H
四、极坐标方程
§3.4.1 直线和圆的极坐标方程
(一)直线的极坐标方程
如图3-93,直线l与Ox轴交于点A,ON⊥l于N,且|ON|=d,
∠ .设 ρ,θ 是直线 上任一点,则 θ ,即
ρ θ .这就是直线 的极坐标方程.我们把ρ θ
xON = M( ) l |OM|cos( - ) = d
cos( - ) = d l cos( - ) = d
j j
j j
叫做直线的法式方程.
特别地:
(1) d = 0 cos( - ) = 0 = 0 cos( -...
四、极坐标方程
§3.4.1 直线和圆的极坐标方程
(一)直线的极坐标方程
如图3-93,直线l与Ox轴交于点A,ON⊥l于N,且|ON|=d,
∠ .设 ρ,θ 是直线 上任一点,则 θ ,即
ρ θ .这就是直线 的极坐标方程.我们把ρ θ
xON = M( ) l |OM|cos( - ) = d
cos( - ) = d l cos( - ) = d
j j
j j
叫做直线的法式方程.
特别地:
(1) d = 0 cos( - ) = 0 = 0 cos( - ) = 0 = 0当 时,ρ θ ,即ρ 或 θ ,ρj j
表示极点; θ ,即θ π
π
∈ ,它表示过极点的cos( - ) = 0 = + n +
2
(n Z)j j
直线.
(2) d 0 = k (k Z) cos = d当 ≠ , π ∈ 时,则ρ θ ± ,它表示垂直于极j
轴且极点到它的距离为d的直线.
(3) d 0 = n (n Z) cos( -
2
- n ) = d当 ≠ , π+
π
∈ 时,则ρ θ
π
π ,j
2
即ρsinθ=±d,它表示平行于极轴且与极轴的距离为d的直线.
例1 sin( + ) =
2
2
已知直线的极坐标方程为ρ θ
π
,则极点到该
4
直线的距离是____.(1997年全国高考理科试题)
【解】 ∵ θ
π π
θ
π
π
θ θ
π
,
sin( +
4
) = cos
2 4
4 4
- -
æ
è
ç
ö
ø
÷
= -
æ
è
ç
ö
ø
÷ = -
æ
è
ç
ö
ø
÷cos cos
∴该直线的极坐标方程为ρ θ
π
.cos -
4
2
2
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
从而由直线的法式方程可得 .
故极点到该直线的距离为 .
d =
2
2
2
2
例 2 求经过点A(m,0)(m>0)且与极轴正方向夹角为α的直线l的
方程.
【分析】 求出 、 ,代入法式方程ρ θ 中即可. d cos( - ) = dj j
【解】 如图3-94,过O作OH⊥l于H,则d=|OH|=msinα,Ox轴
正方向到OH的角为
j = - -
æ
è
ç
ö
ø
÷ = -
π
α α
π
.
2 2
于是,直线l的方程为
ρ θ α
π
α,cos( - +
2
) = asin
即ρsin(α-θ)=asinα.
(二)圆的极坐标方程
已知⊙O′的圆心 O′(ρ0,θ0),半径为 r.设 M(ρ,θ)是⊙O′
上任一点,则由|MO′|=r和两点间距离公式,得
( )ρ ρ ρ ρ θ θ = .2 02 0 02+ - -cos r
于是⊙ ′的极坐标方程为ρ ρ ρ θ θ ρ .O - 2 cos( - ) + - r = 02 0 0
2
0
2
我们把ρ ρ ρ θ θ +ρ 叫做圆的标准方程.2 0 0
2- 2 cos( - ) - r = 00
2
特别地:
(1)当圆过极点,圆心为O′(r,θ0)时,圆的方程为
ρ=2rcos(θ-θ0).
(2) O (r
2
)当圆过极点,圆心为 ′ ,
π
时,圆的方程为
ρ=2rsinθ.
(3)当圆心在极点时,圆的方程为ρ=r.
例1 = 4sin( -
3
) [ ]在极坐标系中,曲线ρ θ
π
关于
A = B =
5
C (2 ) D
.直线θ
π
轴对称 .直线θ
π
轴对称
.点 ,
π
中心对称 .极点中心对称
3 6
3
(1999年全国高考理科试题)
【解】 ∵原方程可化为ρ
π
θ
π
,= 4cos
2 3
- +
æ
è
ç
ö
ø
÷
即 ρ θ
π
,= 4cos( -
5
6
)
∴此曲线是圆且圆心在直线θ
π
上.
于是此曲线关于直线θ
π
轴对称.
=
5
=
5
6
6
故 应选B.
例 2 求下列圆的圆心和半径:
(1) - 3 cos - 3 3 sin 5 = 0
(2) = 5 3cos -5sin
2ρ ρ θ ρ θ+ ;
ρ θ θ.
【分析】 把方程化为圆的标准方程ρ2-2ρ0ρ·cos(θ-θ0)+
ρ 的形式,便可求得圆心 ρ ,θ 和半径 .0
2 - r = 0 ( ) r2 0 0
【解】 (1)原方程可化为
ρ ρ θ θ ,2 - 6 + 5 = 0
1
2
3
2
cos sin+
æ
è
ç
ö
ø
÷
即 ρ × ρ θ
π
.2 2 2- 2 3 cos( -
3
) + 3 - 2 = 0
∴它的圆心为 ,
π
,半径 .(3 ) r = 2
3
(2)原方程可化为
ρ ρ θ ρ θ ,2 +5 3 cos -5 sin = 0
即 ρ × ρ θ θ ,
ρ × ρ θ
π
,
- 2 5 (
3
2
cos -
1
2
sin ) = 0
- 2 5 cos( +
6
) +5 - 5 = 0
2
2 2 2
于是 它的圆心为 ,
π
,半径 . (5
6
) r = 5-
【解说】 (1)本题也可化为直角坐标方程去求解;
(2) (2) = 2 5cos( +
6
)第 题中原方程也可化为ρ × θ
π
,从而可得圆
心为 ,
π
、半径为 .(5 ) 5-
6
例 3 极坐标方程分别为ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是
[ ]
A 2 B C 1 D. . . .2
2
2
(1992年全国高考理科试题)
【解】 ∵圆ρ θ的圆心为 , ,圆ρ θ的圆心为 = cos O (
1
2
0) = sin1
O 2
1
2 2,
π ,
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
∴ .|O O |=
1
21 2
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
2 21
2
2
2
故 应选D.
例 4 求证:圆 C1:ρ2+12ρcosθ+6ρsinθ-19=0与圆C2:ρ2-4
ρcosθ-6ρsinθ+9=0相切,并求切点的极坐标.
【分析】 化为直角坐标方程再去求解.
【解】 在直角坐标系中,
⊙C1:(x+6)2+(y+3)2=82,
⊙C2:(x-2)2+(y-3)2=22.
( ) ( )从而 两圆圆心距 = - 6 - 2 = 102 23 3+ - -
=8+2=两圆半径之和,
∴两圆相切.
解方程组
+ ,
+ ,
(x + 6) (y + 3) = 8
(x - 2) (y - 3) = 2
2 2 2
2 2 2
ì
í
ï
îï
得切点坐标为 , .
把 , 化为极坐标,得切点的极坐标为
2
5
9
5
2
5
9
5
æ
èç
ö
ø÷
æ
èç
ö
ø÷
1
5
85
9
2
, .arctgæèç
ö
ø÷
习题 3.4.1
1.选择题:
(1) P(3 ) [ ]过点 ,
π
,且平行于极轴的直线的极坐标方程是
4
A =
3
2
3 B sin
C sin =
3
2
2 D cos =
3
2
.ρ .ρ= θ
.ρ θ .ρ θ
3 2
2
2
(2) = cos
4
[ ]极坐标方程ρ
π
θ 所表示的曲线是-
æ
è
ç
ö
ø
÷
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
(1994年全国高考理科试题)
(3) cos =
4
3
[ ]极坐标方程ρ θ 表示
A.一条平行于x轴的直线
B.一个圆
C.一条垂直于x轴的直线
D.一条抛物线
(1986年全国高考理科试题)
(4)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是 [ ]
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
(1987年全国高考理科试题)
2.填空题:
(1) ( - 3) -
6
= 0极坐标方程 ρ θ
π
表示的曲线是 .
æ
è
ç
ö
ø
÷
(2)圆ρ2+2ρcosθ-6ρsinθ+5=0的圆心坐标是____,半径
r=____.
(3) 2 -2 2 cos
4
1= 02极坐标方程 ρ ρ
π
θ + 表示的图形是 .-
æ
è
ç
ö
ø
÷
3 = 2cos -2 3 sin + 2 = 02.已知两圆的极坐标方程为ρ θ和ρ ρ θ ,
求证这两圆相外切,并求切点坐标.
4 - 2 2 sin ( +
4
) + 2sin2 = 0(02.画出极坐标方程ρ ρ θ θ
π
θ ≤θ≤
π
所表示的曲线.
2
)
5.求下列各题中动点P的轨迹方程:
(1)从极点O作圆ρ=acosθ的动弦OA,并延长OA到点P,使|AP|=a.
(2)从极点O作直线与已知直线ρcosθ=4相交于点A,在线段OA上
取一点P,使OA·OP=12.
6.已知直线 l的极坐标方程将ρcosθ=4,⊙A的极坐标方程为ρ
=4cosθ.过极点O作直线分别与⊙A和直线l交于点 M、N,求 MN的中
点P的轨迹方程.
7.过原点O的一条直线交圆x2+(y-1)2=1于点Q,在直线OQ上取一
点P,使点P到直线y=2的距离等于|PQ|,当此直线绕原点旋转时,求动
点P的轨迹方程(用极坐标法去解).
习题 3.4.1
或提示
1.(1)C.(2)D.(3)C.(4)B.
2 (1) 3. 圆心为极点、半径为 的圆或过极点倾角为
π
的直线.
6
(2)( 10 - arctg3) r
(3)
,π , = .
点 ,
π
.
5
2
2 4
æ
è
ç
ö
ø
÷
3 (1 ).化为直角坐标方程去解,切点的极坐标为 ,
π
.
3
4.原方程可化为(ρ-2sinθ)(ρ-2cosθ)=0,从而ρ=2sinθ或ρ
=2cos
θ ≤θ≤
π
.(0
2
)
5.(1)ρ=a(1+cosθ);(2)ρ=3cosθ.
( )
6.ρ
θ
θ
.=
+2 1 2cos
cos
7 Ox P = 2 =
3
2
( R).在极坐标系 中,动点 的轨迹方程是ρ 或θ
π
ρ∈ .
在直角坐标系xOy中,动点P的轨迹方程是x2+y2=4或x=0.
§3.4.2 圆锥曲线的统一方程
(一)圆锥曲线的统一定义
椭圆、双曲线、抛物线的统一定义为:
平面内与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等
于常数e的点的轨迹,当0<e<1时是椭圆;当e>1时是双曲线;当e=1
时是抛物线.
例 1 已知圆锥曲线的离心率为e,F是焦点,AB是过焦点F的弦,
弦两端 、 到焦点 对应的准线 的距离分别为 、 ,那么A B F l d d1 2
| |AB
d d1 2+
=____.
【解】 3 - 95 =
|BF|
d
= e
2
如图 ,由圆锥曲线的统一定义,得 .
| |AF
d1
由等比定理,得
| | | |AF BF
d
+
+d
= e
1 2
,
即 .
| |AB
d d1 2+
= e
例 2 如图3-96,设圆锥曲线的焦点弦为PQ(焦点为F),过P、Q分
别作焦点F的对应准线l的垂线,垂足分别为M、N.若梯形PQNM绕准线
旋转一周所得圆台的侧面积为S1,以线段MN为直径的球的全面积为S2,
试比较S1与S2的大小.
【分析】 因 S1=π(|NQ|+|MP|)·|PQ|,由圆锥曲线的统一定义
知,可用|PQ|表示|NQ|+|MP|,然后再去比较大小.
【解】 如图3-96.由圆锥曲线的统一定义,得
| | | |PF
PM
QF
QN
= e e, ,=
即 , ,|PM|=
1
e
|PF| |QN|=
1
e
|QF|
∴ + + .|PM| |QN|=
1
e
(|PF| |FQ|) =
1
e
|PQ|
设PQ的倾角为α,则
|PQ|sinα=|MN|.
∵S1=π(|MP|+|NQ|)·|PQ|
=
e
|PQ|2
π
,
S2=π|MN|2=π|PQ|2sin2α,
∴
α
.
S
S e
1
2
2
1
=
sin
于是 当sin2α≤1时,S1≥S2;
当esin2α≥1时,S1≤S2.
(二)圆锥曲线的统一方程
如图3-97,设圆锥曲线的离心率为l,焦点 F到对应准线 e的距离
|KF|=p(焦参数),以焦点F为极点(对椭圆取左焦点,对双曲线取右焦点),
FK的反向延长线Fx为极轴,则圆锥曲线的统一方程为
ρ
ρ
θ
.=
e
1 - ecos
对抛物线,由于 ,所以它的极坐标方程为ρ
θ
.e = 1 =
p
1- cos
对有心曲线 椭圆、双曲线 ,由于 , ,所以它们的极( ) e =
c
a
p =
b2
c
坐标方程为ρ
θ
.=
b 2
a c- cos
例 1 在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0), 离
心率为e,则它的极坐标方程是 [ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
A B
C
e 1- ecos
D
.ρ
θ
.ρ
θ
.ρ
θ
.ρ
θ
=
-
-
=
-
-
=
-
=
-
-
e e
e
c e
e
c e c e
e e
1
1
1
1
1 1
1
2
2
cos cos
cos
(1995年全国高考理科试题)
【解】 由已知可得 椭圆的极坐标方程为
( )
( )
( )
ρ
θ
.
∵ .
∴ρ
θ
.
=
ep
1- ecos
p =
=
c 1- e 2
b
c
a c
c
c
e
c
c
c e
e
e e
2 2 2
2
2
2
2
1
1
=
-
=
æ
èç
ö
ø÷ -
=
-
- cos
故应选D.
例2 =
3
2 - cos
椭圆的极坐标方程为ρ
θ
,则它在短轴上的两个顶
点的极坐标是 [ ]
A.(3,0),(1,π)
B
C
D
. ,
π
, ,
π
. ,
π
, ,
π
. , , , π
3
2
3
3
2
3
3
2
5
3
7
3
2
7 2
3
2
æ
è
ç
ö
ø
÷
æ
è
ç
ö
ø
÷
æ
è
ç
ö
ø
÷
æ
è
ç
ö
ø
÷
æ
è
ç
ö
ø
÷ -
æ
è
ç
ö
ø
÷arctg arctg
(1996年全国高考理科试题)
【解】 ∵椭圆的极坐标方程为ρ
θ
,
又 在ρ
θ
中,
=
b
=
3
2 - cos
2
a c- cos
2 -1 = ( 3)2 2 2,
∴ = , = , = .a 2 b c 13
从而 在图 中, , , = , 3 - 98 |FB |=|FB |= 2 |OB |=|OB |= 3 |FO| 11 2 1 2
∴∠ =∠ = = =
π
.OFB OFB arctg
b
c
arctg 31 2 3
于是 短轴的两个端点的极坐标分别为 ,
π
和 ,
π
. (2 ) (2 )
3
5
3
故 应选C.
例 3 已知椭圆的长轴为4,焦距|F1F2|=2,过椭圆的左焦点F1作
互相垂直的两弦 、 ,它们的长度之和为 ,求这两弦的长度之AB CD
48
7
积.
【解】 如图3-99,以椭圆的左焦点F1为极点,F1F2为极轴,建立
极坐标系,则椭圆的方程为
ρ
θ
.=
b
a - ccos
2
∵2a=4,2c=2,
∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3
于是 椭圆的方程为
ρ
θ
.=
3
2 - cos
设弦 的倾角为 ,则 的倾角为
π
,则AB CDj g
2
+
( )|AB|=|AF | |BF |1 1+ = π
=
3
2
3
2
3
2
3
2
12
4 2
-
+
- +
-
+
+
=
-
cos cos
cos cos cos
j j
j j j
即 .|AB|=
12
4 - cos2j
同理 .
由已知,得 + ,
|CD|=
12
4 - sin
|AB| |CD|=
48
7
2j
( )( )
( )( )
∴ ,
∴ .
故 · × .
12
4 - cos
|AB| |CD|=
144
4 - cos
2
2
4
12
4
48
7
4
49
4
4
144
4
49
576
49
2 2
2
2
-
+
-
=
- =
-
= =
cos sin
sin
sin
j j
j j
j j
例 4 如图 3-100,过圆锥曲线的焦点 F的直线交该曲线于 M、N
两点,作MN的垂直平分线(MN的中点为Q)交该曲线的对称轴于R,
求证: 是离心率 .|FR|=
e
2
|MN|(e )
【证明】 设圆锥曲线的方程为
ρ
θ
,=
ep
1- ecos
点M的极角为α,则
|FM|=
ep
|FN|=
ep
1+ ecos
|MN|=
ep
1- ecos
1
1
2
1 2 2
-
+
+
=
-
e
ep
e
ep
e
cos
cos cos
α
,
α
,
从而
α α α
.
∵
α α
α
α
α
α
|FQ|=||FM|-|QM||=||FM|-
1
2
|MN||
=|
ep
1 - ecos
-
ep
1 - e
|
=
e
2
2
cos
|cos |
| cos |
|cos |
cos
2
2 2
2
2 21 1
p
e
e p
e-
=
-
(∵1-e2cos2α>0),
又在 △ 中,
α α
,Rt - FQR |FR|=
|FQ|
|cos |
=
-
e p
e
2
2 21 cos
∴ .| FR|=
e
2
|MN|
【解说】 =椭圆、抛物线和双曲线的焦半径公式为ρ
θ
,
ep
e1- cos
焦点弦长公式为 =
α
.|MN|
2
1 2 2
ep
e- cos
习题 3.4.2
1.选择题:
(1) =
16
5 - 3cos
如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ
θ
,那么它的焦点坐
标是 [ ]
A.(0,0),(6,π)
B.(-3,0),(3,0)
C.(0,0),(3,0)
D.(0,0),(6,0)
(1991年全国高考理科试题)
(2) =
5
3 - 2cos
已知椭圆的极坐标方程是ρ
θ
,那么它的短轴长是
[ ]
A B C 2 5 D 2 3. . . .
10
3
5
(1989年全国高考理科试题).
(3) =
ep
1- ecos
F AB已知双曲线的极坐标方程为ρ
θ
,过右焦点 的弦
与右支交于A、B两点,且AB与极轴成60°的角,则离心率e= [ ]
A B C 2 2 D 2 3. . . .2 3
(4) 4 sin = 52极坐标方程 ρ
θ
表示的曲线是
2
[ ]
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线
(1990年全国高考理科试题)
2.填空题:
(1) ( -
3
2 - 6cos
) ( -5) = 02 2极坐标方程 ρ
θ
+ ρ 所表示的图形是 .
( )
(2) =
2
3-2cos
(3) =
3
2 2
椭圆的极坐标方程为ρ
θ
,它的右准线方程为 .
在极坐标系中,若方程ρ
θ θ
表示双曲线,
- +m cos sin
则m的值集为______.
(4) =
ep
1- ecos
(e 1)双曲线ρ
θ
> 的两条渐近线的倾角的大小是 .
3.求证:若圆锥曲线(对双曲线仅取右支)上三点A、B、C的横坐标
成等差数列,则这三点对应的焦半径|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列(F
是焦点).
4.在极坐标系中,已知椭圆的左、右焦点在F1、F2,且F1在极点,
射线F1F2为极轴,又它的两个顶点的坐标为(1,π)、(3,0),求这个椭
圆的极坐标方程.
5 =
p
1- cos
(1) (2).在抛物线ρ
θ
上找出: 极径最小的点; 极径等于
通径2p的点.
6 +
y
= 1(a b 0) F
2
.过椭圆 > > 的左焦点 作互相垂直的两弦,设它
x
a b
2
2 2
们的长分别为 、 ,求证: .l l1 2
1 1
21 2
2 2
2l l
a b
ab
+ =
+
7.已知一个椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b(a>b>0),过它的左
焦点F1作一弦MN,使|MN|=2b,若MN与长轴的夹角为α,求证:
ta =
ab
a
α .
8 +
y
b
= 1(a b 0) F AB
2
2.过椭圆 > > 的左焦点 作互相垂直的两弦 、
x
a
2
2
CD,求|AB|+|CD|的最小值.
9.已知点P是圆锥曲线焦半径AF的定比分点,且定比为λ,求证:
点P的轨迹是与原曲线有相同离心率的圆锥曲线.
10.在直角△ABC中,∠C=90°,∠A=α,若顶点C在圆锥曲线的焦
点上,当 B在圆锥曲线上移动,求证:点 A的轨迹是一条与原曲线有相
同离心率的圆锥曲线.
11.过双曲线的焦点F作渐近线的平行线,交双曲线于M,过F作实
轴的垂线交双曲线于点P,求证:|PF|=2|FM|.
12.设M是过抛物线的焦点F的弦PQ的中点,过 M作 PQ的垂线交
对称轴于点 N,求证:|MN|2=|PF|·|FQ|.
习题 3.4.2 答案或提示
1.(1)D.(2)C.(3)A.(4)D.
2 (1) (5 arccos
7
30
) (5 2 - arccos
7
30
)
(2) cos =
13
5
(3)(- - 2) (2 )
. 点 , 和 , π .
ρ θ . ∞, ∪ ,+∞ .
(4)arccos
1
e
- arccos
1
e
,π .
3 =
ep
1- ecos
cos =
e
- p.由焦半径公式ρ
θ
,得ρ θ
ρ
,然后利用
x=ρcosθ去证.
4 =
3
2 - cos
5 (1)(
p
2
) (2)(2p ) (2p )
.ρ
θ
. ,π , ,
π
, ,
π
.
3
5
3
6.椭圆的极坐标方程为ρ=
θ
,则由焦点弦长公式,得
ep
e1- cos
1 1
2
1 1
2
1 1 2
2 21
2 2
2
2 2
1 2
2 2 2
2l
e
ep l
e
ep l l
e
ep
a b
ab
=
-
=
-
+ =
-
=
+cos sinα
,
α
,所以 .
7 |MN|=
2ep
1- e
=
2ab
= 2b
tg
2
2
.
α α
α= .
cos cos2 2 2 2a c
ab
a
-
Þ
8 |AB|=
2ab
|CD|=
2ab
2
2
.
α α
,
α α
,
a b
a b
2 2 2 2
2 2 2 2
cos sin
sin cos
+
+
( )
( )( )u =|AB|+|CD|=
2ab2 a b
a b a b
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
+
+ +cos sin sin cosα α α α
.
因为a2cos2α+b2sin2α+a2sin2α+b2cos2α=a2+b2,
所以当a2cos2α+b2sin2α=a2sin2α+b2cos2α,即 tg2α=1时,umin=
8 2
2 2
ab
a b+
.
9 =
ep
1- ecos
P =
ep
1ecos
.设原圆锥曲线为ρ
θ
.动点 的轨迹方程为ρ
′
θ
( )
( p =
1+
)其中 ′
λ
λ
.
p
10 =
ep
1 - ecos
A.设原圆锥曲线为ρ
θ
.动点 的轨迹方程为ρ =
epctg
e
α
θ±
π
.
1
2
-
æ
èç
ö
ø÷
cos
11 cos =
1
e
.设渐近线与极轴的夹角为α,即 α .由焦半径公式,得
( )|FM|=
ep
1- ecos +
|FP|=
ep
1- ecos
2
= ep |FP| 2|FM|
π α
, π .所以 = .=
ep
2
12 3 101 =
p
NFM =.如图 - ,设抛物线的方程为ρ
θ
,∠ α,
1- cos
则
α
,
α
,从而 ·
α
.|FP|=
p
1- cos
|FQ|=
p
1+ cos
|FP| |FQ|=
p2
sin2
|MN| (|MF|tg )
[
1
2
(|FP|-|FQ|)] tg
=
p
2 2
2 2
2
= α
= α
α
.
sin2
∴|MN|=|FP|·|FQ|.
§3.4.3 直角坐标与极坐标的互化
(一)直角坐标与极坐标的互化公式
若极坐标系的极点和极轴分别是直角坐标系的原点和x轴的正半轴,
则平面内一点P的直角坐标(x,y)和极坐标(ρ,θ)之间有下列公式:
x = cos
y = sin
= x + y
tg =
y
x
(x 0)
2 2 2
ρ θ,
ρ θ;
或
ρ ,
θ ≠ .
ì
í
î
ì
í
ï
îï
例 1 把点P的直角坐标(-1,-2)化为极坐标.
( ) ( )【解】 = tg = - 2
-1
= 2ρ , θ ,- + - =1 2 52 2
∵点P在第三象限,ρ>0,
∴取θ=π+arctg2.
因此,点 的极坐标为 ,π+ .P ( 5 arctg2)
【解说】 由 θ 确定θ时,可根据点 所在的象限取最小正tg =
y
x
P
角.
(二)极坐标方程与直角坐标方程的互化
1.把直角坐标方程化为极坐标方程
把直角坐标方程化为极坐标方程通常有两种方法:
(1)把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入原方程去解.
(2)从直角坐标方程表示的曲线入手,用求轨迹方程的方法去解.
例2 x = 2p(y +
p
2
)(p 0)2把直角坐标方程 > 化为极坐标方程.
【解法 1】 把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入原方程,整理,得
ρ2=(ρsinθ+p)2,
∴ρ=ρsinθ+p或ρ=-(ρsinθ+p),
即 ρ
θ
或ρ
θ
.=
p
1- sin
=
- p
1+ sin
( )方程ρ θ 可化为 ρ π θ ,=
- p
1 + sin
- =
p
1- sin +
而(-ρ,π+θ),与(ρ,θ)是同一点,
∴ρ
θ
与ρ
θ
是同一曲线.=
- p
1+ sin
=
p
1- sin
故所求的极坐标方程为ρ=
ρ
θ
.=
-
p
1 sin
【解法2】 3 102 x = 2p(y +
p
2
)2如图 - ,方程 表示焦点在原点、 轴y
为对称轴、焦参数为p,开口向上的抛物线.
在极坐标系 Ox中,设抛物线上任意一点为 P(ρ,θ),P到准线 l
的距离为|PM|,则由抛物线的定义,得
|PO|=|PM|,
即 ρ=p+ρsinθ,
∴ρ
θ
,这就是所求的极坐标方程.=
p
1- sin
2.把极坐标方程化为直角坐标方程
把极坐标方程化为直角坐标方程就是设法把ρ2=x2+y2、ρcosθ=
x sin = y tg =
y
x
、ρ θ 、 θ 代入原方程进行化简.
例 3 把极坐标方程ρcos2θ+3ρsin2θ-4sinθ=0化为直角坐标
方程.
【解】 在原方程中,当sinθ=0时,ρ=0,
∴曲线ρcos2θ+3ρsin2θ-4sinθ=0过极点.从而将原方程两边
乘以ρ,得(ρcosθ)2+3(ρsinθ)2-4(ρsinθ)=0.
把ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,得 x2+3y2-4y=0就是所求的直
角坐标方程.
【解说】 将极坐标方程F(ρ,θ)=0两边乘以ρ时,要注意曲线
是否过极点,否则所得的直角坐标方程f(x,y)=0与极坐标方程F(ρ,
θ)=0不一定代表同一曲线.
例4 把极坐标方程ρ
θ
θ
化为直角坐标方程.=
cos
cos2
【解】 显然,这条曲线过原点.
把原方程两边乘以ρ,整理,得
ρ2cos2θ-ρcosθ=0,
从而 ρ2(cos2θ-sin2θ)-ρcosθ=0,
即 (ρcosθ)2-(ρsinθ)2-ρcosθ=0.
于是 所求的直角坐标方程为
x2-y2-x=0.
(三)直角坐标与极坐标互化的应用
例 5 动直线Ax+By+1=0截定椭圆b2x2+a2y2=a2b2于P、Q两点,
且弦PQ与椭圆中心O所张的角∠POQ=90°,求证:A2+B2是定值.
【证明】 以点 O为极点、Ox为极轴建立极坐标系,则 b2x2+
a2y2=a2b2化为
ρ2b2cos2θ+ρ2a2sin2θ=a2b2,
于是 ρ
θ θ
.=
ab
b2 cos sin2 2 2+ a
从而可设 点极坐标为
θ θ
,θ ,则 点极P Q1
ab
b a2 2 1
2 2
1cos sin+
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
坐标为
θ θ
,θ
π
.
ab
b a2 2 1
2 2
1
1 2sin cos+
+
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
又Ax+By+1=0化为ρ(Acosθ+Bsinθ)+1=0.
将点P、Q的极坐标代入上式并整理,得
Aabcos Babsin = - b
- Aabsin Babcos = - b
1 1
2
1 1
2
θ + θ θ θ ①
θ + θ θ θ ②
cos sin
sin cos
2
1
2 2
1
2
1
2 2
1
+
+
a
a
①2+②2,得
A2a2b2+B2a2b2=a2+b2,
∴ + ,即 + 是定值.A B =
1
a
A B2 2 2
2 2+
1
2b
例6 =
8cos
M M在抛物线ρ
θ
θ
上有一点 ,它的极径等于 到准线的
sin2
l
距离,求点M的坐标.
【分析】 把极坐标方程化为直角坐标方程,用直角坐标法求解.
【解】 把方程ρ
θ
θ
化为直角坐标方程,得 .=
8cos
sin
y = 8x2
2
如图 - ,设点 , ,则它到准线的距离为3 103 M(
y
8
y )0
2
0
|MN|= 2+ .
y0
2
8
∵|OM|=|MN|,
∴ .y
y y
0
2 0
2
0
2
64
2
8
+ = +
解之,得 ± .y = 2 20
从而点 为 ,± .M (1 2 2)
把它化为极坐标,得点 ,± .M(3 arccos
1
3
)
习题 3.4.3
1.选择题:(1)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为
[ ]
A.x2+(y+2)2=4
B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4
D.(x+2)2+y2=4
(1998年高考理科试题)
(2) +
y
= 1 F Fx
2
以椭圆 的右焦点 为极点, 为极轴建立极坐标系,
x
a b
2
2 2
记 , ,则此椭圆的极坐标方程为e =
c
a
p =
b
[ ]
2
c
A =
ep
1+ ecos
B =
ep
1- ecos
C = -
ep
1+ ecos
D = -
ep
1- ecos
.ρ
θ
.ρ
θ
.ρ
θ
.ρ
θ
2 P Q (4 ) (-2 ).已知点 、 的极坐标分别为 ,
π
、 ,
π
,求它们的
2
3
5
6
直角坐标.
3.已知点M、N的直角坐标分别为(-2,-3)、(0,-3),求它们的极
坐标.
4.已知极点的直角坐标为P(1,-2),极轴平行于x轴的正半轴(且
方向相同 ,求点 , + 的极坐标.) Q(-5 - 2 2 3)
5.将极坐标方程化成直角坐标方程:
(1)ρ=cosθ-sinθ;
(2) = 4cos(
3
+ )
(3) =
36
1+8sin
2
2
ρ
π
θ ;
ρ
θ
;
(4)ρ3sinθcos2θ-ρ2cos2θ-ρsinθ+1=0.
( )
6 -
y
= 1(a b 0 c 0 a - b = c )
2
2 2 2.把直角坐标方程 > > , > , 化
x c
a b
- 2
2 2
为极坐标方程.
7 F +
y
= 1 A B C
2
.设 为椭圆 的左焦点, 、 、 为椭圆上的三点,
x2
25 9
且满足∠ ∠ ∠ .求证: 为定值.AFB = BFC = CFA
1 1 1
| | | | | |FA FB FC
+ +
8 -12 cos( -
4
) + 27 = 02.求曲线ρ ρ θ
π
上的点与极点的距离的最
大值和最小值.
9.已知AB、CD是过抛物线y2=8x-2的焦点F的两条弦,AB、
CD =
1
2
|AB|= 2|CD| |AB| |CD|的倾角分别为α,β,且α β, ,求 和 .
10.过双曲线b2x2-a2y2=a2b2的右焦点F引一直线,使该直线被双曲
线截得的线段AB被焦点F分成2∶1两段,求这直线的斜率.
11 +
y
= 1(a b 0) F AB A
2
1.过椭圆 > > 的左焦点 作一弦 交椭圆于 、
x
a b
2
2 2
B F S ( 3 104)2
2F AB
,又椭圆右焦点为 ,求 的最大值 如图 - .△
12 OP OQ OR +
y
b
= 1
2
2.设 、 、 是椭圆 的三条中心半径,且每相
x
a
2
2
邻两条夹角都是
π
,求证:
2
3
1 1 1 3
2
1 1
2 2 2 2 2| | | | | |OP OQ OR a b
+ + = +
æ
èç
ö
ø÷.
习题 3.4.3 答案或提示
1 (1)B (2)A 2 P(-2 2 3) Q( 3 -1)
3 M( 13 arctg
3
2
) N(3 )
. . .. . , 、 , .
. ,π+ 、 , π .
3
2
4 Q(4 3
5
6
). , .p
5.(1)x2+y2-x+y=0
(2)x y - 2x 2 3y = 02 2+ +
(3)x2+9y2=36
(4) ( sin -1)( cos2 -1) = 02原方程 ρ θ ρ θÛ
y=1或x2-y2=1
6 =
b
7 =
9
5- 4cos
2
.ρ
.用极坐标方程ρ 去解. .
a
FA FB FC
-
+ + =
cosq
q
1 1 1 5
3
8 d 6 3 9 d 6- 3 3
9 =
4
1- cos
|AB|= 16 |CD|= 8
max min. = + = , = = .
.用极坐标方程 ρ 去解, , .
q
10 =
ep
1-ecos
|AF|=
ep
1-ecos
|BF|=
ep
1+ecos
cos = tg =
.用极坐标方程ρ 去解. ,
,由 或 ,得 α ± ,从而 α ± .
q a
a
AF
BF e
a b
a
=
+2
1
1
2
1
3
8 92 2
11 =
ep
1- ecos
|AB|=
ep
1- ecos
+
ep
1+ ecos
S =
2cpesin
F AB2
.用极坐标方程ρ 去解.
, 从而△
q q
q q
q
q
q
q
=
- -
=
-
+
2
1 1
2
12 2 2 2 2 2
ep
e e
cep
e
e
cos cos
sin
sin
当 ≤ 即 ≤ < 此时 < , θ 时,
,当 > 即 < < 此时 > , θ 时, .
1 - e e e 1( b c) sin =
1 - e
e
S
= ab 1- e e 0 e ( b c) sin = 1 S =
2b
2 2
2
max
2 2
max
2
2
2
2
2
=
b
c
c
a
12.把直角坐标方程化为极坐标方程,用极坐标法求解.设点P
( )
cos sin
r
p p
r
q q
1 2Q( +
2
) R( +
4
),α 、 ρ ,α 、 ρ,α ,利用
3 3
1
2
2
2
2
2= +a b
和三角函数降幂公式求解.
§3.4.4 求曲线的极坐标方程的方法
求曲线的极坐标方程通常有下列几种方法:
(一)直译法
直译法求曲线的极坐标方程的步骤是:
1.建立适当的极坐标系Ox,设曲线(轨迹)上任一点M的坐标(ρ,
θ),并连结OM;
2.找出动点M所适合的条件p,并写出点M的集合P={M\p(M)};
3.运用几何、三角等方面的知识,设法用ρ、θ表示条件p(M),列
出含ρ、θ的等式,并化简、整理,得极坐标方程F(ρ,θ)=0.
一般地说,用直译法求轨迹方程,建立ρ、θ满足的方程,要通过
解三角形来实现.对于直角三角形可用锐角三角函数的定义和勾股定理,
对于任意三角形可用正弦定理和余弦定理,有时要用到三角形的面积公
式 .S =
1
2
absinC
例 1 底边固定,其它两边的乘积等于底边一半的平方,求这三角
形顶点的轨迹方程.
【解】 如图3-105,以底边AB的中点 O为极点,OB及其长线 Ox
为极轴建立极坐标系.设|AB|=2a,动点C(ρ,θ),连结CO,则动点C
的轨迹就是集合P={C\|AC|·|CB|=a2}.
将已知条件用坐标ρ、θ表示,得
[ cos( )][ cos ]a r ar p q a r ar q a2 2 2 22 2+ - - + - = 2,
整理,得 ρ2(ρ2-2a2cos2θ)=0,
即 ρ2=2a2cos2θ ①
或 ρ=0 ②
显然②是①的特例.
故 动点C的轨迹方程是ρ2=2a2cos2θ.
(二)转化法(代点法)
所谓转化法就是,若欲求的动点P(ρ,θ)的轨迹与另一个动点Q(ρ
′,θ′)的轨迹有依赖关系,且这个关系式ρ′=f(ρ,θ)和θ′=g(ρ,
θ)可以求出,则求动点P的轨迹转化为求动点Q的轨迹,一旦Q的轨迹
方程 F(ρ′,θ′)=0求得,那么 F[f(ρ,θ),g(ρ,θ)]=0就是动
点P的轨迹方程.
例 2 如图3-106,直线l与极轴垂直于M点,且极点O到l的距离
|OM|=a,一群正三角形(大小可变,但形状不变)的一个顶点在极点,另
一个顶点P在直线l上滑动,第三个顶点Q在OP边的上方,求△OPQ的
重心G的轨迹方程.
【分析】 重心G依赖于顶点P,而P在定直线l上,因此,找出G
与P的坐标关系式,问题可迎刃而解.
【解】 P( )( 0 | | )设点 ρ′,θ′ ρ′> ,θ′< ,则
p
2
ρ′cosθ′=a (*)
又设重心G(ρ,θ),则由正三角形的性质,得
ρ′ ρ,θ′ θ .= 3 = -
p
6
把它们代入(*)中,得动点G的轨迹方程为
3
6
ρ θ .cos( - ) = a
p
(三)公式法
我们已经熟悉了常见曲线(包括直线)的极坐标方程,如直线ρ
cos(θ
- = d -2a cos( - ) + -r = 0 =
ep
1-ecos
2
0
2 20α ,圆ρ ρ θ θ ρ ,圆锥曲线ρ ,当所)
q
求轨迹是上述常见曲线时,可把这些方程当作公式来使用,从而迅速求
出轨迹方程.
例 3 如图3-107,已知圆ρ=2rcosθ和点A(2rcosα,α)、B(2rcos
β,β),求直线AB的方程.
【解】 作 OH⊥AB于 H,设圆与极轴的另一个交点为 M,在△OAH
与△OMB中,∠HAO=∠BMO,∠AHO=∠OBM=90°,∴ ∠AOH=β,OH=OAcos
β=2rcosαcosβ.
把α+β、2rcosαcosβ分别代替方程ρcos(θ-α)=d中的 α、d,
得直线AB的方程为
ρcos(θ-α-β)=2rcosαcosβ.
(四)韦达定理法
例 4 过极点O作动直线l交椭圆C:(sin2θ+2cos2θ)ρ2-4(sin
θ+cosθ)ρ+4=0于P、Q两点,在线段PQ上有一点M,使
2 1 1
OM OP OQ
= + ,求动点 的轨迹方程.M
【解】 如图3-108,设动点M(ρ,θ),直线OQ与x轴的正向夹
角为θ=α,把它代入椭圆方程中,得
(sin2α+2cos2α)ρ2-4(sinα+cosα)ρ+4=0.
∵ △=16(sinα+cosα)2-16(sin2α+2cos2α)≥0,
∴ cosα(cosα-2sinα)≤0 ①
由图易得 <α≤0
p
2
②
从而由①、②可得0≤cosα≤2sinα,
即 ≤α≤ . arctg
1
2
p
2
由韦达定理,得
|OP| |OQ|= + =
4(sin
|OP| |OQ|= =
4
sin
1 2
1 2 2
+ ρ ρ ,
· ρ ·ρ .
a a
a a
a a
+
+
+
cos )
sin cos
cos
2 2
2
2
2
由已知,可得
2 1 1
1 2
1 2
1 2r r r
r r
r r
= + + =
+
∴ α α,
2
= sin + cos
r
即 ρ(sinα+cosα)=2.
∴ 动点M的轨迹方程为
ρ θ+ θ ≤θ≤ .(sin cos ) = 2(arctg
1
2
)
p
2
(五)参数法
如果动点M(ρ,θ)的坐标ρ、θ满足的方程不易直接求得,且ρ、
θ与第三个变量 参数 的关系式
ρ
θ
易求得,从而消去,就得到( )t
= f(t)
= g(t)
ì
í
î
t
所求的轨迹方程F(ρ,θ)=0.
例 5 半径为r的定圆O上有两个动点P、Q,它们同时从圆 O上一
定点A出发,按逆时针方向作匀角速度运动,点 Q的角速度是点 P的角
速度的a倍(a>1),求动线段PQ中点M的轨迹方程.
【解】 如图3-109,以O为极点、OA及其延长线为极轴,建立极
坐标系.
以点P、Q自点A出发运动的时间t为参数,设点P的角速度为ω,
则点Q的角速度为aω.
从而点P(r,ωt)、Q(r,aωt).
设点M(ρ,θ),则由OM⊥PQ,得
ρ ∠
ω
θ ω ω ω + ω.
=|OP|cos
1
2
POQ
= rcos t
= t +
1
2
(a t - t) =
1
2
(a 1) t
a - 1
2
∴ 动点M轨迹的参数方程为
ρ ω,
θ ω .
= rcos t
=
1
2
(a +1) t
a -ì
í
ïï
î
ï
ï
1
2
消去参数t,得所求的轨迹方程为
ρ θ.= rcos
a
a
-
+
1
1
(六)平面几何法
求轨迹方程时,熟练地使用平面几何中直线和圆等有关知识,往往
可以化难为易,使许多题目的解法简捷清晰.
例 6 从极点O引一直线和⊙A:ρ2-6ρcosθ+5=0相交于Q,
点 内分线段 成比 ,当 在圆上移动时,求动点 的轨迹方程.P OQ Q P
2
3
【解】 如图 3-110,⊙A:ρ2-6ρcosθ+5=0可写成ρ2-2×3ρ
cosθ+32-22=0,
∴ A(3,0),半径r=2,连结AQ,过P作PB∥QA交Ox于B.
∵ ,
∴ ,
∴ × ,
OP
PQ
OB
AB
OP
OQ
OB
OA
OB
= =
= =
= =
2
3
2
5
2
5
3
6
5
又 ,
∴ × × ,
∴ 动点 的轨迹方程是
|PB|=
2
5
|AQ|=
2
5
2 =
4
5
P
PB
AQ
OP
OQ
= =
2
5
ρ + × ρ θ2 2 2(
6
5
) - 2 cos = (
4
5
)
6
5
即 5ρ2-12ρcosθ+4=0.
习题 3.4.4
1 =
3
2 -cos
.求曲线ρ 过焦点的弦的中点的轨迹方程.
q
2.设M为定角∠POQ内一动点,过M作MP⊥OP,MQ⊥OQ,且使四边
形的面积为定值S,求动点P的轨迹方程.
3.求长轴为16,短轴为12的椭圆的中心与其上各点连线中点的极
坐标方程.
4.设F为长轴为10,短轴为6的椭圆的左焦点,P为椭圆上一点,
点 分线段 成 ,求点 的轨迹.M FP M
FM
MP
=
1
2
5.半径为2的动圆在定圆O:x2+y2=4上滚动,求动圆上一点M的轨
迹的极坐标方程
本文档为【H】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑,
图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。