全等三角形中的旋转

内容 基本要求 略高要求 较高要求 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形和全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决简单问题 会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系 把图形 绕平面上的一个定点 旋转一个角度 ，得到图形 ，这样的由图形 到 变换叫做旋转变换，点 叫做旋转中心， 叫做旋转角， 叫做 的象； 叫做 的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 【例 1】​ 如图，等边三角形 与等边 共顶点于 点．求证： ． 【巩固】( 年全国初中数学联赛武汉 杯选拔赛)如图， 和 均为等边三角形， ， ．若 ，则 ． 【巩固】如图，已知 和 都是等边三角形， 、 、 在一条直线上，试说明 与 相等的理由． 【例 2】​ 如图， 是等边 内的一点，且 ， ， ，问 的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由． 【例 3】​ (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰 的斜边 上取两点 、 ，使 ，记 ， ， ，则以 、 、 为边长的三角形的形状是( )． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随 、 、 的变化而变化 【例 4】​ (2005年四川省中考题)如图，等腰直角三角形 中， ， ， 为 中点， ．求证： 为定值． 【巩固】在等腰直角 中， ， ， 是 的中点，点 从 出发向 运动， 交 于点 ，试说明 的形状和面积将如何变化． 【巩固】等腰直角三角形 ， ， ， 为 中点， ，试猜想， 、 、 三者的关系． 【例 5】​ 如图所示．正方形ABCD中，在边CD上任取一点Q，连AQ，过D作DP⊥AQ，交AQ于R，交BC于P，正方形对角线交点为O，连OP，OQ．求证：OP⊥OQ． 【巩固】如图，正方形 绕正方形 中点 旋转，其交点为 、 ，求证： ． 【例 6】​ (2004河北)如图，已知点 是正方形 的边 上一点，点 是 的延长线上一点，且 ． 求证： ． 【巩固】(湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点 是正方形 的边 上任意一点，过点 作 交 的延长线于点 ．求证： ． 【巩固】如图，正方形 中， ．求证： ． 【巩固】如图所示，在四边形 中， ， ， 于 ，若四边形 的面积是16，求 的长． 【例 7】​  、 分别是正方形 的边 、 上的点，且 ， ， 为垂足，求证： ． 【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数． 【巩固】如图，正方形 的边长为 ，点 在线段 上运动， 平分 交 边于点 ． ⑴求证： ． ⑵设 ( )， 与 的面积和 是否存在最大值？若存在，求出此时 的值及 ．若不存在，请说明理由． 　　　　 【巩固】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE． ⑴求证：CE＝CF； ⑵在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长． 【例 8】​ (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示， 是边长为 的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以 为顶点作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求 的周长． 【巩固】如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K、N分别是AB、BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数． 【巩固】等边 和等边 的边长均为1， 是 上异于 的任意一点， 是 上一点，满足 ，当 移动时，试判断 的形状． 【例 9】​ 在等边 的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为 外一点，且 ， ， ，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及 的周长与等边 的周长L的关系． ⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时 =__________ ⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且 时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； ⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示) 【巩固】(1)如图25-1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD．求证：EF＝BE＋FD; (2) 如图25-2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． (3) 如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF= ∠BAD， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【例10】​ 已知：如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形．求证： ． 【巩固】如图， ， ， 三点共线，且 与 是等边三角形，连结 ， 分别交 ， 于 ， 点．求证： ． 【巩固】已知：如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形．求证： 平分 ． 【巩固】如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形． 请你证明： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ 平分 ． 【例11】​ 如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形， 是 中点， 是 中点，求证： 是等边三角形． 【巩固】( 年全国初中数学竞赛海南区初赛)如下图，在线段 同侧作两个等边三角形 和 ( )，点 与点 分别是线段 和 的中点，则 是( ) A．钝角三角形 　　B．直角三角形 C．等边三角形 　　D．非等腰三角形 【巩固】已知：如图，点 为线段 上一点， 、 是等边三角形． 、 分别是 、 的高．求证： ． 【例12】​ 平面上三个正三角形 ， ， 两两共只有一个顶点，求证： 与 平分． 【例13】​ 已知：如图， 、 、 都是等边三角形，且 、 、 共线， ．求证： 也是等边三角形． 　　　　 【例14】​ (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ 外面作正方形 与 ， 为△ 的高，其反向延长线交 于 ，求证：(1) ;(2) 【巩固】(2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形 、 都是正方形，连接 、 ．求证： ． 【巩固】以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE⊥BG． 【例15】​ (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形 中， ， ，求此五边形的面积． 【巩固】(江苏省数学竞赛试题)如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2．求该五边形的面积． 【巩固】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形 中，已知 ， ， ，连接 ．求证： 平分 ． 【例16】​ (2008山东)在梯形 中， ， ， ， ， ， 是 中点，试判断 与 的位置关系，并写出推理过程． 【例17】​ (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料： 已知：如图1在 中， ， ，点 、 分别为线段 上两动点，若 ．探究线段 、 、 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连结 ， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴ 猜想 、 、 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点 在线段 上，动点 运动在线段 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．