常微分方程第12讲

null常微分方程常微分方程辅导课程十二主讲教师：王稳地线性微分方程组的存在唯一性线性微分方程组的存在唯一性设A(t)和发f(t)在[a,b]上连续， 则(1)存在唯一解 满足(2)初值问题解存在唯一null可以用逐次逼近法证明齐线性微分方程组对于（5）来说（n个方程），利用初值问题解 的存在唯一性定理可以证明，(5)的所有解构成 了一个n维线性空间，也就是存在一个由n个解 组成的基本解组. null定义叫做解矩阵，解矩阵的行列式叫做这些解的 Wronski行列式，W(t), 若线性无关，叫做 基解矩阵 定理 定理null例: 可以验证这两个都是解, 并且是线性无关的, 因为解矩阵基解矩阵(5)存在一个基解矩阵(5)存在一个基解矩阵定理 (5)的任何一个解 x(t) 可以示为 c 是一个常值向量因此, 求(5)的解归结为求基解矩阵如果知道了（1）一个特解, 并且知道了(5)的基解矩阵, 则(1)的任何一个解可表示为定理null常系数齐线性微分方程组A 是 n 阶常数矩阵. 定义可以证明矩阵级数是收敛的, 并且 exp(At) 是(9) 的基解矩阵, 满足初始条件 x(0)=E. 因此, (9)满足初始条件 x(0)=的解为 基解矩阵的计算标准基解矩阵的计算设n阶矩阵 A 有 k 个不同的特征值重数考虑线性代数方程组解空间记为可以证明维数是于是, 任意一个向量于是, 任意一个向量可以表示为计算再分别令null得 n 个解注 如果矩阵 A 只有一个 n 重特征值 例:求方程组的标准基解矩阵, 并求满足 x(0)=的解null考虑 null令null令得null令得令得null 求下面两个方程组的解空间求基解矩阵null 解空间为null解空间为null解之得nullnull非齐线性微分方程组nullnullnull