y  xy2 e2 两边 x 求到得 e y yﾢ  y2  2xy 0 ­­­­­­2 分 y2 2xy 即有 yﾢ  ­­­­­­­­­ 4 分 e y 把 x 0 代入方程有 y 2 dy  dy 2 4e2 ­­­­­­­5 分 dx x 0 dx x 0 y 2 e  0 43．求不定积分 ￲ e2 x ex 1 dx． e2 x ￲ ex 1 ex 1t xln(t 1 ) (t 2 1)2 ￲ 2t 1 ­­­­2 分 解： dx  dt t t2   2￲ (t2 1)dt ­­­­­­­3 分  2 t 3  2t  C­­­­­­4 分 3  2 ( e x  1)3  2 e x  1  C­­­­­5 分 3 2 44．求定积分 x  0 2x x2 dx． 解：￲ x  2x  x2 dx  ￲ 2 xdx  ￲ 2 2x x2 dx­­­­­1 分 0 0 0  1 x 2 2 2 2  ￲ 0 0 1  (1  x)2 d (1 x) ­­­­­3 分  2  1 ￲­1 1 t 2 dt（令1  x t）­­­­4 分  2  1 S  2 1 π ­­­­­­­5 分 2 圆 2 45．求过点 (1, 2, 5)且与直线 ￬2x  y  z 1 ￮x  3 y3 r r 平行的直线方程． r r r r i j k 解：取所求直线的方向向量s  n1 ﾴ n2  2 1 代入直线点向式方程得所求直线方程为 x  1  y  2  z5 。­­­­­­5 分 1 1 3 0  3 ,1,   ，­­­­­3 分 3 1 5 46．求函数 f ( x, y)  x 2 3 y 2 2xy 8x 的极值． ￬ﾶf ￯ﾶx 解：令 ￭ﾶ  2 x  2 y  8 0 得唯一可能的极值点(­6,­2),­­­­­­­2 分 ￯ f  6 y  2 x 0 ￯￮ﾶy  2 2 2 而 A  ﾶ f  2, B  ﾶ f  2, C  ﾶ f 6 ， ﾶx2 ﾶxﾶy ﾶy 2 有 B2  AC  8  0, A 0 ,­­­­­­­4 分 故(­6,­2)是极小值点，极小值为 f(6, 2)  36  12  24  48  24 ­­­­­5 分 47．将 f ( x)  3x 2 x2  x1 展开成 x 的幂级数． 解： f ( x)  3x  1  1 ­­­­­­1 分 2 x2  x  1 1  x 1  2 x 1 因为 1 x ﾥ  ￥xn n 0 , (1  x 1) ，所以 ﾥ  ￥( x)n , (1  x 1) ，  ￥ (2x)n , ( 1  x 1 ) ­­­­3 分 1 x n 0 1 2x n 0 2 2 ﾥ ﾥ ﾥ 1 1 所以 f ( x)  ￥ ( x)n  ￥ (2x)n  ￥￩￫(1)n 2n xn ， xￎ ￦  , ￶ ­­­5 分 ￧ ￷­ n  0 n 0 n 0 ￨ 2 2 ￸ 48．计算二重积分 ￲￲ D 解：积分区域如图所示 x2 y2 d ，其中 D 是由圆 x2  y2 3 所围成的闭区域． y 在极坐标系下积分区域表示为 ( , r) | 0 ﾣ  ﾣ 2π, 0 ﾣ rﾣ 3 ，­­­3 分  x O 故 ￲￲ x2  y2 d ￲ 2 π 3 d￲ r 2dr­­­4 分 2 2 0 0 x  y D  3 ﾮ r 3 3 2 1 3  2π￲ r dr  2π r 3 2 3π 。­­5 分 0 0 49．求微分方程9yﾢﾢ6 yﾢ y 0 的通解． 解：这是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为9r 2  6r 1  0 ­­­­­2 分 从而有两个相等特征根 r  r  1 ­­­­­­­3 分 1 2 3 1 x 故方程的通解为 y  (C C x)e3 （ C ， C 是任意常数）­­­5 分 1 2 1 2 四、应用题（每小题 8 分，共 16 分） 50．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时 用料最省？ 解：设容积的高和底面半径分别为 h ， r ，其表面积为 S ， 则V πr 2 h， S  2πr 2 2πrh，­­­­­2 分， 把 h  V πr2 代入得 S  2πr 2  2V , (r 0) ，此问题转化为求 S 最小值，­­­­­4 分 r 令 S ﾢ  4πr  2V 0 得唯一可能的极值点 r 3 V ,根据实际意义可知 S 一定存 r r2 2π 在最小值，故此时 S 就取得最小值­­­­­­­­­6 分 V h π r 2 V V ￦ 3 2π ￶ V 2π 这时    ￗ ￧ 3 ￷  ￗ 2 ---7 分 r r πr 3 π ￨ V ￸ π V 故容积的高与底面半径的比值为 2 时，用料最省。­­­­­8 分 51．平面图形 D 由曲线 y x 2 ，直线 y 2 x 及 x 轴所围成．求： （1） D 的面积； （2） D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积． 解：平面图形 D 如图所示 ￬y x 2 y y  x2 联立方程 ￭ 得交点（1,1）, ￮y  2 x （-2,4）。 2 (1, 1) 取 x 为积分变量，且 x ￎ[0,1] ￈[1, 2] 。 ------3 分 （1）所求平面图形 D 为 O 1 2 x y  2  x 1 2 x A  ￲ x 2 dx  ￲ (2 x)dx  3 1 1 2  (2x  x2 )  1  1  5 ­­­­­­5 分 0 1 3 2 3 2 6 0 1 （2）平面图形 D 绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积为 V  π 1 4 1 2 x dx π ￗ1 ￗ1 x5 1  π  π  8 π ­­­­­­8 分 x ￲ 0 3 5 3 15 五、证明题（9 分） 52．设函数 f ( x) 在闭区间[0 , 1] 上连续，在开区间 (0 , 1) 内可导，且 f(0) 0 ， f(1) 2 ．证明：在 (0 , 1) 内至少存在一点，使得 fﾢ( )  21成立． 方法一 证明：构造函数 F ( x)  f ( x) x2 ， ----2 分 因 f ( x) 在闭区间[0 , 1] 上连续，在开区间 (0 , 1) 内可导，所以函数 F ( x) 在闭区间 [0 , 1] 上连续，在开区间 (0 , 1) 内可导，且 F ﾢ( x)  f ﾢ( x) 2x． ---4 分 于是 F ( x) 在[0 , 1] 上满足拉格朗日中值定理的条件，故在开区间 (0 , 1) 内至少存 在一点，使得 Fﾢ()  F (1) F (0) ，---6 分 1 0 将 f(0) 0 ， f(1) 2 代入上式，得 F ﾢ()  F (1) F (0)  [ f (1)  1]  [ f(0)  0] 1 ，----8 分 1 0 即 fﾢ( )  2 1， 于是 fﾢ( )  21．----9 分 方法二 证明：构造函数 F ( x)  f ( x)  x2 x， ----3 分 因 f ( x) 在闭区间[0 , 1] 上连续，在开区间 (0 , 1) 内可导，所以函数 F ( x) 在闭区间 [0 , 1] 上连续，在开区间 (0 , 1) 内可导，且 F ﾢ( x)  并有 F (0)  F(1) 0 f ﾢ( x)  2x1 ． ---5 分 即有 F ( x) 在[0 , 1] 上满足罗尔中值定理的条件，故在开区间 (0 , 1) 内至少存在一 点，使得 Fﾢ() 0 ，------8 分 即 fﾢ( )  2 1 0 ， 故 fﾢ( )  21．----9 分