华南理工08

625 华南理工大学 2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 （请在答题纸上做答，试卷上做答无效，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：数学分析 适用专业：基础数学，计算数学，概率论与数理统计，应用数学，运筹学与控制论 共 3 页 第 1 页 一、求解下列各题（每小题 10 分，共 60 分） 1、若 0lim =+ − ∞→ ax ax n n n ，证明 axnn =∞→lim 。 2、设 ， ⎩⎨ ⎧= 为无理数当 为有理数当 x xx xf ,0 ),cos( )( π 证明 在点)(xf 2 1+= kxk ( 为任意整数)连续，而在其它点不连 续。 k 3、若函数 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′′−′⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−= )( 2 1)( )]('[ )()(1 )(' )()()( 2 afafaf afxf af afxfxϕ ， 求 )(aϕ ′ 及 )(aϕ ′′ 。 4、证明函数项级数 在 上绝对收敛且一致收 ( ) )1(1 1 xx n n n −−∑∞ = ]1,0[ 敛，但不绝对一致收敛。 5、设 为自然数，在区间n ( )π,0 上定义函数 第 2 页 , 2 sin2 2 )12(sin )( x xn xDn + = 计算 。 dxxDn )(0∫ π 6、计算曲面 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 b y a x c z b y a x +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ 所围成的体积。 二、（15 分）计算极限 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ∞→ 222 sin1 2sin21sin11lim n n n n nnnnn πππ L 。 三、（15 分）计算 ( ) ([ ])∫ −+++= C y dyxxxydxxyxx yx eI cossincossin22 ， 其中 取逆时针方向。 1: 22 =+ yxC 四、（15 分）计算 ∫∫ ++ S dxdy，zhdzdxygdydzxf )()()( ，Shgf 为连续函数其中 ,, 为平行六面体 czbyax ≤≤≤≤≤≤ 0,0,0 的边界，指向外侧。 五、（15 分）讨论广义积分 ∫ ∞+ >+0 )0(sinsin pdxxx xp 第 3 页 的敛散性，对于收敛情况判别在何种情况是条件或绝对收敛。 六、（15 分）设 为闭区间)(xf [ ]ba, 上的连续函数，且满足下列条 件 ∫ ==ba k nkdxxfx ),,2,1,0(0)( L 用数学归纳法证明 在 内至少有)(xf ),( ba 1+n 个不同的零点。 七、（15 分）设常数 满足 ，且线性变换 CBA ,, 02 <− BAC yxyx 21 , ληλξ +=+= 把方程 02 2 22 2 2 =∂ ∂+∂∂ ∂+∂ ∂ y uC yx uB x uA 变换为方程 0 2 =∂∂ ∂ ηξ u ， 证明 21 ,λλ 为方程 的两个不同实根。 022 =++ ABC λλ