波动方程的推导

有杆泵工况计算机综合诊断技术研究 2诊断技术的理论基础 抽油井计算机诊断是根据实测光杆载荷和位移，利用数学方法借助于 计算机来求得各级抽油杆柱截面和泵上的载荷及位移，从而绘出井下示功 图，并根据它们来判断和分析全套抽油设备的工作状况.其中包括:计算 抽油杆顶部断面上的应力，估算泵口压力;判断油井潜力;计算活塞和泵 效;检验泵及油管锚的机械状况:以及计算和绘制扭矩曲线，并进行平衡 和功率计算与分析。 诊断技术是把抽油杆柱作为一根井下动态的导线，其下端的泵作为发 射器，上端的动力仪作为接收器，井下泵的工作状况以应力波的形式沿抽 油杆柱以声波速度传到地面.把地面的资料经过数学处理，就可定量 地推断泵的工作情况。归根到底，诊断技术的依据是一个应力波的传播问 。应力波在抽油杆柱中传播过程可用带阻尼的波动方程[2n来模拟: -2己，尸_62y._alu 忆名 一--弋尸 一 .--:一，尸‘— & I 〕‘ at (1) 2.，波动方程的建立 抽油杆柱的动力学模型可视为有阻力的弹性杆的纵向振动问题。在抽 油杆上的某一点x处取一微单元dx，如图2.1所示。 、 ， ? ? ??，??、??? ? ，·au XTat口个“a'N 杏 pAgdx F(x十dx, t) 图2.1示抽由杆莱徽单元dx的受力分析 在该单元上作用的载荷有: 弹性载荷:F(x, t)。F(x*dx, t) 有杆泵工况计算机综合诊断技术研究 惯性载荷: 阻力载荷: 一，a2 P2at 一，c警dx 单元自重:pAgdx，该项为静力项，不影响方程的结构，因而可在方程 中不予考虑，只须在方程的解中加入重力项即可。 从而可列出单元的运动微分方程式: OF__Ja2a._enap — = 召刀立-~;，一宁 沼通，七 — ax ’ a`t ‘ at (2) F=EA ap ax (3) 将 ((3)式代入 (2)式，令少=EPE可“““方“ a2,U I CLUat (4) 若令亚= u(x,t)，并对(3)式两端对t求偏导，则有 ax 日F au 二-=PA二于十户祖V t乃一 or (5) =EA au ax 这是波动方程的另一种表达方式。根据一定的边界条件，便可求得偏 微分方程 (4)或偏微分方程组 (5)的解。对于多级杆而言，只须考虑在 两级杆的交接处的位移I' (x, t)(或速度。(x, t) )，及载荷F (x, 1)的连 续性即可。对于不同的边界，形成了求解抽油杆柱动力响应的不同的模 有杆泵工况计算机综合诊断技术研究 型: (1)诊断模型:己知光杆位移u (0, t)，光杆载荷 F (0, t)，求解 u (x, t), F(x, t)。这是油井故障诊断的基础。 <2)预测模型:己知光杆位移t< (0, t)及泵处载荷 凡随泵处位移jin 的变化规律 F, ( P,)，求解N(x,t)及 F(x, t)，这是抽油机井设计的基 础。 求解波动方程有许多种数值解法，这里只讨论位移差分解法、速度差 分解法及分离变量法。在采用差分解法时，为了保证同一单元内的物理及 几何性质一致，采用了在各级杆之间，沿x方向的步长不同的变步长差分 格式。而且要保证差分解的稳定收敛，选择的 △x,△t要满足收敛条件， 即:在诊断模型中要求竺 < 1，而在预测模型中要求竺 1。 adt aAt 2.2位移差分法 *七二‘A\* . a2a alk ad。二决，二二，-414.141 -*k 乍石尸J月J二、，， 7 ， IN丁万一干，花 不-，~二一月〕 I' XL4t.夕Jlr,yWLl. I% 'I %,〔习: 血 , at- at 日2 a2 日x I+子i 一(alt ) 、ax-;-告"i 召。+1，j一2,U;,i+u;-),j 八x (6) ax △x 七..... ...叫口...， 月.....白....月.....月口.卜.叫网口一 ......白， 月.. ‘ 2 i.1= Aj+l一2Aj +U4 左2 (apt):- ’at -? ft;,i+I一u,,; At 可得到如下的用位移表示的波动方程诊断模型的差分格式: 产i*,.j ，公 、， _ =(— j一l(i+c 0'or ·At)u;.;.、一(2 + c - er)u;.j + u,.j-, l + 2u;.,一u;，j (9)