薛定谔方程

薛定谔方程 上节所述态迭加原理，还只是静止状态的迭加，进一步说态迭加原理还包含动态意义，即设某一时刻 ，有： 对任意时刻 ，无论是 还是 都含有随时间演化但这几个态函数间的迭加关系仍不会改变，即 时有 所以，在掌握了 ， 怎样随时间演化后，从初始时刻的静态迭加关系确定了常系数 ，就可以用动态关系了解任意 时刻 的演化行为。 在物理学中，描述系统状态怎样随时间演化的微分方程就是作为各个物理学分支的基本定律的运动方程。如在质点力学中，牛顿第二定律描述质点的 和 怎样随时间演化；在电磁学中，麦克斯韦方程描写 和 怎样随时间演化。这些基本的运动方程，都采用线性微分方程的形式。 依次类推，现在的态迭加原理告诉我们，量子力学中的基本运动方程，必定是态函数 所满足的线性微分方程，即下面将要建立的薛定谔方程。 因要建立的描写波函数随t变化的方程，所以，方程应是含有对t微商的方程，同时应满足两个条件：P25、、、、、、、 先从经典物理学里的平面波波函数改写得来的态函数： 出发。前面，我们希望它能描述具有确定动量 的单粒子自由状态。 对上述波函数，容易验证： （推导过程见P26）记住： ，E相当于一种运标符号，分别叫能量标符，动量标符， 。 这样，得到了两个方程，但还不是所要的方程，因方程中还含有状态量 ，E不符合上述两个条件。 运用自由粒子的非相对论性能动量关系： ，将此式两边同乘以 得： 利用 得： 它就是自由粒子所满足的微分方程，且符合前述两项条件，对非自由粒子，即粒子受到力场的作用，于是有一个势能： 此时： 同样，两边乘以 且利用 得： 所满足的微分方程为： ，这个方程叫薛定谔波动方程，它描述粒子在势场 中状态随时间的变化。 讨论：①波函数必须用复数形式，而不能用实数形式，原因是只有采用复数形式才能建立（非数学上推导）薛定谔方程（P28第一段）虽然它不是数学上推导出来，但反应了微观粒子的运动规律，且在具体情况中由实验证明是正确的。 ②对多粒子体系。 以 表述N( )个粒子的坐标。则体系的状态波函数 以 代表每个粒子的动量， 代表各个粒子的质量。设体系的势能为 则， 同理可得：多粒子体系的薛定谔方程为： ③量子力学中的因果规律与经典物理中有根本差别。 如质点力学中，从基本运动方程，即牛顿第二定律出发，原则上可一解出在一定的外界影响下，质点的 是怎样随t变化，这是一种因果性规律（决定论的因果律）当在某一时刻观察到质点的 时，可以据此规律预测下一时刻或追溯到上一时刻的 是怎样的？于是，在经典力学中，可以给出质点的轨道。 但在量子力学中，按太迭加原理，基本的运动方程是为 函数而设立的（前述为满足线性迭加而建立的方程）而且 只是概率幅，而不是物理量，即量子力学中，按运动方程只能解出 函数即概率幅随时间的演化。所以，无法期望量子力学中能象 那样的物理量的决定性的因果关系描述。量子力学反映了微观现象的本质上的统计决定性。这种理论不是没有决定性，只是没有对于个别条件或说具体物理量的决定性。 所以，量子力学中不是没有因果规律，只是没有适用于具体物理量的轨道描述式的因果律，它存在者的是概率幅 的 基本因果规律。 所以，在量子力学中，如果有人问，现在在坐标x处观察到的粒子刚才处在什么位置上，过会又到哪里去？只能说，量子力学不回答此问，因为此问题不恰当。 1​ 前述 满足自由粒子（ ）的薛定谔方程，所以，平面波态函数确实是描述一种自由运动的单粒子的状态。 例：一种各向同性球面波态函数的表达式是： 试证明它是自由粒子的薛定谔方程的解。 证：在球面坐标系中 现 只含变量r，不含 ，所以，不考虑上式右边后两项设 则， 代入自由粒子的薛定谔方程，设： 这方程与一维情况下的自由粒子的薛定谔方程的形式完全相同，所以， 具有一维情况下形式一样的解，即：