高数总结

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;一 . 函数的概念 1．用变上、下限积分示的函数 （ 1） y = f (t)dt x 0 ϕ (2x ) （ 2）y = ϕ 1 x) ( ，其中 f (t 连续，则) 考研数学知识点-高等数学 公式 1． lim x0 = f (x) 公 式 2 ． lim⎜1+ ⎟ = e ； lim⎜1+ ⎟ = e ； ⎝ 1 lim(1+ v) = e n v v0 n ⎠ u ⎝ u ⎠ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ dy dx sin x x ⎛ = 1 n u f (t)dt ，其中ϕ (x ，) ϕ (x) 1 2 可导，f (t) 连续， 则 dy dx = f [ϕ (x)]ϕ ′ (x) f [ϕ (x)]ϕ ′(x) 2 2 1 1 2．两个无穷小的比较 设 lim f (x) = 0 ， lim g(x) = 0 （ 1） l = 0 ，称 f (x) f (x) = 0[g(x)] 小。 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和 数学二） 2 n 当 x 0 时， e x = 1+ x + x + + x + 0 x n ( ) f (x) g (x) ，且 lim = l 2! 是比 g(x 高阶的无穷小，记以) sin x = x x 3 3! x 2 + x 5 5! x 4 + + (1) + (1) n x n! 2n+1 n (2n +1)! x 2n (2n)! + 0 x ( 2n+1 ) ，称 g(x) 是比 f (x 低阶的无穷) cos x = 1 ( ) + + 0 x 2n 2! 4! （ 2） l 0 ，称 f (x) 与 g(x 是同阶无穷小。) ln(1+ x) = x + + (1) arctan x = x ( + 2 x 3 3 + 3 x 5 5 + (1) x2 + + n+1 x + (0x ) 2 x 3 n+1 x n n （ 3） l = 1 ，称 f (x) f (x) ~ g(x) 3．常见的等价无穷小 当 x 0 时 与 g(x 是等价无穷小，记以) n x 2n+1 1 x) =1+x+ ) sin x ~ x ，tan x ~ x ，arcsin x ~ x ，arctan x ~ x 1 cos x ~ (1 1 2 x ， e 1 ~ x ， ln(1+ x) ~ x 2 x ， ( 1) 2! 2n +1 ( 1)[ (n1)] n! + (0x 2n+1 ) xn + 0 xn ( + x) 1 ~ x 6．洛必达法则 0 法则 1．（ 型）设（1）lim f (x) = 0 0 2 （ ） x 变化过程中， f ′(x) （ 3） lim f ′(x) g′(x) ， g′(x) ，lim g(x) = 0 二．求极限的方法 1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则 准则 1．单调有界数列极限一定存在 （ 1）若 x +1n x n （ n 为正整数）又 x n m （ n 为正 整数），则 lim x n = A 存在，且 A m （ 2）若 x +1n x n（ n 为正整数）又 x n M （ n 为正 整数），则 lim x n = A 存在，且 A M 准则 2．（夹逼定理）设 g(x) f (x) h(x) 若 lim g(x) = A ， lim h(x) = A ，则 lim f (x) = A 3．两个重要公式 n n 皆存在 = A （或 ） 则 lim f (x) g (x) = A （或 ） （注：如果 lim g′(x) f ′(x 不存在且不是无穷大量情形，则) 不能得出 lim g (x) f (x 不存在且不是无穷大量情形）) 法则 2．（ 型）设（1）lim f (x) = （ 2） x 变化过程中， f ′(x) ，lim g(x) = ， g′(x 皆存在) 1 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 （ 3） lim f ′(x) g′(x) = A （或 ） 考研数学知识点-高等数学 值，如果对于区间 a,b 上的任一点 x ，总有 f (x) M ， 在 a,b 上的最大值。同样可以定义最 [ ] 则称 M 为函数 f (x) [ ] 小值 m 。 定理 3．（介值定理）如果函数 f (x) 则 lim f (x) g (x) = A （或 ） 在闭区间 a,b 上 [ ] 7．利用导数定义求极限 基本公式： lim ∆x0 存在] f (x + ∆x) f (x ) ∆x 0 0 连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m ，则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 c ，在[a,b] 得 f () = c 推论：如果函数 f (x) 与 f (b) 异号，则在 (a,b) 上至少存在一个 ，使 = f ′(x ) 0 [如果 8．利用定积分定义求极限 1 n 基本公式 lim n n k =1 f ⎜ ⎟ = f (x)dx 1 0 ⎝ n ⎠ ⎛ k ⎞ [如果存在] 在闭区间 a,b 上连续，且 f (a) [ ] 三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （ 1）第一类间断点 设 x 是函数 y = f (x) 0 的间断点。如果 f (x 在间断点) 内至少存在一个点 ，使得 的第一类间断 0 点。 x 处的左、右极限都存在，则称 x 是 f (x) 0 f () = 0 这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算 1．导数与微分表 ′ (c) = 0 d (c) = 0 (x ) ′ 1 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （ 2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断 点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 (sin x) = cos x ′ (cos x) = sin x (tan x ′) = sec x (cot x ′) = csc x ′ 2 2 = x （ 实常数） (d x ) ′ = x 1 dx（ 实常数） [ ] 性质。这些性质以后都要用到。 四．闭区间上连续函数的性质 在闭区间 a,b 上连续的函数 f (x ，有以下几个基本) 定理 1．（有界定理）如果函数 f (x) 连续，则 f (x) 必在 a,b 上有界。 [ ] d sin x = cos xdx d cos x = sin xdx 2 d tan x = sec xdx 2 d cot x = csc xdx 在闭区间 a,b 上 [ ] (sec x) = sec x tan x d sec x = sec x tan xdx (csc x ′) = csc x cot x d csc x = csc x cot xdx (log a x ′) = d log a x = (ln x ′) = (a ) x ′ 1 x ln a dx x ln a (a > 0, a 1) (a > 0, a 1) d ln x = dx 1 x 定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f (x 在闭) 区间 a,b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和 [ ] 最小值 m 。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下： 定义 设 f (x ) = M 0 是区间 a,b 上某点 x 0 处的函数 [ ] = a ln a (a > 0, a 1) 1 x x da = a ln adx (a > 0, a 1) x x 2 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 考研数学知识点-高等数学 ′(t) 存在，且ϕ′(t) 0 ，则 dx dy dx = ′(t) ϕ ′(t) ( x ′ e ) = e x de x = e dx d arcsin x = x (arcsin x ′) = (arccos x ′) = (arctan x ′) = 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1 x 1 d arccos x = dx 2 1 1 x 2 d arctan x = 1+ x 2 2 dx = = ⋅ = ′′(t)ϕ ′(t) ′(t)ϕ ′′(t) [ϕ′(t)] 3 1 1+ x 2 d y dx 2 ⎡dy ⎤ d ⎢ ⎥ ⎣dx ⎦ dx d ⎢ ⎥ ⎣ dx ⎦ dt (ϕ ′(t) 0) 二阶导数 ⎡dy ⎤ 1 dx dt (arc cot x ′) = [ (ln x + x + a 2 2 1 1+ x 2 ) =] ′ x 2 d ln (x + x + a )= 2 2 [ (ln x + x a 2 2 ) =] ′ darc cot x = 1 + a 2 1 dx + a 1 2 1 1+ x 2 dx 5．反函数求导法则 设 y = f (x) f ′(x) 0 则 的反函数 x = g(y ，两者皆可导，且) x 2 g′(y) = 1 f ′(x) f ′[g(y)] d ⎡ ⎢ = 1 d ln (x + x a )= 2．四则运算法则 2 2 x 2 a 1 2 x a 2 dx 二阶导数 g′′(y) = 2 d[g′(y)] dy 1 = ⎣ f ′(x ⎦ ⋅) 1 dx dy dx ( f ′(x) 0) ⎤ ⎥ [ f (x) ± g(x ′)] = f ′(x) ± g′(x) [ f (x)⋅ g(x ′)] = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) ′ ⎡ f (x)⎤ f ′(x)g(x) f (x)g′(x) = 2 ⎣⎢g (x ⎦⎥) g (x) 3．复合函数运算法则 (g(x) 0) 设 y = f (u) ，u = ϕ(x) ，如果ϕ(x) x 在 处可导，f (u) f ′′(x) [ f ′(x)] 3 = f ′′[g(y)] {f ′[g(y)]} 3 = ( f ′(x) 0) 6．隐函数运算法则 设 y = y(x) 法如下： 是由方程 F(x, y) = 0 所确定，求 y′ 的方 把 F(x, y) = 0 两边的各项对 x 求导，把 y 看作中间变 在对应点 u 处可导，则复合函数 y = f [ϕ(x)] x 且有 在 处可导， dy dx = dy du du dx = f ′[ϕ(x)]ϕ ′(x) 对应地 dy = f ′(u)du = f ′[ϕ(x)]ϕ′(x)dx 由于公式 dy = f ′(u)du 不管 u 是自变量或中间变量 都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4．由参数方程确定函数的运算法则 设 x = ϕ(t) ，y =(t) 确定函数 y = y(x) ，其中ϕ′(t ，) 量，用复合函数求导公式计算，然后再解出 y′ 的表达式（允 许出现 y 变量） 7．对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导 方法得出导数 y′ 。 对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数 ②多个函数连乘除或开方求导数 关 于 幂 指 函 数 y = [ f (x)] g (x) 常 用 的 一 种 方 法 3 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 考研数学知识点-高等数学 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 （ 1）在闭区间 a,b 上连续； [ ] y = e g (x)ln f (x) 8．可微与可导的关系 f (x) x0 （ 2）在开区间 (a,b 内可导；) 则存在 (a,b) f (b) f (a) b a ，使得 在 处可微 ⇔ f (x) x 0 处可导。。� (n) 9．求 n 阶导数（ n 2 ，正整数） 先求出 y′, y′′, , 总结出规律性，然后写出 y ，最后 用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式 （ 1） y = e x y (n) = e x = f ′() 或写成 f (b) f (a) = f ′()(b a) (a < < b) 有时也写成 f (x + ∆x) f (x ) = f ′(x +∆x)⋅ ∆x 0 0 0 < < 1) 这里 x 0 相当 a 或 b 都可以， ∆x 可正可负。 推论 1．若 f (x) ( ) 在 a,b 内可导，且 f ′(x) 0 （ 2） y = a (a > 0, a 1) （ 3） y = sin x x y (n) y (n) = a (ln a) = sin⎜ x + ⎛ ⎝ x n (0 n ⎞ 2 ⎟ ⎠ ，则 f (x) （ 4） y = cos x y (n) = cos⎜ x + ⎛ ⎝ n ⎞ ⎟ 2 ⎠ (5) y = ln x y (n) = (1) (n 1)!x n1 n 在 (a,b 内为常数。) 推 论 2 ． 若 f (x) f ′(x) g′(x) 一个常数。 ， g(x) 在 (a,b) 内 皆 可 导 ， 且 两个函数乘积的 n 阶导数有莱布尼兹公式 [u(x)v(x)] = C u (x)v (n) k =0 k n (k ) Cn k = n! k (!n k)! n (nk ) (x) (x) = u(x) ，则在 (a,b 内) f (x) = g(x) + c ，其中 c 为 三．柯西中值定理（数学四不要） 设函数 f (x) 和 g(x) 满足： ， u ( ， 其 中 0 ) （ 1）在闭区间[a,b]上皆连续； （ 2）在开区间 (a,b) 内皆可导；且 g′(x) 0 则存在 (a,b) 使得 v( 0 )(x) = v(x) 假设 u(x 和) v(x) 都是 n 阶可导。 微分中值定理 一．罗尔定理 设函数 f (x 满足) （ 1）在闭区间 a,b 上连续； （ 2）在开区间 (a,b 内可导；) （ 3） f (a) = f (b) 则存在 (a,b) ，使得 f ′() = 0 二．拉格朗日中值定理 设函数 f (x 满足) [ ] f (b) f (a) f ′() = g (b) g(a) g′() (a < < b) 设 f (x) x （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特 殊情形 g(x) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定 理。） 四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二） 定理 1．（皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式） 0 处有 n 阶导数，则有公式式� f (x) = f ( 0x )+ f ′(x ) 1! 0 (x x )+ 0 (x x ) + + 2 0 (x x ) + R (x) n 0 n f ′′(x ) 2! 0 f (x ) (n) 0 n! 4 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 (x x ) 0 其中 R (x) = 0[( n 余项。 ⎛ ⎜ ⎜ xx R (x) (x x ) n 0 lim 0 考研数学知识点-高等数学 的一个极小值，称 x 为函数 f (x 的一个极小值点。) 0 (x x ) 称为皮亚诺 0 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值 点统称极值点。 2．必要条件（可导情形） 设函数 f (x) 在 x 处可导，且 x 为 f (x) 0 0 点，则 f ′(x ) = 0 0 。 x x ) ] n 0 = 0 n ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 的一个极值 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不 同 情 形 取 适 当 的 n ， 所 以 对 常 用 的 初 等 函 数 如 e ,sin x,cos x,ln(1+ x 和) (1+ x) 阶泰勒公式都要熟记。 定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式） x （ 为实常数）等的 n 设 f (x) 在包含 x 的区间(a,b) 0 [a,b] 内有 n +1阶导数，在 我们称 x 满足 f ′(x ) = 0 0 的 x 为 f (x) 0 的驻点可导函 上有 n 阶连续导数，则对 x [a,b ，有公式] 数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点 中进一步去判断。 3．第一充分条件 设 f (x) f ′(x ) 0 在 x 0 处连续，在 0 < x x 0 < 内可导， f (x) = f ( 0x )+ f ′(x ) 1! 0 (x x )+ 0 f (n+1) (x x ) + + 2 0 (x x ) + R (x) n 0 n f ′′(x ) 2! 0 f (x ) (n) 0 n! 其中 R (x) = n ( ) (x x ) 0 n+1 (n +1)! ，（ 在 x 0 与 x 之 不存在，或 f ′(x ) = 0 0 。 1° 如果在(x , x ) 0 0 f ′(x) > 0 f ′(x) < 0 内的任一点 x 处，有 间） x0 称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以 x 0 为中心的 n 阶泰勒公式。当 = 0 时，也称为 n 阶麦克劳林公式。 如果 lim R n(x) = 0 ，那么泰勒公式就转化为泰勒级 n ，而在 ( 0x , x 0 + ) ，则 f (x ) 0 内的任一点 x 处，有 为极大值， x 0 为极大值点； 2° 如果在(x , x ) 0 0 f ′(x) < 0 f ′(x) > 0 内的任一点 x 处，有 ，而在 (x , x + ) 0 0 ，则 f (x ) 0 内的任一点 x 处，有 数，这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用： 一．基本知识 1．定义 设函数 f (x) ( ) 为极小值， x 0 为极小值点； 3° 如果在(x , x ) 0 0 x 处， f ′(x) 极值点。 内与 ( 0x , x 0 + ) 内的任一点 在 a,b 内有定义， x 是(a,b 内的某一) 点，则 如果点 x 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点 0 0 x (x x 0 ) ，总有 f (x) < f (x ) 0 ，则称 f (x ) 0 为函数 f (x) 的符号相同，那么 f (x ) 0 不是极值， x 0 不是 4．第二充分条件 设函数 f (x) f ′′(x ) 0 ，则 0 在 x 处有二阶导数，且 f ′(x ) = 0 ， 0 0 的一个极大值，称 x 为函数 f (x 的一个极大值点；) 如果点 x 0 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点 0 x (x x 0 ) ，总有 f (x) > f (x ) 0 ，则称 f (x ) 0 为函数 f (x) 当 f ′′(x ) < 0 0 当 f ′′(x ) > 0 0 时， f (x ) 0 时， f (x ) 0 为极大值， x 0 为极大值点。 为极小值， x 0 为极小值点。 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 5 考研数学知识点-高等数学 在 a,b 上的最大值和最小值的方法 首先，求出 f (x) ( ) 在 a,b 内所有驻点和不可导点 x , x ，其次计算 f (x ), , f (x ), f (a), f (b) 最后，比较 f (x ), , f (x ), f (a), f (b ，) 1, k 1 k 1 k 。 二．函数的最大值和最小值 1．求函数 f (x) [ ] 在 a,b 上的最大值 M ；其中最 在 a,b 上的最小值 m 。 小者就是 f (x) [ ] 2．最大（小）值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间， 然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 三．凹凸性与拐点 1．凹凸的定义 设 f (x) 在区间 I 上连续，若对任意不同的两点 x 1, x 2 ， 其中最大者就是 f (x) [ ] y = f (x 在) (a,b 内是凸的。) 求曲线 y = f (x 的拐点的方法步骤是：) 第一步：求出二阶导数 f ′′(x ；) 第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的 点 x 1、 x 2 、、 x k ； 第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数 的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标。 四．渐近线的求法 1．垂直渐近线 若 lim f (x) = xa + 或 lim f (x) = xa 则 x = a 为曲线 y = f (x) 2．水平渐近线 若 lim f (x) = b x+ 的一条垂直渐近线。 ，或 lim f (x) = b x 恒有 f ⎜ ⎝ ⎛ x 1 + x 2 ⎞ 1 ⎟ > [ f (x )+ f (x )]⎜ f ⎜ ⎠ 2 1 2 ⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ x + x ⎞ 1 1 2 2 2 ⎟ < [ f ( 1x )+ f (x 2 ) ⎟]⎟ ⎠ 2 ⎠ ⎞ 则 y = b 是曲线 y = f (x 的一条水平渐近线。) 3．斜渐近线 若 lim x+ 或 lim x f (x) x f (x) x = a 0 ， lim[ f (x) ax] = b x+ = a 0 ， lim[ f (x) ax] = b x 在 上是凸（凹）的。 在几何上，曲线 y = f (x 上任意两点的割线在曲线下) （上）面，则 y = f (x 是凸（凹）的。) 如果曲线 y = f (x 有切线的话，每一点的切线都在曲) 线之上（下）则 y = f (x 是凸（凹）的。) 2．拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3．凹凸性的判别和拐点的求法 在 a,b 内具有二阶导数 f ′′(x ，) 如果在 (a,b) 内的每一点 x ，恒有 f ′′(x) > 0 ，则曲线 y = f (x 在) (a,b 内是凹的；) 如果在 (a,b) 内的每一点 x ，恒有 f ′′(x) < 0 ，则曲线 设函数 f (x) ( ) 则称 f (x) I 则 y = ax + b 是曲线 y = f (x 的一条斜渐近线。) 五．曲率（数学一和数学二） 设 曲 线 y = f (x) y′′ [1 + y ( ′) ] 2 3 2 ， 它 在 点 M(x, y) 1 处 的 曲 率 k = ，若 k 0 ，则称 R = 为点 M(x, y) k 处 的曲率半径，在 M 点的法线上，凹向这一边取一点 D ， 使 MD = R ，则称 D 为曲率中心，以 D 为圆心， R 为半 径的圆周称为曲率圆。 不定积分 一．基本积分公式 1． x dx = x +1 +1 + C ( 1，实常数 ) 6 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 x 1 2． dx = ln x + C 考研数学知识点-高等数学 是非常熟练地凑出微分。 常用的几种凑微分形式： (a > 0, a 1) （ 1） f (ax + b)dx = a f (ax + b)d(ax + b) (a 0) （ 2） f (ax + b )x dx = na (a 0, n 0) dx n n1 1 f (ax + b ) (d a x + b) n n 1 3． a dx = x e dx = e + C 4． cos xdx = sin x + C 5． sin xdx = cos x + C x 6． sec xdx = 2 7． csc xdx = 2 1 2 cos x 1 2 sin x dx = tan x + C 1 ln a x a x + C （ 3） f (ln x) = f (ln x)d(ln x) （ 4） f ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ x ( x ) （ 5） f x 1 dx ⎛ ⎞ 2 = f ⎜ ⎟d⎜ ⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ = 2 f ( x d ) ( x dx = cot x + C 8． tan x sec xdx = sec x + C 9． cot x csc xdx = csc x + C 10． tan xdx = ln cos x + C 11． cot xdx = ln sin x + C 12． sec xdx = ln sec x + tan x + C 13． csc xdx = ln csc x cot x + C 14． = arcsin 1 x a x a + C 2 （ 6） f (a )a dx = (a > 0, a 1) x dx x x 1 ln a ) f a d a x ( ) ( x ) 15． a 16． dx 2 a x dx 2 2 (a > 0) (a > 0) (a > 0) a x 2 + x dx = arctan a = 1 2a ln + C f (e )e dx = f (e ) (d e ) （ 7） f (sin x)cos xdx = f (sin x)d(sin x) （ 8） f (cos x)sin xdx = f (cos x)d(cos x) 2 （ ） f (tan x)sec xdx = f (tan x)d(tan x) 2 （10） f (cot x)csc xdx = f (cot x)d(cot x) （11） f (sec x)sec x tan xdx = f (sec x)d(sec x) （12） f (csc x)csc x cot xdx = f (csc x)d(csc x) x x x x 9 （13） f (arcsin x) 1 x f (arccos x) 1 x f (arctan x) 1+ x f (arc cot x) 2 2 2 dx = f (arccos x)d(arccos x) dx = f (arctan x)d(arctan x) dx = f (arc cot x)d(arc cot x) 1+ x 2 dx = f (arcsin x)d(arcsin x) + C 2 a + x a x 17． dx 2 x ± a = ln x + x ± a + C 2 2 (a > 0) 2 设 f (u)du = F(u) + C f [ϕ(x)]ϕ ′(x)dx = f [ϕ(x)]dϕ(x) = F(u) + C = F[ϕ(x)]+ C ，又ϕ(x 可导，则) 令u = ϕ(x) （14） f (u)du （15） （16） 二．换元积分法和分部积分法 1．第一换元积分法（凑微分法） 这里要求读者对常用的微分公式要"倒背如流"，也就 7 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 考研数学知识点-高等数学 ( A)[ l (x x ) ]然后再作下列三种三角替换之一： 2 2 0 根式的形式 所作替换 三角形示意图（求反函数 用） f ⎜arctan 1+ x 2 （17） （ ⎛ ⎝ 1 ⎞ ⎟ x ⎠ ⎛ dx = f ⎜arctan 18 ⎝ 1 ⎞ ⎛ ⎟d⎜arctan x ⎠ ⎝ f ln x + x + a 2 + a x 2 2 [ ( (a > 0) 2 )] [ ( )] ( ( )) dx = f ln x + x + a d ln x + x + a 2 2 2 1 ⎞ ⎟ x ⎠ ） 2 a 2 x 2 x = a sin t （ f ln x + x a 2 x 2 a 2 19 [ ( (a > 0) 2 )] dx = f ln x + x a d ln x + x a 2 2 2 [ ( )] ( ( ） 2 a 2 + x 2 x = a tan t )) x 2 a 2 x = a sect （20） f ′(x) f (x) dx = ln f (x) + C ( f (x) 0) 3．分部积分法 设 u(x) ， v(x 均有连续的导数，则) u (x)dv(x) = u(x)v(x) v(x)du(x) 或 u(x)v′(x)dx = u(x)v(x) u′(x)v(x)dx 使用分部积分法时被积函数中谁看作 u(x) 2．第二换元积分法 设 x = ϕ(t) 可 导 ， 且 ϕ′(t) 0 f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt = G(t) + C ， 则 f (x)dx 令x = ϕ(t) ， 若 f [ϕ(t)]ϕ ′(t)dt = G(t) + C = G[ ( )] 谁看作 ϕ x + C 1 v′(x 有一定规律。) ax （ 1） P n(x)e P (x) n n 其中 t = ϕ (x) 1 为 x = ϕ(t 的反函数。) 第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过 换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是 x 与 n ax + b 或 x 与 n ax + b cx + d ， P (x)sin ax ， P (x)cos ax n n 情形， 每次均取 e ， sin ax ， cos ax 为 v′(x ；多项式部分为) u (x 。) （ 2） P n(x)ln x 形， P (x) n ， P (x)arcsin x ， P (x)arctan x n n 情 为 次多项式， a 为常数，要进行 n 次分部积分法， ax 或 由 e 构成的代数式的根式，例如 ae + b 等。 x x 只要令根式 g(x) = t n ，解出 x = ϕ(t 已经不再有根) ，而 ln x ， 式，那么就作这种变量替换 x = ϕ(t 即可。) 2 第二类：被积函数含有 Ax + Bx + C 为 n 次多项式取 P (x) 为 v′(x) n (A 0 ，) arcsin x ， arctan x 为 u(x ，用分部积分法一次，被积函) 数的形式发生变化，再考虑其它方法。 （ 3）e sin bx ，e cosbx 情形，进行二次分部积分 法后要移项，合并。 （ 4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 ax ax 如果仍令 Ax + Bx + C = t 解出 x = ϕ(t 仍是根号，那) 么这样变量替换不行，要作特殊处理，将 A > 0 时先化为 2 A ([x x ) ± l ] 2 2 0 ， A < 0 时 ， 先 化 为 8 分法，使尽量多的因子和 dx 凑成 一．定积分的概念与性质 1．定积分的性质 a b （ 1） f (x)dx = f (x)dx a （ 2） f (x)dx = 0 a b a （ 3 [k f (x) + k f (x)]dx = k b a 1 2 2 1 b a 考研数学知识点-高等数学 x [a,b 称为变上限积分的函数] 定理：（1）若 f (x) [ ] 在 a,b 上可积，则 F(x) = f (t)dt x a 在 a,b 上连续 [ ] （ 2）若 f (x) [ 在 a,b] [a,b] 上连续，则 F(x) = f (t)dt 在 x a ） f (x)dx + k 1 （ 4 ） f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx 之外） （ 5）设 a b ， f (x) g(x) (a x b ，则) b b f (x)dx g(x)dx （ 6）设 a < b ， m f (x) M (a x b ，则) b m (b a) f (x)dx M(b a) b b （ 7）设 a < b ，则 f (x)dx f (x)dx （ 8）定积分中值定理 设 f (x) [ ] [a,b ，使] b f (x)dx = f ()(b a) c a b c a a a a a a 在 a,b 上连续，则存在 a 定义：我们称 分平均值 1 b a b a f (x)dx 在 为 f (x) [a,b] 1 b 2 f (x)dx b a 2 推广形式：设 F(x) = 上可导，且 F ′(x) = f (x) ϕ 2 (x) ϕ1 (x) 连续， f (t)dt ϕ (x),ϕ (x) ， 1 2 可导， （ c 也可以在[a,b] f (x) 则 F ′(x) = f [ϕ (x)]ϕ ′(x) f [ϕ (x)]ϕ′(x) 2 2 1 1 在 a,b 上可积，F(x 为) f (x 在) [a,b 上任意] 一个原函数， 则有 f (x)dx = F(x) = F(b) F(a) a a （注：若 f (x 在) [a,b 上连续，可以很容易地用上面] 变上限积分的方法来证明；若 f (x) [ ] 在 a,b 上可积，牛顿 一莱布尼兹公式仍成立，但证明方法就很复杂） b b 三．定积分的换元积分法和分部积分法 1．定积分的换元积分法 设 f (x) [ ] 在 a,b 上连续，若变量替换 x = ϕ(t) 在 , ] （或 [ , ）上连续；] （ 1）ϕ′(t) [ （ 2） ϕ() = a a ϕ(t) b ，则 b a ， ϕ( ) = b 2．牛顿一莱布尼兹公式 设 f (x) [ ] 上的积 （ 9）奇偶函数的积分性质 f (x)dx = 0 满足 a a a f (x)dx = 2 0 （ f 奇函数） a f (x)dx （ f 偶函数） ，且当 t 时， a （10）周期函数的积分性质 设 f (x) f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ ′(t)dt a +T f (x)dx = f (x)dx 二．基本定理 1．变上限积分的函数 定义：设 f (x) [ ] 0 以T 为周期， a 为常数，则 T a 2．定积分的分部积分法 设 u′(x),v′(x) [ ] 在 a,b 上连续，则 b b b u x)v x dx = u(x)v(x) u′(x)v(x)dx b b b 或 u(x)dv(x) = u(x)v(x) v(x)du(x) Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 a ( ′( ) a a a a a 在 a,b 上可积，则 F(x) = a f (t)dt ， x 9 考研数学知识点-高等数学 定积分的应用 一．平面图形的面积 1．直角坐标系 模型 I S1 = [y (x) y (x)]dx b a 2 1 其中 y (x) y (x) 2 ， x [a,b] 模型 II S = [x (y) x (y)]dy 2 c 2 1 其中 x (y) x (y) 2 1 ， y [c, d] 1 d 二．平面曲线的弧长（数学一和数学二） 1．直角坐标系 设光滑曲线 y = y(x) ( ， a x b) 1 [y x ] dx + ′( ) 2 连续的导数] 弧长 S = b [也即 y(x 有) a 而 dS = 1+ [y′(x)] dx 也称为弧微分 2．构坐标系 ， ) [ r( ) 在[, ]上 2 设光滑曲线 r = r( ) ( 有连续导数] 弧长 S = [r′( )] + [r′( )] d 2 2 2．构坐标系 模型 I S 1 = 1 2 1 2 [r ( ) r ( )] 2 2 2 1 d 模型 II S 2 = r ( )d 2 3．参数方程所表曲线的弧长 设光滑曲线 C⎨ ⎧x = x(t) ⎩y = y(t) ( t ) ( ) [ x t ， y(t) 在 [, ] 上有连续的导数] [x′(t)] + [y′(t)] dt 2 2 3．参数形式表出的曲线所围成的面积 曲线 C 的弧长 S = ⎧x = ϕ(t) ⎨ ⎩y =(t) 设 曲 线 C 的 参 数 方 程 ( t ) ϕ() = a [ ,] ， ，( ) = b ， ϕ(t) 在 [, ] （或 ）上有连续导数，且ϕ′(t) 不变号，(t) 0 且连续， 三．特殊的空间图形的体积（一般体积要用二重积分） 1．已知平行截面面积的立体体积 设空间一个立体由一个曲面和垂直于 z 轴两平面 z = c 和 z = d 所围成，z 轴每一点 z(c z d 且垂直于) z 轴的立体截面的面积 S(z 为已知的连续函数，则立体体) 积 d V = S(z)dz c 2．绕坐标轴旋转的旋转体的体积 （ 1）平面图形由曲线 y = y(x) ( 0) x = b 和 x 轴围成 绕 x 轴旋转一周的体积 则曲边梯形面积（曲线 C 与直线 x = a, x = b 和 x 轴所围 成） b S = ydx = (t)ϕ ′(t)dt a 与直线 x = a ， 10 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 考研数学知识点-高等数学 Vx = 2 yx(y)dy d c = y (x)dx b a 2 Vx 绕 y 轴旋转一周的体积 V y = 2 xy(x)dx b a 四．绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学 二） （ 2）平面图形由曲线 x = x(y) ( 0) y = d 和 y 轴围成 绕 y 轴旋转一周的体积 V y = x (y)dy d c 2 与直线 y = c ， 设平面曲线 C = AB 位于 x 轴上方，它绕 x 轴一周所 得旋转曲面的面积为 S 。 绕 x 轴旋转一周的体积 1．设 AB 的方程为 y = y(x) (a x b) b 则 S = 2 y(x) 1+ [y′(x)] dx 2．设 AB 的极坐标方程为 r = r( ) ( 2 2 则 S = 2 r( )sin [r′( )] + [r′( )] d 2