高等数学-02章导数与微分

2章 第2章​ 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 3、​  2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 4、​ 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 5、​ 会求分段函数的导数。 6、​ 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 7、​  4、高阶导数； 8、​ 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻t质点的坐标为s s是t的函数 sf(t) 求动点在时刻t0的速度 考虑比值  这个比值可认为是动点在时间间隔tt0内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令t t00 取比值 的极限 如果这个极限存在 设为v 即 这时就把这个极限值v称为动点在时刻t 0的速度 2．切线问题 设有曲线C及C上的一点M 在点M外另取C上一点N 作割线MN 当点N沿曲线C趋于点M时 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线 设曲线C就是函数yf(x)的图形 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0f(x0))处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此 在点M外另取C上一点N(x, y) 于是割线MN的斜率为 其中为割线MN的倾角 当点N沿曲线C趋于点M时 xx0 如果当x 0时 上式的极限存在 设为k 即 存在 则此极限k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里ktan 其中是切线MT的倾角 于是 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线 二、导数的定义 1 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限 令xxx0 则yf(x0x)f(x0) f(x)f(x0) xx0相当于x 0 于是 成为 或 定义 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义 当自变量x在x0处取得增量x(点x0x仍在该邻域内)时 相应地函数y取得增量yf(x0x)f(x0) 如果y与x之比当x0时的极限存在 则称函数yf(x)在点x0处可导 并称这个极限为函数yf(x)在点x0处的导数 记为 即 也可记为 或 函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限 不存在 就说函数yf(x)在点x0处不可导 如果不可导的原因是由于 也往往说函数yf(x)在点x0处的导数为无穷大 如果函数yf(x)在开区间I内的每点处都可导 就称函数f(x)在开区间I内可导 这时 对于任一x I 都对应着f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫做原来函数yf(x)的导函数 记作 或 导函数的定义式  f (x0)与f (x)之间的关系 函数f(x)在点x0处的导数f (x)就是导函数f (x)在点xx0处的函数值 即 导函数f (x)简称导数 而f (x0)是f(x)在x0处的导数或导数f (x)在x0处的值 左右导数 所列极限存在 则定义 f(x)在 的左导数 f(x)在 的右导数 如果极限 存在则称此极限值为函数在x0的左导数 如果极限 存在则称此极限值为函数在x0的右导数 导数与左右导数的关系 2．求导数举例 例1．求函数f(x)C（C为常数）的导数 解 即(C ) 0 例2 求 的导数 解   例3 求 的导数 解  例2．求函数f(x)x n (n 为正整数)在xa处的导数 解 f (a) (x n1ax n2 a n1)na n1 把以上结果中的a 换成x 得 f (x)nx n1 即 (x n)nx n1 (C)0 更一般地 有(x )x 1 其中为常数 例3．求函数f(x)sin x 的导数 解 f (x)   即 (sin x)cos x 用类似的方法 可求得 (cos x )sin x 例4．求函数f(x)a x(a>0 a 1) 的导数 解 f (x) 特别地有(e x )e x 例5．求函数f(x)log a x (a>0 a 1) 的导数 解  解 即  特殊地  3．单侧导数 极限 存在的充分必要条件是 及 都存在且相等 f(x)在 处的左导数 f(x)在 处的右导数 导数与左右导数的关系 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f (x0) 和右导数f (x0)都存在且相等 如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数f (a) 和左导数f (b)都存在 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导 例6．求函数f(x)x|在x0处的导数 解  因为f (0) f (0) 所以函数f(x)|x|在x0处不可导 四、导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数f (x0)在几何上示曲线yf(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率 即 f (x 0)tan  其中是切线的倾角 如果yf(x)在点x0处的导数为无穷大 这时曲线yf(x)的割线以垂直于x 轴的直线xx0为极限位置 即曲线yf(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线xx0 由直线的点斜式方程 可知曲线yf(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为 yy0f (x0)(xx0) 过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果 f (x0)0 法线的斜率为 从而法线方程为 例8 求等边双曲线 在点 处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法线方程 解 所求切线及法线的斜率分别为 所求切线方程为 即4xy40 所求法线方程为 即2x8y150 例9 求曲线 的通过点(0 4)的切线方程 解 设切点的横坐标为x0 则切线的斜率为 于是所求切线的方程可设为 根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此 解之得x04 于是所求切线的方程为 即3xy40 四、函数的可导性与连续性的关系 设函数yf(x)在点x0 处可导 即 存在 则 这就是说 函数yf(x)在点x0 处是连续的 所以 如果函数yf(x)在点x处可导 则函数在该点必连续 另一方面 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导 例7． 函数 在区间(, )内连续 但在点x0处不可导 这是因为函数在点x0处导数为无穷大 §2 2 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数 并且 [u(x)v(x)]u(x)v(x) [u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x) 证明 (1) u(x)v(x) 法则(1)可简单地表示为 (uv)uv (2) u(x)v(x)u(x)v(x) 其中 v(xh)v(x)是由于v(x)存在 故v(x)在点x连续 法则(2)可简单地表示为 (uv)uvuv (3) 法则(3)可简单地表示为 (uv)uv (uv)uvuv 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设uu(x)、vv(x)、ww(x)均可导 则有 (uvw)uvw (uvw)[(uv)w](uv)w(uv)w (uvuv)wuvwuvwuvwuvw 即 (uvw)uvwuvwuvw 在法则(2)中 如果vC(C为常数) 则有 (Cu)Cu 例1．y2x 35x 23x7 求y 解 y(2x 35x 23x7) (2x 3)5x 2)3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x) 23x 252x36x 210x3 例2 求f (x)及 解 例3．ye x (sin xcos x) 求y 解 ye x )(sin xcos x) e x (sin xcos x) e x (sin xcos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x 例4．ytan x 求y 解  即 (tan x)sec2x 例5．ysec x 求y 解 sec x tan x 即 (sec x)sec x tan x 用类似方法 还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)csc2x (csc x)csc x cot x 二、反函数的求导法则 定理2 如果函数xf(y)在某区间Iy 内单调、可导且f (y)0 那么它的反函数yf 1(x)在对应区间Ix{x|xf(y) yIy}内也可导 并且 或 简要证明 由于xf(y)在I y内单调、可导(从而连续) 所以xf(y)的反函数yf 1(x)存在 且f 1(x)在I x内也单调、连续 任取x I x 给x以增量x(x0 xxI x) 由yf 1(x)的单调性可知 yf 1(xx)f 1(x)0 于是 因为yf 1(x)连续 故 从而 上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例6．设xsin y 为直接函数 则yarcsin x是它的反函数 函数xsin y在开区间 内单调、可导 且 (sin y)cos y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间I x(1 1)内有 类似地有 例7．设xtan y 为直接函数 则yarctan x是它的反函数 函数xtan y在区间 内单调、可导 且 (tan y)sec2 y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间I x( )内有 类似地有 例8设xa y(a0 a 1)为直接函数 则yloga x是它的反函数 函数xa y在区间I y( )内单调、可导 且 (a y)a y ln a 0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间I x(0 )内有 到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、 、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则 定理3 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yf[g(x)]在点x可导 且其导数为 或 证明 当ug(x)在x的某邻域内为常数时 y=f[(x)]也是常数 此时导数为零 结论自然成立 当ug(x)在x的某邻域内不等于常数时 u0 此时有 = f (u)g (x ) 简要证明 例9 求 解 函数 可看作是由ye u ux3复合而成的 因此 例10 求 解 函数 是由ysin u 复合而成的 因此 对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量 例11．lnsin x 求 解 例12． 求 解 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设yf(u) u(v) v(x) 则 例13．ylncos(e x) 求 解 例14． 求 解 例15设x0 证明幂函数的导数公式 (x ) x 1 解 因为x (e ln x)e ln x 所以 (x )(e ln x) e ln x( ln x) e ln x x1 x 1 四、基本求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数 (1)(C)0 (2)(x) x1 (3)(sin x)cos x (4)(cos x)sin x (5)(tan x)sec2x (6)(cot x)csc2x (7)(sec x)sec xtan x (8)(csc x)csc xcot x (9)(a x)a x ln a (10)(e x)ex (11) (12) (13) (14) (15) (16) 2．函数的和、差、积、商的求导法则 设uu(x) vv(x)都可导 则 (1)(u v)uv (2)(C u)C u (3)(u v)uvuv (4) 3．反函数的求导法则 设xf(y)在区间Iy 内单调、可导且f (y)0 则它的反函数yf 1(x)在Ixf(Iy)内也可导 并且 或 4．复合函数的求导法则 设yf(x) 而ug(x)且f(u)及g(x)都可导 则复合函数yf[g(x)]的导数为 或y(x)f (u)g(x) 例16 求双曲正弦sh x的导数. 解 因为 所以 即 (sh x)ch x 类似地 有 (ch x)sh x 例17 求双曲正切th x的导数 解 因为 所以 例18 求反双曲正弦arsh x的导数 解 因为 所以 由 可得 由 可得 类似地可得   例19．ysin nxsinn x (n为常数) 求y 解 y(sin nx) sin n x + sin nx (sin n x) ncos nx sin n x+sin nx n sin n1 x (sin x ) ncos nx sin n x+n sin n1 x cos x n sin n1 x sin(n+1)x §2. 3 高阶导数 一般地 函数yf(x)的导数yf (x)仍然是x 的函数 我们把yf (x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数 记作 y、f (x)或 即 y(y) f (x)[f (x)]  相应地 把yf(x)的导数f (x)叫做函数yf(x)的一阶导数 类似地 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 一般地 (n1)阶导数的导数叫做n 阶导数 分别记作 y y (4) y (n) 或 函数f(x)具有n 阶导数 也常说成函数f(x)为n 阶可导 如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 y称为一阶导数 y y y (4)  y(n)都称为高阶导数 例1．yax b 求y 解 ya y0 例2．ssin t 求s 解 s cos t s 2sin  t 例3．证明 函数 满足关系式y 3y10 证明 因为  所以y 3y10 例4．求函数yex 的n 阶导数 解 yex yex yex y( 4)ex 一般地 可得 y( n)ex 即 (ex)(n)ex 例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数 解 ysin x 一般地 可得 即 用类似方法 可得 例6．求对函数ln(1x)的n 阶导数 解 yln(1x) y(1x)1 y(1x)2 y(1)(2)(1x)3 y(4)(1)(2)(3)(1x)4 一般地 可得 y(n)(1)(2) (n1)(1x)n 即 例6．求幂函数yx (是任意常数)的n 阶导数公式 解 yx1 y(1)x2 y(1)(2)x3 y ( 4)(1)(2)(3)x4 一般地 可得 y (n)(1)(2) (n1)xn 即 (x )(n) (1)(2) (n1)xn 当n时 得到 (xn)(n) (1)(2) 3 2 1n! 而 (x n)( n1)0 如果函数uu(x)及vv(x)都在点x 处具有n 阶导数 那么显然函数u(x)v(x)也在点x 处具有n 阶导数 且 (uv)(n)u(n)v(n) (uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 用数学归纳法可以证明 这一公式称为莱布尼茨公式 例8．yx2e2x 求y(20) 解 设ue2x vx2 则 (u)(k)2k e2x (k1, 2, , 20) v2x v2 (v)(k) 0 (k3, 4, , 20) 代入莱布尼茨公式 得 y (20)(u v)(20)u(20)vC 201u(19)vC 202u(18)v 220e2x x220 219e2x 2x 218e2x 2 220e2x (x220x95) §2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 一、隐函数的导数 显函数 形如yf(x)的函数称为显函数 例如ysin x yln x+e x 隐函数 由方程F(x y)0所确定的函数称为隐函数 例如 方程xy3 10确定的隐函数为y 如果在方程F(x y)0中 当x取某区间内的任一值时 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在 那么就说方程F(x y)0在该区间内确定了一个隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的显化有时是有困难的 甚至是不可能的 但在实际问题中 有时需要计算隐函数的导数 因此 我们希望有一种方法 不管隐函数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 例1．求由方程e yxye0 所确定的隐函数y的导数 解 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y)(xy)(e)(0) 即 e y yyxy0 从而 (xe y0) 例2．求由方程y52yx3x70 所确定的隐函数yf(x)在 x0处的导数y|x0 解 把方程两边分别对x求导数得 5yy2y121x 60 由此得 因为当x0时 从原方程得y0 所以 例3 求椭圆 在 处的切线方程 解 把椭圆方程的两边分别对x求导 得 从而 当x2时 代入上式得所求切线的斜率 所求的切线方程为 即 解 把椭圆方程的两边分别对x求导 得 将x2 代入上式得 于是 ky|x2 所求的切线方程为 即 例4．求由方程 所确定的隐函数y 的二阶导数 解 方程两边对x求导 得 于是 上式两边再对x求导 得 对数求导法 这种方法是先在yf(x)的两边取对数 然后再求出y的导数 设yf(x) 两边取对数 得 ln y ln f(x) 两边对x 求导 得 y f(x)[ln f(x)] 对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之 积和商的导数 例5．求yx sin x (x>0)的导数 解法一 两边取对数 得 ln ysin x ln x 上式两边对x 求导 得 于是 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 yx sin xe sin x·ln x 例6 求函数 的导数 解 先在两边取对数(假定x>4) 得 ln y [ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 上式两边对x求导 得 于是 当x<1时 当2计算公式

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