债券利率期限结构

3 债券利率期限结构 ——理论与经验研究 鲁 昌 (上海财经大学 200083) 关键词：利率期限结构 零息票债券 预期 无套利 一般均衡 JEL classifications: C13, D92, G12. 鲁昌 (上海财经大学 200083)，上海财经大学经济学院99级博士生，西方经济学专业。研究兴趣主要集中在期权定价理论，债券利率期限结构理论以及时间序列分析等领域，曾在《上海财经大学学报》、《外国经济与管理》、《财经问题研究》、《东北财经大学学报》等学术刊物上发表过“消费、利率与证券市场波动”，“微观经济计量研究回顾与赫克曼、麦克法登的理论贡献”，“目标通货膨胀政策与实践评述”，“中国股票市场记忆性波动的时间序列分析与预测”等多篇。 注：本文得到了同济大学中德学院德国科学基金联合会基金教研室的资助。 目 录 Contents 提要 Abstract 1、​ 引言 Introduction 2、​ 关于利率期限结构的早期理论 On the early stage of the theory of the term structures of the interest rates 3、​ 现代利率期限结构理论 On the modern theory of the term structures of the interest rates 4、​ 现代利率期限结构理论研究所取得的新进展 On the new developments in the modern theory of the term structures of the interest rates 5、​ 关于现代利率期限结构模型的计量经济学检验 Econometric tests on the models of the modern theory of the term structures of the interest rates 6、​ 结语 Conclusions 参考文献 债券利率期限结构 ——理论与经验研究 提要： 本文简要评述了利率期限结构理论的产生与发展历程，并在此基础上讨论了与之相关的经验研究及有关模型所存在的问题。利率期限结构理论的发展可以划分为两个阶段，二十世纪七十年代是早期理论与现代理论在时间上的分水岭。早期理论主要采用定性的分析手法，通常对投资者的债券种类选择行为提出某种假说来说明实际市场中观察到的收益率经验曲线。这些理论以某种假设来说明债券期限结构收益率曲线的形状，尚未涉及利率变化与债券市场均衡的动态性质与特征。在布莱克和休斯于1973年提出的研究的启发下，经济学家开始使用连续时间数学分析工具来研究利率变化的动态性质，利率期限结构理论由此进入了新的发展阶段。最初的利率研究通常假定短期利率是影响债券价格变化的唯一状态变量，此后又有研究人员将短期利率之外的随机变量引入状态变量集中，认为多种因素共同影响和决定债券价格及相应衍生品的价值的变动。 就建模所使用的工具和方法而言，单因素模型与多因素模型之间没有本质差异，都采用无套利分析法或一般均衡方法。无套利分析法假定利率波动服从某一随机扩散过程，债券被视为以利率为标的物的“衍生品”，它的价格变化依赖于利率的波动，进而直接借用期权定价分析所使用的一整套办法得到债券价格及利率的期限结构。 无套利分析法简洁、实用，但同时存在重大的逻辑缺陷。外生给定的市场风险价格有可能与无套利假定之间存在内在冲突。有鉴于此，考克斯、英格索尔和罗斯(1985a)另辟蹊径，建立了一个生产和消费随机波动、厂商追求利润最大化、消费者追求一生效用最大化的竞争性经济一般均衡模型，由模型内生地确定市场风险价格及利率的期限结构。 从理论分析的角度来看，一般均衡模型很完美。但对证券交易商而言，它却存在应用上的致命缺陷，无法满足交易商对收益率曲线的精确要求。针对一般均衡模型在实际应用中所碰到的困难，霍和李(1986)承袭传统无套利模型的研究思路而提出“无套利利率运动”模型，开创了期限结构理论研究的“实用主义”新方向。这一新的建模方法得到了布莱克、德曼和托伊(1990)，布莱克和卡拉辛斯基(1991)，希思、杰罗和摩顿(1992)以及赫尔和怀特(1990,1993)等人的发展完善和补充，成为深受交易商青睐的建模分析工具。 利率期限结构理论研究涌现出的众多成果使其与期权定价理论一起构筑了连续时间金融理论的分析基础，但所使用的分析工具日趋复杂、艰深，似乎存在着为理论而理论的抽象化倾向。 Term-structure of the interest rates ---Theoretical and empirical studies Abstract The establishment and development history of the theory of the term structure of interest rates is briefly surveyed in this article, on the basis of which, the relevant empirical research works and problems of the models are discussed also. The development of the theory of the term structure of interest rates might be divided into two stages, and 1970s witnessed the theory stepping into modern stage from early one. Qualitative analysis was commonly used among the early literatures, which assumed that empirical yield curve could be determined by some kind of bond selection behavior of investors. Dynamics of interest rates and characteristics of dynamic market equilibrium were not involved in the early literatures. With the enlightenment of Black-Scholes’ research (1973), continuous time analytical methods were used by lots of economists to explore the dynamics of interest rates, which was the main feature of the modern theory of the term structure of interest rates. At the beginning of this stage, short term interest rate was usually assumed to be the only state variable that affects the bond price, after that, new state variables were included into the model by the following researchers who believed that the prices of bond and derivative were dependent upon lots of state variables simultaneously. As for the tools and methods, there is not substantial difference between the single factor model and the multi-factors model, in which no-arbitrage analysis and equilibrium analysis are used. No-arbitrage analysis method assumes that the interest fluctuation follows a stochastic diffusion process; bond is a kind of derivative, the value of which depends upon the change of the interest rate, which means that the bond’s underlying asset is the interest rate. Upon these assumptions, option-pricing methods could used to determine the price of bond and the term structure of the interest rates. Although it is concise and practical, there existed a serious logical default in no-arbitrage analysis. Exogenously determined market risk price might conflict to the no-arbitrage assumption. Cox, Ingersoll, and Ross (1985a) show how to derive a continuous time term-structure model from an equilibrium model, in which production and consumption follow stochastic processes, firm wants to maximize its profit and consumer wants to maximize its utility. This kind of equilibrium model could lead to the endogenously determined market risk price and the term structure. From the point of theoretical analysis, equilibrium method is beautiful. But bond trader scarcely uses this method, because it cannot fit the empirical term-structure precisely. Following the idea of the conventional no-arbitrage model, Ho and Lee (1986) derived arbitrage-free interest rate movements model, which initiated pragmatism research of term-structure. This method was developed by Black, Derman and Toy (1990), Black, Karasinski (1991), Heath, Jarrow and Morton (1992), Hull and White (1990,1993), and become an influential modeling method among the traders. With lots of research improvements, term-structure theory and option pricing theory constitute the analysis basis of the continuous time financial theory. But the analytical tools tend to be more and more complex, which might suggest a kind of trend aiming to a very abstract theoretical framework. 1、​ 引 言 债券的收益率与其到期期限之间的函数关系称为债券的利率期限结构。在以美国为代表的西方发达市场经济国家，所有长期债券的定价都以国库券收益率为基础利率，国库券收益水平及其波动直接影响到绝大多数政府贷款、商业贷款和个人贷款的发放，企业在债券市场的融资能力与效果乃至股票市场和金融衍生品市场的运行状况等。整个国家宏观经济的运行质量对利率波动极为敏感，债券市场波动造成的影响可谓牵一发而动全身。正因为如此，一个多世纪以来，利率期限结构一直是金融经济学家最感兴趣的研究主题之一。十九世纪七十年代中后期到八十年代初，美国的利率水平极度走高并伴随有剧烈震荡，投资者需要相应的金融工具来化解利率波动风险；与此同时，美国政府从七十年代末开始放松对金融市场的管制，金融机构拥有更大的自由空间来开发和应用市场需要的各种金融工具。在布莱克和休斯(Black&Scholes,1973)取得关于股票期权定价分析的突破性进展之后，以默顿(Merton)、考克斯(Cox)、英格索尔(Ingersoll)、罗斯(Ross)、瓦西塞克(Vasicek)、多塞(Dothan)、斯坦顿(Stanton)、达菲(Duffie)、辛格尔顿(Singleton)、希思(Heath)、杰罗(Jarrow)和摩顿(Morton)为代表的一大批金融经济学家运用连续时间分析中的维纳过程和鞅(Martingale)等工具建立了种类繁多的利率期限结构模型，用以研究债券收益率水平及以此为标的的利率衍生品价值的动态变化特征，大大提高和推进了利率期限结构理论研究的深度与广度。因而，笔者倾向于将利率期限结构理论的发展划分为两个阶段，十九世纪七十年代是早期理论与现代理论在时间上的分水岭。 2、​ 关于利率期限结构的早期理论 投资者投资债券的一个基本动机是获取投资期限内的固定收益，由于各种债券的到期期限长短不一，若投资者的资金在各种债券之间的转换无摩擦，他的投资行为应当是在这些债券之间进行选择并妥善搭配之后的结果。因此，利率期限结构理论要回答的最基本问题是债券收益率水平如何决定，收益率与到期期限之间是怎样的一个函数关系，进而，满足行为最优化假设的个体投资者之间的竞争以什么样的机制使市场趋向均衡，以及描述这些均衡动态性质的特征状态变量等。 就早期理论而言，它的研究方法还较为粗糙，都以对投资者的债券种类选择行为提出某种假说来定性说明实际市场中观察到的收益率经验曲线为基本特征，根据假说的不同可区分为三类：预期(expectation)理论、流动性偏好(liquidity preference)理论和期限偏好(preferred habitat)理论。其中，流动性偏好理论和期限偏好理论是在预期理论的基础上，针对其对经验事实解释能力的不足而提出的。 预期理论可追溯至费雪(Fisher,1896)，他最早提出了投资者对未来即期利率的预期将会影响到当前长期利率水平的观点，希克斯(Hicks,1939)和卢茨(Lutz,1940)发展并完善了这一假说，此后，马尔基尔(Malkiel,1966)和罗尔(Roll,1970)又作了一些新的补充。关于债券收益率水平及其与到期期限之间的关系，预期理论认为，投资者的资金可以在长期和短期债券市场中自由转移，收益率高的债券吸引资金流入，反之，收益率低的债券资金流出；根据市场的无套利(no arbitrage)原则，在均衡状态下，不论投资于何种期限的债券，投资者在同一时期跨度内所获得的收益水平将趋于一致。进一步地，对收益水平的不同定义又分别对应不同的预期假设。下面，我们用一个具体的例子来说明这一关系。对一个在时刻T到期并支付1单位货币的零息票债券(zero-coupon bond)，若在当前时刻t它的价格为P(t,T)，令r(t)为市场在t时刻的瞬态无风险利率，对所有期限的债券，市场预期它在未来瞬间都以比率r(t)获得利息收入，即有以下关系1： (1) 将上式积分后有： (2) 其中I(t)为投资者基于t期所拥有的信息集。此外，如果考虑的是投资者可以在长期债券和短期债券自由进出，他将一单位货币投资于长期债券与以展期形式投资于一系列的短期债券应得到一样的收益(卢茨,1940)，即有： (3) 类似地，马尔基尔(1966)认为，在均衡状态下，不同期限的债券在相同的时间跨度中只能获得相同的收益率水平，即有： (4) 定义随机变量 后，我们有： (2-1) (3-1) (4-1) 式(2-1)称为债券市场的局部预期假设(Local Expectation Hypothesis, LEH)，式(3-1)称为到期收益预期假设(Return-to-Maturity Expectation Hypothesis, REH)，式(4-1)则称为到期收益率预期假设(Yield-to-Maturity Expectation Hypothesis, YEH)。比较式(2-1)，(3-1)和(4-1)可以发现，三种形式预期假设对同一期限债券价格的假定是内在不一致的，除非未来利率水平相互无关，但这显然不是现实经济的真实描述，真实利率水平的时间序列表现出高度的自相关。由詹森(Jensen)不等式我们可以得到三种假设下债券价格之间的关系为 。这是预期假设在理论上的一个缺陷，同样强调收益水平的均等，但由于收益水平表示的非本质性差异而导致了债券价格表述的非一致性。 预期假设的一个基本结论是，投资者根据所掌握的充分信息对债券的收益率作出合理预期，只要收益水平相同，他们并不特别厌恶或偏好某种期限的债券。但在实践中，人们发现长、短期利率与债券价格的关系并不完全符合预期假设，在相同的收益水平下，人们似乎更偏好短期债券，未来总是充满太多的不确定性变化，长期债券唯有价格更低、收益率更高方能吸引投资者。凯恩斯(Keynes,1930)指出了期货价格小于即期价格的可能性，他认为，寻求降低风险的交易者，如农户的目的在于锁定未来的收益，投机者参与交易的动机则在于获得期货与现货价格之间的价差，为吸引他们购买期货合同，农户只能以较低的期货价格出售自己的产品，让渡一定的风险报酬给投机者，这一风险报酬凯恩斯称之为交割延期费(backwardation)。在凯恩斯“交割延期费”概念的基础上，希克斯(1939) 提出利率期限结构的流动性偏好理论。在希克斯看来，为稳定未来的资本金供给，资金的借方总是希望借贷期越长越好；资金的贷方为避免未来收益的不确定性则希望借贷期越短越好，期限越长资金的流动性越差；投机者的存在弥合了资金借贷、供求在期限长短上的错位，他们借短而贷长，同时索求相应的期限溢价以补偿损失的资金流动性和所承担的风险，自然地，长期债券收益水平隐含的远期利率高于未来短期债券的预期即期利率，两者之间的差额就是所谓的期限风险溢价。也就是说，若风险溢价为正，债券期限结构收益率曲线向上倾斜，远期(forward)的收益率曲线也向上倾斜且位于预期的未来即期利率曲线的上方，两者相差风险溢价的距离，如图1(a)所示。 在凯恩斯的期货风险报酬理论中，寻求降低风险的交易者对期货的净需求为负(net short)，换言之，想要降低风险的交易者更愿意卖而不是买期货。实际上，寻求降低风险的交易者可以通过同时买卖期货作套头交易来规避市场风险，这时他们对期货的净需求为正(霍撒克Houthakker,1957；库特纳Cootner,1960)，期货价格高于现货价格，风险报酬为负，霍撒克和库特纳称此负的风险报酬为交易延期费(contango)。考克斯，英格索尔和罗斯(1981)借鉴这一思想，正规证明了债券利率期限风险溢价可正也可负，若投资者构造投资组合时更愿意购买长期债券以规避短期利率波动风险，长期债券价格上升而短期债券价格下降，远期利率下降而即期利率上升，期限风险溢价将变为负，此时，市场预期未来的利率水平将走低，债券期限结构收益率曲线向下倾斜，远期收益率曲线也向下倾斜且位于预期的未来即期收益率曲线的下方，如图1(b)所示。 即期/远期收益率 即期/远期收益率 正的期限风险溢价 预期的未来即期利率曲线 远期收益率曲线 即期收益率曲线 负的期限风险溢价 即期收益率曲线 预期的未来即期利率曲线 远期收益率曲线 期限时间跨度 期限时间跨度 图1(a)向上倾斜的期限结构收益率曲线 图1(b)向下倾斜的期限结构收益率曲线 预期假设中，投资者并不偏好某种期限的债券，各种期限债券互为完全替代品，均衡状态下，根据长期债券与短期债券的投资收益水平相同这一关键假设求出远期利率与即期利率。并且，期限结构收益率曲线充分反映了市场对利率未来变化的预期，也就是说，曲线向上倾斜，市场认为当前的短期利率水平低而预期未来会走高；曲线向下倾斜，则表明市场判断当前短期利率水平高，未来将会走低。一般而言，人们观察到的收益率曲线总是向上倾斜，换言之，市场总是判断当前利率水平过低而预期未来走高，预期假设无法解释这一经验事实发生的必然性。就此，卡尔伯特森(Culbertson,1957)提出市场分割(market segmentation)假设来加以解释，在他看来，不同投资者对长期和短期债券都有自己的强烈偏好，债券的短期市场和长期市场是完全有效分割的，它们分别在相互分离的市场中交易，某种期限债券期望收益率的变动不影响市场对另一种期限债券的需求，债券投资的短期收益和长期收益由各自市场上的供给与需求决定，两种期限债券之间的相互替代弹性为零。一般而言，投资更偏好期限短、风险低的短期债券，债券价格高而收益率低；与此相反，期限长、风险高的长期债券需求强度小，债券价格低而收益率高，因此，利率期限结构收益率曲线通常总是向上倾斜的。显然，卡尔伯特森的假设有一定的解释能力，莫迪利亚尼和萨奇(Modigliani&Sutch,1966) 的期限偏好理论推广了卡尔伯特森的市场分割假设，认为市场有N种期限债券，由于投资者所在行业以及资金来源等原因，他们对各种期限的债券各有偏好，一般情况下，他们只投资于所偏好的“最安全”的债券。因此，投资者的种类和偏好成为债券期限结构收益率曲线形状的决定因素。当市场投资者主要由人寿保险公司和退休金基金会等机构构成时，它们更注重投资的安全性，长期的“安全”债券是其首选，类似地，对长期债券需求的增强将压低长期利率，期限结构收益率曲线向下倾斜；商业银行为代表的投资者更注重资金的流动性与盈利性，短期债券更受其青睐，从而，短期利率变低，期限结构收益率曲线将向上倾斜。因此，期限偏好理论同样能够解释不同形状的收益率曲线，流动性偏好理论可视为它的一个特例，即假定市场的所有投资者都偏好短期债券。 由于研究者很难找到表示市场一致预期的变量，对早期理论尤其是预期假设的经验检验一度处于困境，后来，罗尔(Roll,1971)提出用市场组合的收益率来表示市场的一致预期，并运用夏普-林特纳-莫辛(Sharpe-Lintner-Mosin)资本资产定价模型对流动性期限风险溢价的存在性进行了检验，发现在检验的样本期内的确存在正的流动性风险溢价，即期限结构收益率曲线向上倾斜。在期限结构收益曲线是否提供关于未来短期利率走势的信息，即关于预期基本假设的检验方面，希勒，坎贝尔和肖恩霍茨(Shiller, Cambell&Schoenholtz,1983)以及曼昆和萨默斯(Mankiw&Summers,1984)的检验认为长期利率和短期利率的差额并不总是有助于预测未来的短期利率，对预期假设的成立提出置疑；但法玛(Fama,1984)的检验则认为期限结构的确包含了利率未来走势。考克斯，英格索尔和罗斯(以后简称CIR,1981)在连续时间框架下证明只有局部预期假设才能与市场无套利原则相一致，而在到期收益预期假设和到期收益率预期假设下，债券价格均衡与无套利原则相互冲突。最近的一些经验研究认为传统检验效果不佳的原因在于统计推断基于的渐近分布理论，应当考虑发展新的推断方法(拜利和博勒斯莱夫Baillie&Bollerslev,2000;梅纳德和菲利浦斯Maynard&Phillips,1998)。总之，预期假设是期限结构早期理论中的核心命题，七十年代以后，虽然理论研究的重点逐渐转向以连续时间分析工具建立的期限结构模型，但关于这一假设的讨论与实证检验并未停止，它依然是现代期限结构理论模型赖以建立的基石。 3、​ 现代利率期限结构理论 以某种假设来说明债券期限结构收益率曲线的形状，这是早期理论的基本特点。由于受到数学分析工具的限制，早期理论尚未涉及利率变化与债券市场均衡的动态性质与特征。七十年代之后，在布莱克和休斯(1973)研究方法的启发下，研究人员尝试运用维纳过程等连续时间数学分析工具来研究利率变化的动态性质。最初的研究通常假定短期利率是影响债券价格变化的唯一状态变量，如默顿(1973)、多塞(1978)、瓦西塞克(1977) 和CIR(1985b)等模型，此后又有研究人员将短期利率之外的随机变量引入状态变量集中，认为多种因素共同影响和决定债券价格及相应衍生品的价值的变动。根据状态变量集中随机变量的个数，我们可以将利率期限结构模型区分为单因素和两(多)因素模型两大类。 1.单因素模型 利率期限结构的单因素模型假定短期利率是影响债券收益率曲线的唯一状态变量，方程表一 单因素模型一览表 模型 f(r,t) g(r,t) 考克斯-英格尔索尔-罗斯(1985b) κ(α-r) σr1/2 瓦西塞克(Vasicek,1977) κ(α-r) σ 科塔顿(Courtadon,1982) κ(α-r) σr 陈等(chan et.al,1992) κ(α-r) σrξ 皮尔逊和孙(Pearson&Sun,1994) κ(α-r) (σ+νr)1/2 布伦南和施瓦茨(Brennen&Schwartz,1979) κr(α-r) σr 布莱克和卡拉辛斯基(Black&Karasinski,1991) κr(α-lnr) σr 康斯坦丁奈德斯(Constantinides,1992) α+κr+νr2 σ+νr 兰德曼和巴特(Kendleman&Bartter,1976) mr σr 默顿(Merton,1973) α σ 多塞(Dothan,1978) 0 σr 考克斯-英格尔索尔-罗斯(1980) 0 σr3/2 (5)描述了它的一般形式。综合不同学者提出的不同假设，我们可以得到关于单因素模型的一览表，如表一所示，表中所有参数除r外均为常数。 表一中的模型都是在一定的应用研究背景下提出的。布莱克-休斯(1973)的期权定价模型假定无风险利率r为常数且对期权的所有到期日都相同，默顿(1973)则认为现实所观察到的利率具有随机波动的特征，遂放弃布莱克-休斯的常数无风险利率假设，提出他的随机利率模型并得到修正后的期权定价公式。与多塞(1978)模型相似，默顿模型所导出的债券价格随时间的增加而趋于无穷大，这是该模型不理想的结果之一。兰德曼和巴特(Rendleman&Bartter,1976)模型实际上是假设利率服从几何布朗运动，认为利率的波动与股票价格相似。实际上，二者间有着本质差别。与股票不同的是，人们在实际中观察到的利率长期变化中存在所谓的均值回复(mean reversion)现象，利率总是围绕着一个长期平均水平上下波动，当高于平均水平时，它会有一个负的漂移率，反之则有一个正的漂移率，默顿、多塞及兰德曼和巴特的模型没有考虑这一经验现象。瓦西塞克 (1977)提出了考虑均值回复现象的假设，认为短期利率以速率κ向平均水平α回复，选择适当的α,κ和σ值即可得到与经验观察相符的各种收益率曲线图。类似地，布伦南和施瓦茨(1979)提出了考虑均值回复且利率变化服从几何布朗运动的假设，科特顿(Courtadon,1982)的模型也很类似。 上述模型都采用了一种称为无套利分析(arbitrage-free analysis)的建模方法。下面，我们以一个一般的单因素模型来对其加以说明，体察现代理论在处理利率动态性质上的优越性。我们将发现，现代理论不仅可以拟合实际观察到的各种收益率曲线，而且还是分析利率衍生品价值的基本工具，在学术圈和交易商中间都有着非常重要的影响。 我们假定利率r的变化具有一个连续的样本路径，并遵循某一外生给定的扩散过程，其动态方程可表示为： 　　 　(5) 这里，μ(r,t)表示瞬时漂移率，g2(r,t)为瞬时波动方差，z服从漂移率为0、方差率为1的标准维纳过程，dz表示标准维纳过程的一个微小增量。μ(r,t)dt是利率在时间增量dt内的预期变化，g(r,t)dz则描述了利率变动的不可预期部分，利率变化的不确定程度取决于所考察的时间长度，当g(r,t)为常数时利率波动的总方差与时间长度成正比。 与前文一样，我们假设时刻T到期的零息票贴现债券的价格在当前时刻t是P(r,t,T)，债券价格的变化受状态变量(这里假定只受短期利率这一个因素的)影响，在此意义上我们将债券视为以利率为标的物的“衍生品”，它的价格变化依赖于利率的波动并遵循一个几何布朗运动过程： 　　　　　　 　　(6) α为债券瞬时期望收益率，σ2为瞬时波动方差。αdt表示债券收益的可预期部分，应用伊藤(Ito)引理后，我们可以得到以下关系式： 　(7) (8) 求解偏微分方程(7)和(8)就可以得到债券价格及相应的利率期限结构。若μ和g的函数形式没有任何限制，我们一般无法得到偏微分方程(7)和(8)的解析解，不同的期限结构模型就是针对μ和g提出不同假设而得到的。 由于短期利率是影响债券价格的唯一状态变量，根据(7)式可知，任意两个零息票贴现债券的收益率完全相关，因此，为保证不存在套利的可能性，债券预期的超额收益必须与标准差成正比，即有： (9) 其中，λ(r,t)称为市场风险价格，它不依赖于任何债券的收益状况而先验给定。 方程(9)看似一个风险中性定价等式，也一度使人们误以为这样的无套利分析与风险中性分析方法2等价。非常不幸，正是(9)式使债券定价的无套利分析碰到一个绕不开的困难。我们知道，在布莱克－休斯的期权定价分析中，期权定价是通过在一个完全的资本市场3中构造对冲组合或可以动态复制期权损益的证券组合来进行的，然后，根据市场的无套利条件可以得出，由标的资产与衍生产品构成的无风险证券组合的收益率等于无风险利率。并且，此时的无风险利率须独立于标的资产和衍生品的收益率。对以无风险利率为标的物的债券来说，这一条件永远无法满足。此外，可动态复制期权损益的证券组合由标的资产与无风险资产构成，而由无风险利率衍生的债券，其动态复制组合实在无法构造。因而，描述无套利状态下的债券收益就必须先定义市场风险价格，经市场风险价格的调整，任一期限的债券收益水平都趋于相同，由此也导致市场风险价格外生于模型而先验给定，这是七十年代末、八十年代初的单因素期限结构模型的重要缺陷。贝克(Back,1997)称这些模型为“传统的无套利模型”，由于市场风险价格外生给定，这样的无套利模型实际上并不能保证市场中不存在套利机会(贝克,1997;CIR,1985b)。 鉴于传统无套利模型所存在的逻辑缺陷，考克斯，英格索尔和罗斯(1985a)另辟蹊径，汲取默顿(1973)和卢卡斯(1978)的理论研究成果基础上建立竞争性经济的一般均衡模型，由模型内生地确定市场风险价格及利率的期限结构。与卢卡斯(1978)经济类似，考克斯，英格索尔和罗斯考虑的模型中只有一种易腐(perishable)产品，该产品要么用消费要么用于再投资，产出满足一个外生给定的随机过程，资产定义为对部分或全部产出的要求权，各种资产的价格及预期收益率由均衡内生决定。模型中，代表性个人追求效用最大化，他需要确定最佳消费水平、财富投资于生产过程和各种或有要求权债券的最佳投资比例。由于生产过程具有不确定性，个人需要预期投资的未来收益。而且，个人对消费时机的选择都有自己的偏好，此时，个人投资选择的债券具有“期限偏好”(preferred habitat)性质。因此，CIR均衡模型被认为是综合了传统利率期限结构理论精华以及现代经济理论分析工具的经典模型之一。 在CIR模型中，理性个人将自己的财富分配于消费、投资于具有风险收益的生产过程和以无风险利率获取收益的短期借贷，个人对资源的配置使无风险短期利率和风险债券收益率得到调整直至所有的财富都投资于生产过程为止；投资过程造成实物资产价值的变化，影响利率、进而债券价格的波动而具有反馈效应。在消费的跨期配置上，投资者根据利率的波动方差度量未来生产机会从而未来消费的不确定性，方差越大，财富边际效用的期望变化率越高，投资者对长期债券的索价越高。个人追求效用最大化的过程最终确定资源的帕累托最优配置，市场风险价格和利率的期限结构。 由于模型内生决定利率期限结构和市场风险价格，一般均衡的利率期限结构模型将自动保证利率期限结构、债券价格与市场不存在套利机会之间的内在一致性，此时的无套利定价分析才真正与风险中性定价等价；而且，我们还可以通过实际生产经济中基础变量的波动来预期利率期限结构的未来变化。与传统无套利模型相比较，一般均衡的利率期限结构模型的理论分析更加严谨和完美，它的提出符合理论发展的内在需要。 九十年代以后所提出的单因素模型一般都是研究人员进行经验研究时发现原有利率结构模型所存在的问题并针对这些问题提出的修正模型，我们把这一部分内容放在后面关于利率期限结构模型的计量经济学检验一节中详细讨论。 表二 两(多)因素模型一览表 模型 状态变量 状态变量间的关系 朗杰蒂格(Langetieg,1980) 众多不可观测的状态变量 短期利率等于各状态变量的算术和 布伦南和施瓦茨(Brennen&Schwartz,1979) 长期利率及短期利率 相关 理查德(Richard,1978) 真实利率和预期通货膨胀率 有限制相关 朗斯塔夫和施瓦茨(Longstaff&Schwartz,1992) 短期利率及其波动率 相关 赫尔和怀特(Hull&White,1994) 短期利率及其漂移率 相关 陈(chen,1994) 短期利率及其漂移率和波动率 相关 冯和瓦西塞克(Fong&Vasicek,1992) 短期利率及其波动率 相关 CIR(1985b) 短期利率和通货膨胀率 相关 施弗和施瓦茨(Schaefer&Schwartz,1984) 长期利率及长、短期利率间的差 相关 皮尔逊和孙(Pearson&Sun,1994) 短期利率和消费者价格指数 相关 2.两(多)因素模型 我们知道，单因素模型隐含的一些假设很强，它假定短期利率波动是造成债券收益具有不确定性的唯一而共同的因素，所有债券收益完全相关，所有债券收益率曲线都以一个单一参数为特征。这些与人们在实践中观察到的客观现象还有较大出入，为提高理论模型解释现实的能力，研究人员在单因素模型的基础上提出了两(多)因素模型。 利率期限结构的两(多)因素模型假定短期利率与其它的一些状态变量共同影响和决定债券收益率曲线的形状。这些状态变量可以是总消费或生产技术所受到的外生冲击、总物价水平、通货膨胀率、其它资产的价格和债券收益波动率等等。综合不同学者提出的不同假设，我们可以得到关于两(多)因素模型的一览表，如表二所示。 两(多)因素模型的建模所使用的工具和方法与单因素模型没有本质差异，依然采用无套利分析法(如布伦南和施瓦茨(1979)、施弗和施瓦茨(1984)等模型)或一般均衡方法(朗斯塔夫和施瓦茨(1992)、CIR(1985b)等模型)。只是状态变量函数、状态变量扩散过程的漂移函数和方差率函数需满足若干正则条件以保证期限结构收益率函数具有完备的定义，详细证明参见达菲(1996)。 4、​ 现代利率期限结构理论研究所取得的新进展 在美国，华尔街的交易商和从事学术研究的经济学家们都采用数学模型来分析债券价格的动态变化，但两类群体所倚重的模型类型和特点却大相径庭。经济学家追求理论的严谨与完美，偏好CIR(1985a,1985b)首倡的一般均衡模型，侧重研究“典型”的利率和债券价格波动，但对实际应用人士来说，一般均衡模型存在着致命缺陷。以CIR模型为例，它只有均值α，均值回复系数κ和波动率σ三个参数，根据估计出的参数值仅能拟合债券收益率期限结构曲线上的四个点(三个参数外加短期利率r)。显然这无法满足交易商对收益率曲线的精确要求，如果想通过增加因素个数从而参数个数来解决这一问题，除非因素个数等于收益率曲线上的债券种类数目，否则也做不到精确拟合。就实际应用而言，这样的模型价值接近于零，尽管模型本身可能很完美。 鉴于一般均衡模型在实际应用中所碰到的困难，霍和李(Ho&Lee,1986)承袭传统无套利模型的研究思路而提出了自己的“无套利利率运动(Arbitrage-free rate movements)”模型，由此开创期限结构理论研究的新方向，这一新的建模方法得到了布莱克，德曼和托伊(Black,Derman&Toy,1990)，布莱克和卡拉辛斯基(Black&Karasinski,1991)，希思，杰罗和摩顿(1992)以及赫尔和怀特(1990,1993)等人的发展完善和补充，成为深受交易商青睐的建模分析工具。下面，我们来详细讨论此类模型的建模思路。 我们知道，在CIR模型为代表的一般均衡模型中，利率期限结构和债券价格由模型内生决定，但无法准确拟合初始收益率曲线。与此相反，霍-李模型假设初始收益率曲线外生给定(即某一时刻在市场上观察到收益率曲线)，在此基础上讨论收益率曲线的运动结构。也就是说，放宽原来一般均衡模型(包括传统无套利模型)中漂移率不变的假设，认为参数是依时间而变化的(time-dependent)，从外生给定的初始收益率曲线出发，根据无套利约束来选择各期的漂移率参数以精确拟合当前的收益率曲线，所得到的当前收益率曲线也就自然地包含了初始收益率曲线中隐含的所有信息。众所周知，精确拟合的收益率曲线对交易商具有极其重要的意义，以此为基础，他们才可能发现各种以该债券为标的物的衍生品价格之间的关系、进而调整投资组合中各资产的头寸以牟利或规避风险。 霍-李模型还存在若干局限性，例如假定所有即期与远期利率都具有相同的方差率，而且没有考虑利率运动的均值回复特性，但它提供了一个新的研究思路：模型参数随时间而变化。沿袭这一思路，布莱克，德曼和托伊(1990)证明期限结构收益率曲线的不同部分可以具有不同的方差结构，即利率随机波动的瞬间方差率随时间而变化。这一扩展对与利率波动相关的期权的定价分析具有异常重要的意义，我们知道，波动率(或方差率)是期权定价中的一个关键参数。另外，赫尔和怀特(1990,1993)采用相同方法扩展了瓦西塞克(1977)模型，考虑了利率运动的均值回复特性，模型中相关的均值回复参数定义为随时间而变化。 希思，杰罗和摩顿(1992)将霍-李模型一般化推广到连续时间的分析框架中来，得到无套利利率期限结构理论的另一个重要模型——希思-杰罗-摩顿模型(以后简称HJM模型)。以往，包括无套利和一般均衡在内的利率期限结构模型都是以某些具体的经济变量为状态变量，进而构造出债券收益率与时间t和状态变量之间的函数。HJM模型的新颖之外在于它直接从远期利率期限结构的跨期波动特征入手，直接设定债券和相关衍生品在有效期限内的波动率函数结构，以整条收益率曲线作为状态变量，根据给定的初始远期利率曲线精确拟合出当前的各种远期利率曲线。远期利率隐含市场对未来的预期，因而HJM模型中的债券价格和衍生品价值的决定不依赖于过去的变量，而是依赖于市场对未来的预期和利率随机波动在未来的实现过程4，这一建模视角对经济学家们尤其具有吸引力。下面，我们通过一个单因素情形来简要说明HJM模型。 如果以f(t,T)表示在t时刻观察到的T时刻的瞬态远期利率，由定义有： (10) 根据期限偏好假设，我们可以将债券价格波动的随机微分方程写为： (11) 其中， 为期限风险溢价，由(9)式有 (12) 对(11)式应用依藤引理后有： (13) 结合(10)，(12)和(13)式，我们可以得到远期利率的随机微分方程： (14) 其中， 对 在t和T之间积分后有： (15) 因为债券的波动方差在到期时趋于零，我们必然有 ，(15)式又可写为： (15-1) 结合式(12)、(14)和(15-1)，我们可以得到远期利率的瞬态漂移率、瞬态波动标准差和市场风险价格之间的关系，亦即市场无套利条件关系式： (16) 这是市场的无套利条件对远期利率波动过程实施的限制。按照希思，杰罗和摩顿的思想，某一时刻t的远期利率期限结构可以表示为初始零时刻的远期利率期限结构加上期限结构从零时刻至t时刻所发生的累积变化，也就是说，以整条收益率曲线的变化来描述债券市场，从而我们有： (17) 由初始远期利率期限结构f(0,T)和远期利率的漂移率和波动率参数并根据(17)式，我们完全可以描述期限结构的演变特征，风险的市场价格λ(t)和波动率函数γ(t,T)可以通过收集到的数据资料估计出来。我们已经知道，风险市场价格λ(t)是无套利模型最受攻击的一个环节。为绕开这一问题，可以考虑用瞬态即期无风险利率r(t)来定义期限结构和债券价格，我们定义瞬态即期利率为在时刻t观察到的t时刻的瞬态远期利率，即有： (18) 根据式(14)和(18)可以得到关于即期无风险利率r(t)的随机微分方程： (19) 即期无风险利率r(t)的随机过程与远期利率的相似，二者的区别在于即期利率的时间与到期期限同时变化，远期利率过程则是到期期限T固定不变。 结合式(17)、(18)和(19)，我们可以用远期利率期限结构来描述即期利率的期限结构： (20) 将市场无套利条件关系式(16)5代入上式后有： (21) 此时，风险的市场价格λ(t)不再出现在即期利率期限结构的表达式中而成为一个冗余变量(redundant variable)，这样，HJM模型避开了无套利模型方法论缺陷所导致的逻辑陷井。取而代之的则是设定所有未来时刻远期利率的瞬时波动方差，再根据初始远期利率期限结构得到当前时刻t的即期利率期限结构进而求出债券及相应利率衍生品的价格，初始期限结构和远期利率的波动率结构成为决定债券市场变化的关键因素。另外需要指出的是，由于波动率γ(v,t)是一个随机变量，式(21)最后一个等号中的第二项依赖于γ(v,t)的历史路径，第三项依赖于的γ(v,t)和dz(v)的演变路径，这使得即期利率r(t)的过程成为一个非马尔科夫过程。 由以上的分析我们可以看出，HJM模型中漂移率与方差率函数设定为随时间变化，加之即期利率又是远期利率的特例，故而HJM模型是一个非常一般化的无套利模型，传统无套利模型和八十年代之后的新无套利模型都可视为它的一个特例。 此外，期限结构理论研究的另一个重要方向是运用仿射模型(affine model)6来研究债券的收益率。一般情况下，要得到债券定价偏微分方程的解析解很困难。后来，研究人员发现仿射模型是解决这一问题的有效工具，例如达菲和阚(Duffie&Kan,1996)就证明，若利率r是关于状态变量的仿射函数，即r=a+bx(x为状态变量)，则债券的收益亦可表示为状态变量的仿射函数，利用这一优良性质我们可以方便地获得偏微分方程的解析解。对a和b作出不同的假设可以得到前面所讨论的大多数单因素和多因素模型，放松对状态变量变动的假定之后，就可对这些模型进行一般化的总结和推广。由于仿射模型并没有在建模方法上取得重要突破，在更多意义上体现为新的数学工具的运用，在这里我们就不详细展开论述。 5、​ 关于现代利率期限结构模型的计量经济学检验 自布莱克、休斯和默顿在二十世纪七十年代所作的开创性工作以来，连续时间模型已成为金融经济学的重要分析工具，在居民的消费和储蓄，厂商的投资与资本积累，投资者受约束条件下的资产选择行为以及各种或有要求权的定价等问题的研究中得到广泛应用，研究文献中提出的模型数不胜数；与此同时，有关模型的设定与检验却一直是个避而不谈的问题。从严格的意义上讲，九十年代之前连续时间理论所获得的广泛接受是学术界对完美理论模型的盲从，它没有经受过任何经验意义上的检验，作为连续时间分析工具重要应用成果的利率期限结构模型尤其如此。人们是在完全无视理论的经验性质的基础上盲目接受了连续时间模型(梅里诺，Melino,1994)，换言之，连续时间模型及与之相联系的无套利定价技术一直就是衍生资产定价的“黑盒子”方法(达菲,1996)。所幸的是，九十年代后，迅速发展的经济计量研究使这一状况得到了显著改善。目前研究文献中经常采用最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)法、广义矩法(Generalized Method of Moment, GMM)、模拟矩法(Simulated Method of Moments, SMM)、有效矩法(Efficient Method of Moments, EMM)、非参数方法(Nonparametric method)等来估计和检验连续时间金融模型，下面我们就与现代利率期限结构理论有关的检验作一些讨论。 为便于表述对模型所作的检验，我们把所有的利率期限结构模型一般化地设定为短期利率的变化取决于随机状态变量Xt，状态变量的动态变化可用一个一般随机微分方程来描述： (22) 其中θ为待估计参数向量。设定方程(22)中的漂移率函数μ和波动率函数σ的参数形式后，随机变量Xt的转移密度函数p满足褔克-普兰克(Fokker-Plank)方程7，褔克-普兰克方程可写为： (23) 一般情况下我们无法直接通过褔克-普兰克方程得到转移密度p的闭合解。在一些特殊假设下，如布莱克-休斯(1973)、维西塞克(1977)和CIR(1985b)等模型8，通过褔克-普兰克方程能直接得到转移密度的闭合解。进而，在随机变量分布已知的条件下采用最大似然法来估计参数。皮尔逊和孙(1994)讨论了扩展的两因素CIR模型，他们认为债券价格的变动依赖于短期利率和消费者价格指数两个状态变量，将不可观测状态变量的似然方程代入债券价格公式，通过构造零息债券与附息债券的组合而获得两状态变量的横截面信息，再以最大似然方法估计相应参数，获得期限结构随时间变化的条件密度。皮尔逊和孙研究方法的优越性在于能够充分利用状态变量的概率分布与期限结构的横截面信息，无需再对CIR模型施以别的附加假设就可以完成模型的估计。皮尔逊和孙分别构造了短期债券与短期债券、短期债券与长期债券和长期债券与长期债券三种组合来估计参数，发现债券的期限结构确实存在明显的均值 回复现象，但估计出的收益曲线对实际收益曲线的似合效果并不佳9，所作的似然比检验表明原始的和他们扩展的CIR模型都不能很好描述美国国债的价格变动特征。 当随机变量的分布未知、无法得到似然方程时，最大似然估计将会遇到困难。长期以来，经济计量研究中普遍采用的最大似然估计法要求设定所需估计的完整模型及总体的概率分布，对数据产生过程(data generating process)有着很强的假设，这些不现实假设使经济计量学研究的基础受到置疑。经过七十年代的危机阶段，经济计量研究需要新的突破性进展，以在一个更为现实的框架下研究数据和建模。在此背景下，汉森(Hansen,1982)在《经济计量学(Econometrica)》杂志上发表了一篇讨论广义矩估计法渐近性质的重要论文。GMM估计进一步弱化了对数据统计特性的要求，无需假设数据产生过程和完整模型设定，从而能避免有可能发生的前提假定错误，同时，估计给出的统计量也具有一致性和渐近正态