传染病模型

第 2章 微分方程模型 1（2课时） 教学目的 懂得如何建立微分方程。 教学 介绍应用微分方程方法建模。 模型Ⅰ 传染病模型 1. 引言 用微分方程建立的的是动态模型.是根据函数及其变化率之间的关系，确定函数本 身.具体作法是根据建模目的和问题作出简化假设，根据内在规律或用类比法 建立微分方程. 传染病模型 问题： 描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来 时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立 模型. 2. 模型 1 (SI 模型) 2.1 模型假设： 1) 人群分为健康人和病人，时刻 t这两类人在总人数中所占的比例分别记作 和 . )(ts )(ti 2) 每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，λ称日接触率.当病人与健 康人有效接触时，使健康人受感染成为病人. 2.1 模型建立： Nsi dt diN λ= ， （1） 若记初始时刻 病人的比例为 ，则 )0( =t 0i ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −= 0)0( )1( ii ii dt di λ （2） 2.2 模型求解 解得 te i ti λ−−+ = )11(1 1)( 0 （3） 2.3 模型分析 但， 时， ？ ∞→t 1→i 必须修改模型. 3. 模型 2 传染病无免疫性，病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染（ 模型） SIS 3.1 模型假设： 1)、2)条与模型 1相同，增加的条件为 3) 病人每天被治愈的占病人总数的比例为 μ，称为日治愈率.病人治愈后成为仍 可被感染的健康人.显然， μ 1 是这种传染病的平均传染期. 3.2 模型建立： NiNsi dt diN μλ −= （4） ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −−= 0)0( )1( ii iii dt di μλ （5） 3.3 模型求解 （5）的解为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ ≠−−+−= − −−− μλλ μλμλ λ μλ λ μλ ,)1( ,])1([ )( 1 0 1)( 0 i t e iti t （6） 3.4 模型分析 定义 μλσ = ，σ 是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数. 易知 当 时， ∞→t ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ >−=∞ 1,0 1,11)( σ σσi （7） 4.模型 3 传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称移出者（SIR 模型）. 4.1 模型假设： 1) 人数 不变，健康人，病人和移出者比例分别为 、 和 . N )(ts )(ti )(tr 2) 病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，传染期接触数为 μλσ = . 4.2 模型建立： 1)()()( =++ trtits ， （8） 00 )0(,)0( ssii si dt ds isi dt di = ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −= −= λ μλ ， （9） 4.3 模型求解 方程（9）无法求出 和 的解析解，在相平面 上研究解的性质. )(ts )(ti is ~ 相轨线的定义域为 }1,0,0|),{( ≤+≥≥= isisisD （10） 在方程（9）中消去 dt并注意到σ 的定义，可得 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −= = 00| 11 ii sds di ss σ (11) 容易求得（11）的解为 0 00 ln 1)( s ssisi σ+−+= （12） （12）即为相轨线. 4.4 模型分析 在 内作相轨线 的图形， D )(si 相轨线及其分析 ： )0( →t z 图形： ， ＝0，)(si ↓)(ts ∞i misi == )/1( σ ， 满足 s 0ln1 0 00 =+−+ ∞∞ s ssis σ ； z )()(/1 10 tiPs →> σ 先升后降至 0⇒传染病蔓延； z )()(/1 20 tiPs →< σ 单调降至 0⇒传染病不蔓延. 故σ 1 是阈值.从而得预防传染病蔓延的手段： ‹ 提高阈值 σ1 ⇒ ↓= )( μλσ ⇒ ： ↑↓ μλ , λ（日接触率）↓⇒卫生水平↑； μ（日治愈率）↑⇒医疗水平↑ . ‹ 降低 ⇒ ⇒群体免疫. )1( 0000 =++ riss ↑0r 5.习题： 在 SIR 模型中，证明： （1） 若 σ 1 0 >s ，则 先增加，在)(ti σ 1=s 处达到最大，然后减少并趋于 0； 单 调减少至 . )(ts ∞s （2） 若 σ 1 0