p1行列式

1 线性代数线性代数 2 一 行列式 3 一般的二元一次方程组的形式为 则方程组(1)存在唯一的解: 21122211 211112 2 21122211 122221 1 aaaa ababx aaaa ababx − −= − −= ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 2222121 1212111 bxaxa bxaxa (1) 若 021122211 ≠− aaaa —— 解完全由系数与常数项确定。要达方程 的解与系数及常数项的关系, 引入二阶行列式 4 21122211 2221 1211 aaaa aa aa −= (1) 二阶行列式 定义 22个数排成两行两列的正方形数表，用记号 DA aa aa 或或 det 2221 1211 表示对这4个数进行下列运算所得到的数 称为二阶行列式 1 行列式的概念 5 二阶行列式是数, 它是 2! 项的代数和. 几个名词： 行列式的元素 行列式的行与列 行与列的标号 行列式的主对角线与次对角线 21122211 2221 1211 aaaa aa aa −= 每一项是取之于行列式两个不同行又是两个不同列 的两个元素的乘积. 一项前冠以正号，一项前冠以负号. 6 【例】讨论 a 取何值时 0 12 22 2 =− −aa 【解】 )2(2 )2(22 12 22 2 2 2 −+= −+=− − aa aaaa 12 21 =−=⇒ aa 或 1 7 引入二阶行列式后, 二元一次方程组(1)的解 可用行列式表示如下: 0 2221 1211 ≠ aa aa 若 , 2221 1211 1 aa aax =则 21122211 122221 1 aaaa ababx − −= 21122211 211112 2 aaaa ababx − −= 2221 1211 2 aa aax = 222 121 ab ab 221 111 ba ba ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 8 312213332112322311 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa −−− ++= (2) 三阶行列式 定义 32个数排成三行三列的正方形数表，用记号 3 333231 232221 131211 det DA aaa aaa aaa 或或 表示对这9个数进行下列运算所得的数 称之为三阶行列式 9 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3231 2221 1211 aa aa aa c1 c2 c3 c1 c2 三阶行列式是所有可能的取之于正方形数表中三个 不同行同时又是三个不同列的三个元素的乘积的代 数和，三项前冠以正号，三项前冠以负号，共 3!项 记忆方法： 312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa −−− ++ 10 312213332112322311 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaa aaa aaa −−− ++= +- 11 定义三阶行列式的另一种方法： 定义 余子式和代数余子式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 在三阶行列式D = |aij|中,划去第i行第j列的元素, 剩余的2行2列的元素按照在原行列式中排列的 相对位置所构造的二阶行列式称为aij的余子式, 记为Mij , 3332 1312 21 aa aa M = 3332 131212 21 )1( aa aa A +−= 称(-1)i+j Mij为aij的代数余子式,记为Aij 12 定义 三阶行列式 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 32个数排成三行三列的正方形数表 称数 131312121111 AaAaAa ⋅+⋅+⋅ 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a ⋅+⋅−⋅= 为由这9 个数所构成的三阶行列式, 记为 333 333231 232221 131211 )det(|| ×=== ijij aa aaa aaa aaa D 2 13 【例】计算三阶行列式 【解】 914 312 111 − 12)4(1832129 914 312 111 −=−−−−++−=− 14 131312121111 914 312 111 AaAaAa ++=− 也可按下法计算 12616)1(1)12(1 −=⋅+⋅−⋅+−⋅= 14 12 )1(1 94 32 )1(1 91 31 )1(1 312111 −−⋅+−⋅+−−⋅= +++ 15 【解】 【例】讨论三阶行列式 0 114 01 01 >a a 的充要条件. 1 114 01 01 2 −= aa a 故 012 >−a 即 1or1 >−< aa 0 114 01 01 >a a 16 上述定义三阶行列式的方法称为 递归的方法 可以用这种方法定义更高阶的行列式 (3) n 阶行列式的定义 设已经定义了n –1阶行列式, 则可以定义 n2个数排成的 正方形数表所构造的 n 阶行列式 nnnn n n aaa aaa aaa D " """" " " 21 22221 11211 = 17 定义 余子式 划去元素aij 所在的行和列的元素, 剩余的(n - 1)2个 元素, 按照它们在原行列式中的相对位置所构造的 (n - 1)阶行列式称为aij的余子式 记为 ijM nnjnjnn nijijii nijijii njj ij aaaa aaaa aaaa aaaa M "" """""" "" "" """""" "" 1,1,1 ,11,11,11,1 ,11,11,11,1 11,11,111 +− +++−++ −+−−−− +− = 先要定义元素aij的余子式与代数余子式 18 nnjnjnjnn nijijijii injiijjii nijijijii njjj aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa D "" """"""" "" "" "" """"""" "" 1,,1,1 ,11,1,11,11,1 1,1,1 ,11,1,11,11,1 11,111,111 +− ++++−++ +− −+−−−−− +− = 3 19 定义 代数余子式 nnjnjnn nijijii nijijii njj ji aaaa aaaa aaaa aaaa "" """""" "" "" """""" "" 1,1,1 ,11,11,11,1 ,11,11,11,1 11,11,111 )1( +− +++−++ −+−−−− +− +− 元素aij 的代数余子式为 ijjiij MA +−= )1( 即 20 例如 0110 1211 4103 1031 =D 3 011 121 410 11 −==M 1 010 413 101 32 −==M 3)1( 11 11 11 −=−= + MA 1)1( 322332 =−= + MA 0110 1211 4103 1031 =D 21 定义 n 阶行列式 n2个数排成一个n行 n 列的正方形表 nnnn n n aaa aaa aaa " """" " " 21 22221 11211 称数 nn AaAaAa 1112121111 ⋅++⋅+⋅ " 为由这n2个数所构成的n阶行列式, 记为 nnijnij nnnn n n aa aaa aaa aaa D ×=== )det(|| 21 22221 11211 " """" " " 22 几个名词: 行列式的元素 行列式的行与列 行列式的主对角线 (4) 一阶行列式: 由1个数构成的一阶行列式,即这个数本身 例如, |3| = 3, |-3| = -3 n 阶行列式是n! 代数和, 每一项是取自于正方形数表 中n 个不同行同时又是n 个不同列的n 个元素的乘积 前面冠以适当的符号 23 (5) 几种特殊的行列式 ¾ 转置行列式 将一个行列式 D 的行和列互换所得到的行列式 称为 D 的转置行列式, 记为DT nnnn n n aaa aaa aaa D " "%"" " " 21 22221 11211 = nnnn n n aaa aaa aaa D " #%## " " 21 22212 12111 T = 24 ¾三角行列式: 上(下)三角行列式 对角行列式 定义 在 n 阶行列式D = |aij|n中, 若 njijiaij ,,2,1,,,0 "=>= 则称D 为上三角行列式. 若 njijiaij ,,2,1,,,0 "=<= 则称D 为下三角行列式. 若 njijiaij ,,2,1,,,0 "=≠= 则称D 为对角行列式. 0 0 0 0 4 25 对称行列式 反对称行列式 nij aD =设 njiaa jiij ,,2,1,, "== njiaa jiij ,,2,1,, "=−= 071 703 130 −− − ¾对称行列式与反对称行列式: 1 3 3 0 -1 -1 7 7 -2 26 2 行列式的性质 性质 1 TDD = 330 212 021 −−=D 3= 320 312 021 T − − =D 3= 例如 — 对行成立的性质对列也成立 27 性质 2 交换行列式的两行(列)行列式改变符号 330 212 021 −−=D 3= 021 212 330 1 −−=D 3−= 例如 推论 若行列式两行(列)的对应元素相等, 行列式等于零 28 性质 3 用一个数乘以行列式等于用这个数乘以行列式 的某行(或某列)而其他行(列)不变所得的行列式 nnnn n n aaa aaa aaa cDc " "%"" " " 21 22221 11211 ⋅=⋅ nnnn n n aaa acacac aaa " "%"" " " 21 22221 11211 ⋅⋅⋅= nnnn n n acaa acaa acaa ⋅ ⋅ ⋅ = " "%"" " " 21 22221 11211 29 330 212 021 −−=D 3= 9 330 212 063 330 212 032313 =−−=−− ⋅⋅⋅ 330 212 021 33 −−×=D 9= D3= 30 推论 1 行列式某一行(列)的公因子可以提到行列式的 外面 推论 2 若行列式的两行(列)的对应元素成比例, 行列式 等于零 9 330 212 021 3 330 212 032313 =−−×=−− ⋅⋅⋅ 021 212 032313 −− ⋅⋅⋅ 0 021 212 021 3 =−−×= 5 31 性质 4 拆项 若一个行列式某一行(列)的各元素可以看成 两个数的和, 则这个行列式等于两个行列式的和, 这两个行列式对应行(列)的各元素分别是原行列式 对应元素的两个数的一个, 其它的元素与原行列式 的对应元素相同 330 212 021 −−=D 3= 3210 2122 0311 + +−− +− =D 320 212 031 310 222 011 −+−− − = 32 nnnn ininiiii n ccc bababa ccc "" """"" "" """"" "" 21 2211 11211 +++ nnnn inii n nnnn inii n ccc bbb ccc ccc aaa ccc "" """"" "" """"" "" "" """"" "" """"" "" 21 21 11211 21 21 11211 += 注: 每次只能拆一行(列)！ 33 将行列式某一行(列)的各个元素乘以一个数加 到另一行(列)的对应元素上去, 行列式的值不变. 性质 5 倍加 nnnn knmnkmkm knkk n aaa caacaacaa aaa aaa " """" " """" " """" " 21 2211 21 12211 +++ =ija 34 330 212 021 −−=D 3= 330 230 021 = 3= 330 212 021 −−=D r1×2+ r2→ r2 35 性质 6 展开定理 ni ,,2,1 "= ininiiii nij AaAaAa aD +++= = "2211 , 则 nij aD =设 ∑ = =+++= n k kjkjnjnjjjjj AaAaAaAaD 1 2211 " nj ,,2,1 "= ∑ = = n k ikik Aa 1 特别地 若 n 阶行列式 D 的第 i 行(列)除了第 j 列(行) 的元素aij(aji)外全为零, 则 )( jijiijij AaDAaD == 36 330 212 021 −−=D 3= 3 33 23 1 =⋅= 330 230 021 330 212 021 =−−=D 6 37 性质 7 02211 =+++ kninkiki AaAaAa " nmjmj AaAaAa nmnjmjmj ,,2,1,, 02211 " " =≠ =+++ nki ,,2,1, "=,ki ≠ 38 nnnnnnn inniiii inniiii nn aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 1,321 1,321 1,321 11,1131211 − − − − "" """"""" "" """"""" "" """"""" "" →ir →kr 0= 按第 k 行展开, 得 02211 =+++ kninkiki AaAaAa "左= 39 性质 1 D = DT 性质 2 交换行列式的两行(列)行列式改变符号 — 对行成立的性质对列也成立 推论 若行列式两行(列)的对应元素相等, 行列式等于零 性质 3 用一个数乘以行列式等于用这个数乘以行列式 的某行(或某列)所得的行列式 推论 1 行列式某一行(列)的公因子可以提到行列式的 外面 推论 2 若行列式的两行(列)的对应元素成比例, 行列式 等于零 行列式的性质 40 性质 4 拆项 若一个行列式某一行(列)的各元素可以看成 两个数的和, 则这个行列式等于两个行列式的和, 这两个行列式对应行(列)的各元素分别是原行列式 对应元素的两个数的一个, 其它的元素与原行列式 的对应元素相同 将行列式某一行(列)的各个元素乘以一个数加 到另一行(列)的对应元素上去, 行列式的值不变. 性质 5 倍加 41 性质 6 展开定理 ni ,,2,1 "= ininiiiinij AaAaAaaD +++== "2211 nij aD = , 则设 njnjjjjj AaAaAaD +++= "2211 nj ,,2,1 "= 性质 7 02211 =+++ kninkiki AaAaAa " nmjmj AaAaAa nmnjmjmj ,,2,1,, 02211 " " =≠ =+++ nki ,,2,1, "=,ki ≠ 42 3 利用行列式可以表达线性方程组的解 方程个数与未知量个数相同的线性方程组的 标准形式 非齐次线性方程组: 齐次线性方程组: (1) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa " """"""""""" " " 2211 22222121 11212111 nbbb ,,, 21 " 不全为零 nbbb ,,, 21 " 全为零 7 43 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa " """"""""""" " " (2) nnnn n n aaa aaa aaa D " """" " " 21 22221 11211 = 方程组的系数行列式: 44 Cramer法则: 若线性方程组(1)的系数行列式 0 21 22221 11211 ≠= nnnn n n aaa aaa aaa D " """" " " 其中 则(1)存在唯一的解: nj D D x jj ,,2,1, "== (3) 45 nnnjn nj nj aaa aaa aaa "" """"" """"" "" "" 1 2221 1111 nj ,,2,1 "= jc ↑ =jD b1 b2 " " bn 46 若线性方程组(2)的系数行列式 0 21 22221 11211 ≠= nnnn n n aaa aaa aaa D " """" " " 则(2)存在唯一的零解: njx j ,,2,1,0 "== (4) 推论1: 齐次线性方程组(2)总有解, 至少有一组零解 47 推论2: 齐次线性方程组(2)有非零解的必要条件为 0 21 22221 11211 == nnnn n n aaa aaa aaa D " """" " " 注: 也是充分条件 定义：齐次线性方程组的不全为零的解称为 非零解 48 利用三阶行列式, 三元一次方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa (2) 当其系数行列式 0 333231 232221 131211 ≠ aaa aaa aaa 时,存在唯一的解: 8 49 , 333231 232221 131211 33323 23222 13121 1 aaa aaa aaa aab aab aab x = 333231 232221 131211 33231 22221 12111 3 333231 232221 131211 33331 23221 13111 2 , aaa aaa aaa baa baa baa x aaa aaa aaa aba aba aba x == D D2 D3 D1 3,2,1, == j D D x jj 50 【例】计算行列式 1105 363 142 3 −− − − =D 【解】 03 =D 51 【例】计算行列式 1105 063 002 3 −− −=D 【解】 110 06 23 − −⋅=D 12)1()6(2 =−×−×= 52 一般地, nnnn n aaa aa a D " "%"" " " 21 2221 11 0 00 = 0∏ = == n i iinn aaaa 1 2211 " nn n n n a aa aaa D " "%"" " " 00 0 222 11211 = ∏ = == n i iinn aaaa 1 2211 " 0 nn n a a a D " "%"" " " 00 00 00 22 11 = ∏ = == n i iinn aaaa 1 2211 " 0 0 53 000 000 000 000 1 2,1 1,2 1 "" "" """$"" ""$""" "" "" n n n n n a a a a D − − = 【例】计算行列式 0 0 【解】 按第一行展开 1 1 1 )1( − +−= nnnn DaD 递推公式 11 1)1( − −−= nnn Da 54 12,11,21 2 )1( )1( nnnn nn aaaa −− − −= " 21,21 21 )1()1( −− −− −−= nnnnn Daa 12,11,21 121 )1()1()1( Daaa nnn nn −− −− −−−= "" 12,11,21 1)2()1()1( nnnn nn aaaa −− ++−+−−= "" 11 1)1( − −−= nnnn DaD — 递推公式 9 55 0 0 nnnnn nn n aaa aa a 1,1 21,2 1 0 00 − − " ""$" " " 12,11,21 2 )1( )1( nnnn nn aaaa −− − −= " 00 0 1 1,221 11,111 " ""$" " " n n nn a aa aaa − − 12,11,21 2 )1( )1( nnnn nn aaaa −− − −= " 56 【例】 003 020 100 !3321)1( 2 )13(3 −=⋅⋅−= − 0001 0020 0300 4000 !44321)1( 2 )14(4 =⋅⋅⋅−= − 5 4 3 2 1 !554321)1( 2 )15(5 =⋅⋅⋅⋅−= − 57 【例】计算行列式 3351 1102 4315 2113 −− − −− − =D 【解法一】化为三角行列式 【解法二】 降阶 58 【解法一】化为三角行列式 3351 1102 4315 2113 −− − −− − =D 3315 1120 4351 2131 −− − −− − −= 3315 1120 4351 2131 −− − −− − −= 0 -8 4 -6 0 16 -2 7 59 72160 1120 6480 2131 − − −− − −= 72160 6480 1120 2131 − −− − − = 72160 6480 1120 2131 − −− − − = 0 8 -10 0 6 -5 5600 5200 1120 2131 − − − − = 10000 5200 1120 2131 − − − = 40= 60 055 1111 115 −− −−= 055 026 115 −− −= 40= 【解法二】 降阶 0355 0100 13111 1115 −− −− − = 3351 1102 4315 2113 −− − −− − =D 10 61 【例】计算行列式 1110 1101 1011 0111 4 =D 【解】 1110 1101 1011 0111 4 =D 1113 1103 1013 0113 = 1111 1101 1011 0111 3= 62 1111 1101 1011 0111 3= 1111 1101 1011 0111 3= 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 32 )14(4 )1()1(3 −−= − 3−= 0 63 【例】计算行列式 xaaa axaa aaxa aaax Dn " """"" " " " = 【解】 1)]()1([ −−−+= nn axanxD 64 xaaa axaa aaxa aaax Dn " """"" " " " = xaaanx axaanx aaxanx aaaanx " """"" " " " )1( )1( )1( )1( −+ −+ −+ −+ = 65 xaa axa aax aaa anx " """"" " " " 1 1 1 1 ])1([ −+= ax ax ax anx − − − −+= " """"" " " " 001 001 001 0001 ])1([ 1)]()1([ −−−+= naxanx 66 【例】计算行列式 u z y x D + + + + = 1111 1111 1111 1111 )0( ≠xyzu 【解法一】拆项与降阶 u z y D + + += 1111 1111 1111 1111 u z y x + + ++ 1110 1110 1110 111 11 67 u z y 001 001 001 0001 = u z y x + + + + 111 111 111 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ + ++= u z y u zxyzu 110 110 11 111 111 111 [ ]))(()( zuuzyzuxyzu ++++= xyzxyuxzuyzuxyzu ++++= u z y D + + += 1111 1111 1111 1111 u z y x + + ++ 1110 1110 1110 111 68 【解法二】 ux zx yx x 00 00 00 1111 − − − + = 的“爪形三线” 行列式化成形如 4,3,2,)1( 1 =→−+ irrr ii u z y x D + + + + = 1111 1111 1111 1111 69 ux zx y y xx 00 00 000 1111 − − ++ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++++= u x z x y xxyzu 1 ux zx yx x 00 00 00 1111 − − − + = ux z y z x y xx 00 000 000 1111 − +++ = u z y u x z x y xx 000 000 000 1111 ++++ = 70 解法三 升阶 u z y x + + + + = 11110 11110 11110 11110 11111 -1 x 0 0 0 -1 0 y 0 0 -1 0 0 z 0 -1 0 0 0 u u z y x D + + + + = 1111 1111 1111 1111 71 【例】计算行列式 542 452 222 − −− −− = λ λ λ D 【解】 并解方程 D = 0 512 412 202 −− −− − = λλ λ λ D 904 412 202 − −− − = λ λ λ 72 ]8)9)(2)[(1( −−−−= λλλ 所以, 方程的解为 10,1 321 === λλλ 904 412 202 − −− − = λ λ λ )10()1( )1011)(1( 2 2 −−= +−−= λλ λλλ 12 73 【例】解关于x 的方程: 0 11321 12321 13221 13211 1321 = −+ −+ −+ −+ −− −− − − − xaaaaaa axaaaaa aaxaaaa aaaxaaa aaaaa nnn nnn nn nn nn " " """""" " " " 其中a1≠ 0. 74 xa xa xa xa aaaaa n n nn − − − − − − − 1 2 2 1 1321 0000 0000 0000 0000 " " """""" " " " 左 = )())(( 1211 xaxaxaa n −−−= −" 故方程的解为 .,,, 112211 −− === nn axaxax " 【解】 75 【例】计算 2221 1211 2221 1211 2221 1211 00 00 bb bb cc cc aa aa D = 【解】 2221 1211 2221 1211 2221 1211 00 00 bb bb cc cc aa aa D = 222121 121111 21 12 222122 121112 22 11 0000 bbc bbc a a bbc bbc a a −= 76 222121 121111 21 12 222122 121112 22 11 0000 bbc bbc a a bbc bbc a a −= 2221 1211 2112 2221 1211 2211 bb bb aa bb bb aa −= 2221 1211 2221 1211 bb bb aa aa ⋅= 77 m 阶 k 阶* O = m 阶 k 阶× m 阶 k 阶O * = m 阶 k 阶× 78 m 阶 k 阶 * O = (-1)mk m 阶 k 阶× m 阶 k 阶 O * = (-1)mk m 阶 k 阶× 13 79 【答】D (A) 100 (B) –100 (C) 102 (D) - 102 【例】(单项选择题) = − −− − = 12200 23000 71110 51000 42123 5D ______. (下页) 80 12200 23000 71110 51000 42123 5 − −− − =D 【解】 12200 42123 71110 51000 23000 − −− − −= 200 123 110 51 23 )1( 32 − − ×−−−= × = - 102 81 【解】 【答】B (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【例】(单项选择题) 设 3475344 53542333 32221222 3212 )( −−− −−−− −−−− −−−− = xxxx xxxx xxxx xxxx xf 则f (x) = 0 的根的个数为______. 3475344 53542333 32221222 3212 )( −−− −−−− −−−− −−−− = xxxx xxxx xxxx xxxx xf 1 1 1 - 3 0 0 x - 2 x - 7 -1 -1 - 2 - 3 (下页) 82 3734 22133 10122 1012 −−− −−− −− −− = xx xx x x 6734 12133 00122 0012 −−− −−− − − = xx xx x x )55( +−−= xx f (x) = 0有两个根 83 【答】A 【例】(单项选择题) 设 2 2 5143 2143 4331 4321 )( x x xf − −= 则f (x) = 0 的根为______. (A) (B) (C) (D) 3,1 ±± 3,5 ±± 2,5 ±± 5,1 ±± 84 【解】 【答】A (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【例】(单项选择题) 设 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) a x a x a x a x b x b x b x b x f x c x c x c x c x d x d x d x d x + + + + + + + += + + + + + + + + 则f (x) 的次数至多为______. (下页) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) a x a x a x a x b x b x b x b x f x c x c x c x c x d x d x d x d x + + + + + + + += + + + + + + + + a2 – a1 b2 – b1 c2 – c1 d2 – d1 a3 – a1 b3 – b1 c3 – c1 d3 – d1 a4 – a1 b4 – b1 c4 – c1 d4– d1 14 85 按第一列展开 411311211111 )()()()()( AxdAxcAxbAxaxf +++++++= )()( 41131121111141312111 AdAcAbAaxAAAA +++++++= 与x 无关的数 与x 无关的数 86 2312 1120 112 0211 )( −− +− − − = x x xf【例】已知 , 求 2 2 )( dx xfd 【解一】计算f (x) 2312 1120 112 0211 )( −− +− − − = x x xf 0 1 + x - 4 3 0 2 + x - 5 1 341 112 152 −+ +− −+ = x x x -4 – x x + 6 0 -5 - 2x 11 0 = -11(4 + x) +(5 + 2x)(6 + x) 2 2 )( dx xfd =4 87 【解二】找出 f (x) 中次数 ≥ 2 的项 2312 1120 112 0211 )( −− +− − − = x x xf 由行列式的定义, 产生 f (x) 中最高次幂的项为 1 · x · (x + 1) · 2 2 2 )( dx xfd = 4 88 3351 1102 4315 2113 −− − −− − =D 【例】已知行列式 求 14131211 335 AAAA −+− 442414 AAA +− 89 【解】 14131211 335 AAAA −+− 3351 1102 4315 2113 −− − −− − = 1 – 5 3 – 3 = 0 90 442414 AAA +− 3351 1102 4315 2113 −− − −− − = 1 – 1 0 1 1355 0100 13111 1115 −− −− − = 155 1111 115 −− −−= 56= 0610 026 115 −− −= 15 91 【例】计算范德蒙( Vandermonde )行列式 2 3 2 2 2 1 321 111 aaa aaa 【解】 (- a1) × r2+ r3 ⇒ r3 (-a1) × r1+ r2 ⇒ r2 2 3 2 2 2 1 321 111 aaa aaa 2 3 2 2 2 1 321 111 aaa aaa 0 a2(a2- a1) a3(a3- a1) 0 (a2- a1) (a3- a1) 92 32 1312 11 ))(( aa aaaa −−= ))()(( 231312 aaaaaa −−−= )()(0 0 111 133122 1312 aaaaaa aaaa −− −−= )()( )()( 133122 1312 aaaaaa aaaa −− −−= 93 一般地, 可以 证明 Vandermonde 行列式 )2( 1111 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1 321 ≥ = −−−− −−−− n aaaa aaaa aaaa aaaa D n n nnn n n nnn n n n " " """"" " " " 其中a1, a2, ", an为 n 个不同的数. ∏ ≤<≤ −= nij ji aa 1 )( 94 例如 27931 1252551 1111 8421 48 )53)(13)(15)(23)(25)(21( = −−−−−−= 95 【例】计算n 阶行列式: 11111 000 0000 000 000 11 3 22 11 " " """""" " " " −−− − − − = nn n aa a aa aa D 96 11111 000 0000 000 000 11 3 22 11 " " """""" " " " −−− − − − = nn n aa a aa aa D " 【解】 0 2 0 3 n-1 0 n 121 1)1( − −−= nn aana " 16 97 【例】(单项选择题) [ ]. 【解一】第一行与第五行分别有公因子a , b, 排除 (C) 【答】A (A) ab(a2 + b2) (a + b) (B) a3 b3 (a + b) (C) a4 - b4 (D) a4b4 = 0 0 0 0 0 bbbb abbb aabb aaab aaaa 幻灯片 99 98 = 0 0 0 0 0 bbbb abbb aabb aaab aaaa aabababb aababb aabb ab aaaa −−−− −−− −− − 0 00 000 0 (第一行的 –1 倍加至其它行) ab ab ab ab aaaa − − − − = 000 000 000 000 0 (从第五行起, 上行的 –1 倍 加至其下行, 至第二行为止) ab ab ab ab − − −−= 00 00 00 1111 (提公因子,并按第一列展开) 99 ab ab ab ab − − −−= 00 00 00 1111 (按第一行展开) ))(( 22 babaab ++= 幻灯片 97 3){( aab −−= 2)( ab −− )(2 ab −+ }3b− 100 【解二】建立递推公式法 0 0 0 0 0 5 bbbb abbb aabb aaab aaaa D = ab ab ab ab aaaa − − − − = 000 000 000 000 0 4 415 )()1( Daab −+−= + (按最后一列展开— 递推公式) ])()1)[(()1( 3 33415 Daabaab −+−−+−= − ])()1[( 2 222324 Daababaab −+−++= ))((23324 abababaab −−+++= ))(( 22 babaab ++= 101 【例】计算行列式 【解】按第一行展开 a aa aa aa aa D −− −− −− −− − = 11000 1100 0110 0011 0001 5 345 )1()1( DaDaD ×−×−−= 3445 DaDDaD ×+=×+ — 递推公式 23 DaD ×+= 12 DaD ×+= 102 )1( 11 1 12 aaa aa DaD −+−− −=×+ 145 =×+ DaD 123 =×+ DaD 112 =×+ DaD 134 =×+ DaD ×(-a) 145 =×+ DaD 2 2 3 3 2 aDaDa =×+ 3 1 4 2 3 aDaDa −=×−− aDaDa −=×−− 324)( ×(a2) ×(-a3) (+ 32 1 4 5 1 aaaDaD −+−=×− 1 432 5 1 DaaaaD ×+−+−= 54321 aaaaa −+−+−= = 1 17 103 【例】证明奇数阶反对称行列式等于零 【证】 设D 为奇数阶反对称行列式, 其阶数为2n - 1 0 0 0 0 12,312,212,1 12,32313 12,22312 12,11312 " """"" " " " −−− − − − −−− −− − = nnn n n n aaa aaa aaa aaa D T12)1( Dn−−= D−= D = 0 104 【解】写成标准方程 【例】求解三元一次方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+− =+++ =+− 12 ,02223 ,22 321 321 321 xxx xxx xxx ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+− −=++ =+− 12 ,2223 ,22 321 321 321 xxx xxx xxx 5 121 223 112 = − − =D 10 121 222 112 1 = − − − =D 5 111 223 122 2 −=−=D 15 121 223 212 3 −= − − − =D 3,1,2 321 −=−==⇒ xxx 105 【例】解方程组 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ =++ =++ =− 1 02 02 1 43 432 321 21 xx xxx xxx xx 【解】 04 1100 2110 0211 0011 ≠−= − =D 4 1, 4 3, 4 5, 4 1 4321 ==−=−= xxxx 1,3,5,1 4321 −=−=== DDDD 106 【例】讨论 a ,b 取何值时, 方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ 02 0 0 321 321 321 xbxx xbxx xxax 有非零解? 【解】 ba b b a D )1( 121 11 11 −== 当a = 1或 b = 0 时有非零解 18