Lesson03

2.2 晶体衍射和倒易点阵12 2.2.2.3 衍射条件 －弹性散射中，光子能量不变 'k r k r k rΔ 'ωω hh = ckck === ωω '' kk =' 22' kk = Gk rr =Δ衍射条件 'kGk rrr =+ 'kkk rr =Δ+ ( ) 22 kGk =+ rr 02 2 =+⋅ GGk rr周期性点阵中弹性散射理论的最主要结果 2.2 晶体衍射和倒易点阵13 2.2.2.3 衍射条件 －布喇格定律的另一种推导 02 2 =+⋅ GGk rr －G是个倒易点阵矢量，那 么-G也是一个倒易点阵矢量 22 GGk =⋅ r r GG rr −→ －可以证明：与方向 G=hA+kB+lC垂直的诸平 行点阵平面间的面间距是 ( ) G hkld rπ2= ( ) ( )hkld/2sin/22 πθλπ = 'k r k r k rΔ G r ϕcos θsin －定义G的hkl可以含 有一个公因子n ( ) λθ nhkld =sin2布喇格定律 2.2 晶体衍射和倒易点阵14 2.2.3 布里渊区 布里渊区定义为倒易点阵中的维格纳－赛茨晶胞 -2/a -1/a 0 1/a 2/a 一维 二维 三维 布里渊区边界方程 Gk rr 2 1− G r G r 2 1 k r 22 GGk =⋅ rr 2 2 1 2 1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ GGk rr 2.2 晶体衍射和倒易点阵15 －布里渊区的特点 z 每个布里渊区只包含一个倒阵点 z 每个布里渊区都具有相同的体积 z 布里渊区的体积应等于倒易点阵初基晶胞的体积 －第一布里渊区 －在倒易点阵的中央晶胞称为第一布里渊区。 －作由原点出发的诸倒易点阵矢量的垂直平分面，为这些平面所 完全封闭的最小体积就是第一布里渊区。 2.2.3 布里渊区 2.2 晶体衍射和倒易点阵16 2.2.4 倒易点阵的范例 简单立方点阵的倒易点阵 xˆ yˆ zˆ zac yab xaa ˆ ˆ ˆ = = = r r r 3acba =×⋅=Ω rrr z a baC y a acB x a cbA ˆ22 ˆ22 ˆ22 ππ ππ ππ =Ω ×= =Ω ×= =Ω ×= rrr rrr rrr－仍是一个简立方点 阵，点阵常数为2π/a －第一布里渊区是个以 原点为体心，边长为 2π/a的立方体。 xˆ yˆ zˆ a π2 a π2 a π2 2.2 晶体衍射和倒易点阵17 2.2.4 倒易点阵的范例 体心立方点阵的倒易点阵 zˆ xˆ yˆ ar b r cr ( ) ( ) ( )zyxac zyxab zyxaa ˆˆˆ 2 1 ˆˆˆ 2 1 ˆˆˆ 2 1 +−= ++−= −+= r r r 3 2 1 acba =×⋅=Ω rrr 2.2 晶体衍射和倒易点阵18 zˆ xˆ yˆ ( ) ( ) ( )zx a C zy a B yx a A ˆˆ2 ˆˆ2 ˆˆ2 += += += π π π r r r －倒易点阵是个面心立方点阵 －第一布里渊区是个正菱形十二面体 体心立方点阵的倒易点阵 xˆ yˆ zˆ A r B r C r 2.2.4 倒易点阵的范例 2.2 晶体衍射和倒易点阵19 2.2.4 倒易点阵的范例 面心立方点阵的倒易点阵 xˆ yˆ zˆ ar b r cr ( ) ( ) ( )zxac zyab yxaa ˆˆ 2 ˆˆ 2 ˆˆ 2 += += += r r r 3 4 1 acba =×⋅=Ω rrr 2.2 晶体衍射和倒易点阵20 ( ) ( ) ( )zyx a C zyx a B zyx a A ˆˆˆ2 ˆˆˆ2 ˆˆˆ2 +−= ++−= −+= π π π r r r 2.2.4 倒易点阵的范例 面心立方点阵的倒易点阵 zˆ xˆ yˆ A r B r C r －倒易点阵是个体心立方点阵 －第一布里渊区是截角八面体 Γ: (0,0,0)布里渊区中心 L: (1/2,1/2,1/2)布里渊区边与 <111>轴的交点 X: (1,0,0)布里渊区边与<100>轴的 交点 K: (3/4,3/4,0)布里渊区边与<110> 轴的交点 第二章固体物理导论 2.1 晶体结构 2.2 晶体衍射和倒易点阵 2.3 自由电子费米气体 2.4 能带 2.5 半导体晶体 2.3 自由电子费米气体1 一个给出了这样一些结果的理论，肯定包含很多真理。 －－H. A. Lorentz 自由电子模型认为：组成晶体的原子中束缚得最弱的电子在金 属体内自由运动。原子的价电子成为传导电子。在自由电子近 似中略去传导电子和离子实之间的力；在进行所有计算时，仿 佛传导电子在样品中可以各处自由运动。总能量全部是动能， 势能被略去。 自由电子费米气体是指自由的、无相互作用的、遵从泡利不相 容原理的电子气。 2.3 自由电子费米气体2 2.3.1 一维情况下的能级和轨道密度 －引用量子理论和泡利原理，研究一维情况下的自由电子气。 能级 波函数 L 3 2=λ L=λ L2=λ 1 2 3 L0 x 量 子 数 ， n 1 4 9 能 量 ， 单 位 ： 2 2 2 1 2 ⎠⎞ ⎜ ⎝⎛ L m h －质量为m的电子被无限高势垒限 制在长度为L的直线上 －引入薛定谔方程 －电子的波函数 是方程的解 －略去 中的势能 －p是动量算子 εψψ =Hˆ )(xnψ Hˆ 2 222 22 ˆ dx d mm pH h−== dx dip h−= 2.3 自由电子费米气体3 2.3.1 一维情况下的能级和轨道密度 2 222 22 ˆ dx d mm pH h−== )( 2 )(ˆ 2 22 x dx d m xH nnnn ψεψψ =−= h －εn称为电子在这个轨道中的能量 －轨道这个词用来示单电子系 统波动方程的解 －如果波函数是正弦形式，当0－ L间的长度是半波长的整数倍n 时，边界条件得到满足 边界条件 0)( 0)0( = = Ln n ψ ψ 解 n n n nL xAx λ λ πψ 2 1 2sin)( = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= （A是常数） 2.3 自由电子费米气体4 2.3.1 一维情况下的能级和轨道密度 能级 波函数 L 3 2=λ L=λ L2=λ 1 2 3 L0 x 量 子 数 ， n 1 4 9 能 量 ， 单 位 ： 2 2 2 1 2 ⎠⎞ ⎜ ⎝⎛ L m h n n n nL xAx λ λ πψ 2 1 2sin)( = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= （A是常数） )( 2 )(ˆ 2 22 x dx d m xH nnnn ψεψψ =−= h 22 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= L n mn πε h 2.3 自由电子费米气体5 2.3.1 一维情况下的能级和轨道密度 －如何把N个电子放在这条L长的直线上？ －泡利不相容原理指出两个电子的量子数组不能 彼此全同，即，每个轨道最多只能被一个电子占 据 －在线形固体中，传导电子轨道的量子数是n和 ms，n是任何正整数，ms是自旋取向值（1/2，- 1/2） －以量子数n标记的一对轨道可以容纳两个电子， 一个自旋向上，一个自旋向下，但他们的能量是 相同的。 －相同能量的轨道可以不止一个。具有相同能量 的轨道的数目称为简并度。 n ms 电子占据数 1 ↑ 1 1 ↓ 1 2 ↑ 1 2 ↓ 1 3 ↑ 1 3 ↓ 1 4 ↑ 0 4 ↓ 0 把6个电子放在L线上 2.3 自由电子费米气体6 2.3.1 一维情况下的能级和轨道密度 －N个电子放在这条L长的直线上，电子先从底层低能级轨道填充开始，填满低 能级轨道后，再逐渐向高能级轨道填充，直至N个电子都找到了轨道 －求解最高填充轨道的能级量子数nF －费米能εF定义：基态下最高被充满能级的能量 NnF =2 2 NnF = 22 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= L n mn πε h 22 22 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= L N mF πε h L N 电子密度 倒易点阵中的矢量 具有[长度]-1的量纲 2.3 自由电子费米气体7 2.3.2 温度对费米－狄喇克分布的影响 －基态：系统处在绝对零度的状态 －温度升高后，电子气的动能增加，某些在基态时本来空着的能 级被占据，而某些基态时被占据着的能级空了出来 －费米－狄喇克分布函数给出了理想电子气处于热平衡时能量为 ε的轨道被电子占据的几率： 1 1)( + = − kTe f μεε －μ的选择原则：总能正确计算出系统中粒子的总数，即等于N )(Tμμ = 化学势 2.3 自由电子费米气体8 2.3.2 温度对费米－狄喇克分布的影响 －在T=0K时， μ以上占据几率为零，以 下占据几率为1，是一个突变，所以μ=εF 1)(,0)0,0( 0)(,)0,0( →→→−= →+∞→→−= − − − + εμε εμε με με feKT feKT kT kT f(ε) ε μ T=0 1 1 1)( + = − kTe f μεε－费米能εF定义：基态下最高被充满能级的能量 －在一切温度下，当ε=μ时，f(ε)=1/2 －在F－D分布的高能尾部相应于ε－μ>>kT， F－D分布简化成玻尔兹曼分布 kTef με ε −−≅)( 2.3 自由电子费米气体9 2.3.3 三维情况下的自由电子气 L e －三维情况下自由粒子的描述遵守薛定谔方程 )()( 2 2 2 2 2 2 22 rr zyxm kkk rrh rrr ψεψ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂− －考虑在边长L立方体中的电子状态 －要求波函数是x，y，z的周期函数，周期为L )exp()( rkirk rrr r ⋅=ψ L n LL kkk zyx πππ 2;...;4;2;0,, ±±±= ( )[ ] ( )[ ] ( )xikLLxniLxik xx exp/2expexp =+=+ π －k的分量是这个问的量子数；此外，还要考虑自旋方向的量 子数ms。 2.3 自由电子费米气体10 2.3.3 三维情况下的自由电子气 )()( 2 2 2 2 2 2 22 rr zyxm kkk rrh rrr ψεψ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂− ( )[ ]zkykxkirkir zyxk ++=⋅= exp)exp()( rrrrψ ( )222222 22 zyxk kkk m k m ++== hhrε L e λ π2=k ∇−= hr ip)()()( rkrirp kkk r r hrhrr vvv ψψψ =∇−= mkv / r hr = 色散关系：ε-k 轨道k中粒子的速度