巧用绝对值几何意义解题

巧用绝对值几何意义解 摘要：对于一些绝对值内为关于X一次式的不等式， 我们常可根据绝对值的基本性质，采用等价转化法或零 点分段法脱去绝对值符号，将问题4{--f&为不合绝对值符 号的常规问题来解决。另外，也可根据绝对值的几何意义 用数形结合的方法直观、快速、准确地求解此类含有绝对 值的不等式。 关键词：不等式；绝对值；几何意义；数形结合 ，-不等式中，常会遇到含有绝对值的不等式求解 l-t-问题。处理这类问题的关键在于：去掉绝对值 符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来解决， 这是解合绝对值不等式的一般方法。接下来让我们一起 来探求这类问题的另一种解法一——利用实数绝对值的 几何意义求解。 实数绝对值的几何意义： (1)IXl的几何意义是数轴上表示数X的点到原点0 的距离； (2)lX--X。l的几何意义是数轴上表示数X的点到原 点X。的距离。 关于X的不等式(1){X--8I0)；(2)}x-aI>b (b>0)；它们的解集在数轴上分别为：—∈三戛；扣：东苎=—‰ a-b 鑫 a b a+b a也 a a+b 由此可知，不等式Ix-alb)的解集表示在数 轴上是：以“点a”为对称中心的长为2b的线段上除端点 外所有点的集合(或该线段以外所有点的集合)。 例1：解不等式{2x+5l<6 解：原不等式可化为12(x+争)l<6jlx+争I<3。因 【专题】啼l数理化研究i ●江西省峡江中学 张永发 其解集是数轴上以一吾为对称中心的长为6的线段上除端 点外所有点的实数集，(如图所示) 故原不等式的解集为{XI一百II～c(a ≠0，C>0)之类的不等式时，可先将不等式同解变形为 |x-alb(b>o)的形式，再利用这两个不等式 的解集的几何特征，通过数形结合求得原不等式的解集。 例3：解不等式 ㈣川。一2I兰3二了二===E 解，：由绝对值不0 1 2 3 等式的几何意义知， (如图所示)在数轴上点0或3到1、2两点距离之和为3；当 03时|x一1I+ jx一2l>3．．·．原不等式的解集为fx0≤x≤3} 一个隐含条件的挖掘在初中解题中的应用 有二姜竺嚣篡激 中挖掘出这一个隐含条件，数学题就 会迎刃而解。初中数学教师与学生应 该重视这一个公式表示的隐含条件。 这一个公式为：a2+b2+C2一ab— bc—ca≥0，这只要乘以2再配方即 可证明，事实上，2(a2+b2+C2一ab— bc—ca)=(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2≥o。 一、证明三角形面积的大小 例1：设H点是正三角形ABC内 任意一点，分另I以三边为对称轴作H ●辰溪县龙头庵中学米承茂 的对称点P，Q，R。求证：s△PoR兰s△ABc 证明：设H点到正三角形的三边 的距离分别为X，Y，Z，则h茎bZE--角形 的高，x+y+z=h，这是容易理解的，又 设正三角形的边长为a，则h：掣里a jS△ABc_孚a2=孚(×+y+z)2。s 一。=订(xy+yz+zx)要证j} (x+y+z)2≥S△PoR=、／3(xy+yz+zx)：耍 证二芝≥～(x+y+z)2≥—＼／，丁(xy+yz+zx) 需证(x+y+z)2≥3(xy+yz+zx) 这样就挖掘出隐蔽条件X2+y2 +z2一xv—yz—ZX≥0当且仅当x=y=z 时，即H点为正三角形的中心时(此时 重心。垂心，外心与内心重合时)，求证 的不等式成立。 二、判定三角形的形状 判定三角形的形状是数学思维中 充满活力而又非常神奇，具有探索功 能。可以用先猜后证的数学思想来解 题的重要园地。 例2：若a，b，C是△ABC的三内 2007-◆39万方数据