3-2洛毕达法则~

nullnull第二节洛必达法则 函数之商的极限导数之商的极限 转化本节研究:洛必达法则一、一、定理 1.型未定式(洛必达法则) 证:证:(  在 x , a 之间)无妨假设在指出的邻域内任取则在以 x, a 为端点的区间上满足柯故定理条件: 西定理条件,3)说明1.说明1.定理 1 中换为之一,说明 2.若理1条件, 则条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.洛必达法则例1. 求例1. 求解:原式注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !例2. 求例2. 求解:原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ?二、二、型未定式存在 (或为∞)定理 2.(洛必达法则)例3. 求例3. 求解:原式例4. 求解: (1) n 为正整数的情形.原式例4. 求例4. 求(2) n 不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数 k , 使当 x > 1 时,说明:说明:1) 例3 , 例4 明时,后者比前者趋于更快 .2) 若2) 若例如,极限不存在 设是未定式极限 , 如果不存在 , 是否的极限也不存在 ?极限null例如,而用洛必达法则3) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 三、其他未定式:三、其他未定式:解决方法:通分下放取对数例5. 求解: 原式例6. 求例6. 求解: 原式通分下放取对数例7. 求例7. 求解: 通分取倒数取对数null为简化计算应注意：1、注意化简、整理，特别是常数分离2、乘积因式注意无穷小代换例8. 求例8. 求解:注意到～原式3.3.解:原式4. 求4. 求则解: 令原式变量替换null求下列极限 :解:原式 =null解:原式 =null第三节泰勒 ( Taylor )公式 ---------用多项式近似表示函数一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立特点:以直代曲在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?x 的一次多项式1. 求 n 次近似多项式1. 求 n 次近似多项式要求:故前提：f (x)具有n+1阶导泰勒中值定理 :泰勒中值定理 :公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .阶的导数 ,时, 有①其中②则当在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .注意到③④在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .则有二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中null其中泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近null泰勒多项式逼近null类似可得其中null其中null已知其中类似可得null三. 利用泰勒公式求极限三. 利用泰勒公式求极限各项中次数最高者就是各函数展开式的截止项次数在加减中用等价无穷小要注意阶的合适null例2. 求解:由于null例3：计算解:原式例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过已知解:令 x = 1 , 得由于欲使由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此的麦克劳林公式为说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .