五年高考三年联考数学分章练习：空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

高中数学易错、易混、易忘问题备忘录 第八章 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 第8章​ 立体几何 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 一、选择题 1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为 ,四棱锥的底面 边长为 ，高为 ， 所以体积为 所以该几何体的体积为 . :C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c ）为 （A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24 3.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 4.在区间[-1，1]上随机取一个数x， 的值介于0到 之间的概率为( ). A. B. C. D. 【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即 时, , ∴ 区间长度为1, 而 的值介于0到 之间的区间长度为 ,所以概率为 .故选C 答案 C 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值 的范围,再由长度型几何概型求得. 5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为 。则该集合体的俯视图可以是 答案: C 6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体 的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解：展、折问题。易判断选B 7.如图，在半径为3的球面上有 三点， ， 球心 到平面 的距离是 ，则 两点的球面距离是 A. B. C. D. 答案 B 8．若正方体的棱长为 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 A. B. C. D. 答案 C 9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ） 答案 B 二、填空题 10..图是一个几何体的三视图，若它的体积是 ，则a=_______ 答案 11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 ，则 __________ 12．若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则此几何体的体积是 ． 答案 18 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 ，上面的长方体体积为 ，因此其几何体的体积为18 13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 答案 4 14. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于 。 解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 . 15．正三棱柱 内接于半径为 的球，若 两点的球面距离为 ，则正三棱 柱的体积为 　　． 答案 8 16．体积为 的一个正方体，其全面积与球 的表面积相等，则球 的体积等于 ． 答案 17．如图球O的半径为2，圆 是一小圆， ，A、B 是圆 上两点，若A，B两点间的球面距离为 ，则 = . 答案 18.已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ， ， 满足的等量关系是___________. 答案 19.若球O1、O2表示面积之比 ，则它们的半径之比 =_____________. 答案 2 三、解答题 20．（本小题满分13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥 ，下半部分是长方体 。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。 （1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线 平面 . 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示. 　　（２）该安全标识墩的体积为： 　　 　　 　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知, 平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG； 2005—2008年高考题 一、选择题 1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 答案 A 2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ） A． B． C． D． 答案 C 【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为 ，由题意得 ， ， ，所以 ， 当且仅当 时取等号。 3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 A.9π　　　　　 B.10π C.11π D．12π 答案 D 【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 3. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案　B　 4. （2007陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A． B． C． D． 答案　B 5.（2006安徽）表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A． B． C． D． 答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 的正三角形，所以由 知， ，则此球的直径为 ，故选A。 6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于（ ） A.2 B. C. D. 答案 D 【解析】正方体外接球的体积是 ，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于 ，选D. 7.（ 2006湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成 的角是60°则该截面的面积是 ( ) A．π　　　　　　 B.2π　　　　 C.3π　　 　　D. 答案 A 【解析】过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是 R=1，该截面的面积是π，选A. 8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A. 1∶ B. 1∶3 C. 1∶3 D. 1∶9 答案 C 【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为 ，它的外接球的半径为 ， 故所求的比为1∶3 ，选C. 9.（2005全国卷Ⅰ）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 答案　B 10.（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且 均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题 11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　． 答案 【解析】令球的半径为 ，六棱柱的底面边长为 ，高为 ，显然有 ，且 . 12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱 的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为3，那么这个球的体积为_________ 答案 【解析】∵正六边形周长为３，得边长为 ，故其主对角线为１，从而球的直径 ∴ ∴球的体积 . 13. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　． 答案 14.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 ​​ cm2. 答案 15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥 ，则此正六棱 锥的侧面积是________． 答案 【解析】显然正六棱锥 的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥 的高依题意可得为2，依此可求得 . 第二部分 三年联考汇编 2009年联考题 一、​ 选择题 1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ） A． B． C． D． 答案 D 2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面积为（ ） A．2a2 B．a2 C． D． 答案 C 3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图， 则组成此几何体的长方体木块块数共有( ) A．3块 B．4块 C．5块 D．6块 答案　B 4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ，且一个内角为 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ） A. B. C . 4 D. 8 答案 C 5. （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) A． B． C． D． r 答案 C 6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正 视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面 积为( ) A．Z B． C． D． 答案　B 7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右 图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 答案 C 8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( ) A. B.21 cm C. D. 24 cm 答案 A 9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得几何体的表面积是( ) A.22 B.12 C.4 ＋24 D.4 ＋32 答案 D 二、填空题 10.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 11.（2009南京一模）如图，在正三棱柱 中，D为棱 的中点，若截面 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 . 答案 12.（2009广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) 如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm2. 答案 80 13.(2009珠海二模)一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________． 答案 2 9月份更新 一、选择题 1.（2009滨州一模）设 、 是两个不同的平面， 为两条不同的直线，命题p：若平面 ， ， ，则 ；命题q： ， ， ，则 ，则下列命题为真命题的是 （ ） A．p或q B．p且q　　 C．┐p或q　 D．p且┐q 答案C 2.（2009聊城一模）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A． B． C． D． 答案B 3.（2009临沂一模）一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为 A、 B、 C、 D、 答案C 4.（2009青岛一模）如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 A． B. C． D. 答案C 5.（2009上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是………………………………………（ ） A． B． C． D． 答案C 6.（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积等于 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)12 答案A 7.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ） A． B． C． D．以上都不对 答案C 二、填空题 1.（2009上海八校联考）已知一个球的球心 到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若 ，则球的体积为________________。 答案 2.（2009上海青浦区）如图，用一平面去截球所得截面的面积为 cm2，已知 球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 　 cm3. 答案 三、解答题 1.（2009上海普陀区）已知复数 ， （ 是虚数单位），且 .当实数 时，试用列举法表示满足条件的 的取值集合 . 解：如图，设 中点为 ，联结 、 . 由题意， , ,所以 为等边三角形， 故 ，且 . 又 ， 所以 . 而圆锥体的底面圆面积为 , 所以圆锥体体积 . 2.（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, AB=BC=1. (1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小； (2)若直线A1C与平面ABC所成角为45°, 求三棱锥A1-ABC的体积. （1）因为 ，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线 与 所成角 -------(3分) ∠ABC=90°, AB=BC=1，所以 ， -------(2分) 即异面直线 与 所成角大小为 。 -------(1分) （2）直三棱柱ABC-A1B1C1中， ，所以 即为直线A1C与平面ABC所成角，所以 。 -------(2分) 中，AB=BC=1得到 ， 中，得到 ， ------(2分) 所以 -------(2分) 3.（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体 中，（如图） 是棱 的中点， 是侧面 的中心． （1）​ 求三棱锥 的体积； 求 与底面 所成的角的大小．（结果用反三角函数表示） （1） ． （2）取 的中点 ，所求的角的大小等于 的大小， 中 ，所以 与底面 所成的角的大小是 ． 4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ， ， 为 的中点． （Ⅰ）求四棱锥 的体积； （Ⅱ）求异面直线OB与MD所成角的大小． 解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形 的面积 ，……………………………2分 所以，求棱锥 的体积 ………………………………………4分 （Ⅱ）一（综合法） 设线段 的中点为 ，连接 ， 则 为异面直线OC与 所成的角（或其补角） ………………………………..1分 由已知，可得 ， 为直角三角形 …………………………………………………………….2分 ， …………………………………………………………….4分 ． 所以，异面直线OC与MD所成角的大小 ． …………………..1分 方法二(向量法) 以AB,AD,AO所在直线为 轴建立坐标系， 则 , ………………………………………………2分 ， ， …………………………………………………………………………..2分 设异面直线OC与MD所成角为 ， ．……………………………………3分 OC与MD所成角的大小为 ．……………………………………………1分 2007—2008年联考题 一、选择题 1.(2008江苏省启东中学高三综合测试二)如图在正三棱锥A-BCD中， E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是 （ ） 答案 B 2.(2008江苏省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为 ，则球的体积为 ( ) A. B. C. D. 8 答案 A 3. (福建省南靖一中2008年第四次月考) 球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离 都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为 ，则此球的体积为 （　 ） A. B. C. D. 答案 D 4.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)已知 中，AB=2，BC=1， ，平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥P—ABC的体积是（ ） A． B． C． D． 答案 D 5.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ） A． B．2π C．4π D． 答案C 6.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 答案 A