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2010-11-27 27页 pdf 93KB 194阅读

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is_065388

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H 四、极坐标方程 §3.4.1 直线和圆的极坐标方程 (一)直线的极坐标方程 如图3-93,直线l与Ox轴交于点A,ON⊥l于N,且|ON|=d, ∠ .设 ρ,θ 是直线 上任一点,则 θ ,即 ρ θ .这就是直线 的极坐标方程.我们把ρ θ xON = M( ) l |OM|cos( - ) = d cos( - ) = d l cos( - ) = d j j j j 叫做直线的法式方程. 特别地: (1) d = 0 cos( - ) = 0 = 0 cos( -...
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四、极坐标方程 §3.4.1 直线和圆的极坐标方程 (一)直线的极坐标方程 如图3-93,直线l与Ox轴交于点A,ON⊥l于N,且|ON|=d, ∠ .设 ρ,θ 是直线 上任一点,则 θ ,即 ρ θ .这就是直线 的极坐标方程.我们把ρ θ xON = M( ) l |OM|cos( - ) = d cos( - ) = d l cos( - ) = d j j j j 叫做直线的法式方程. 特别地: (1) d = 0 cos( - ) = 0 = 0 cos( - ) = 0 = 0当 时,ρ θ ,即ρ 或 θ ,ρj j 示极点; θ ,即θ π π ∈ ,它表示过极点的cos( - ) = 0 = + n + 2 (n Z)j j 直线. (2) d 0 = k (k Z) cos = d当 ≠ , π ∈ 时,则ρ θ ± ,它表示垂直于极j 轴且极点到它的距离为d的直线. (3) d 0 = n (n Z) cos( - 2 - n ) = d当 ≠ , π+ π ∈ 时,则ρ θ π π ,j 2 即ρsinθ=±d,它表示平行于极轴且与极轴的距离为d的直线. 例1 sin( + ) = 2 2 已知直线的极坐标方程为ρ θ π ,则极点到该 4 直线的距离是____.(1997年全国高考理科试题) 【解】 ∵ θ π π θ π π θ θ π , sin( + 4 ) = cos 2 4 4 4 - - æ è ç ö ø ÷ = - æ è ç ö ø ÷ = - æ è ç ö ø ÷cos cos ∴该直线的极坐标方程为ρ θ π .cos - 4 2 2 æ è ç ö ø ÷ = 从而由直线的法式方程可得 . 故极点到该直线的距离为 . d = 2 2 2 2 例 2 求经过点A(m,0)(m>0)且与极轴正方向夹角为α的直线l的 方程. 【】 求出 、 ,代入法式方程ρ θ 中即可. d cos( - ) = dj j 【解】 如图3-94,过O作OH⊥l于H,则d=|OH|=msinα,Ox轴 正方向到OH的角为 j = - - æ è ç ö ø ÷ = - π α α π . 2 2 于是,直线l的方程为 ρ θ α π α,cos( - + 2 ) = asin 即ρsin(α-θ)=asinα. (二)圆的极坐标方程 已知⊙O′的圆心 O′(ρ0,θ0),半径为 r.设 M(ρ,θ)是⊙O′ 上任一点,则由|MO′|=r和两点间距离公式,得 ( )ρ ρ ρ ρ θ θ = .2 02 0 02+ - -cos r 于是⊙ ′的极坐标方程为ρ ρ ρ θ θ ρ .O - 2 cos( - ) + - r = 02 0 0 2 0 2 我们把ρ ρ ρ θ θ +ρ 叫做圆的方程.2 0 0 2- 2 cos( - ) - r = 00 2 特别地: (1)当圆过极点,圆心为O′(r,θ0)时,圆的方程为 ρ=2rcos(θ-θ0). (2) O (r 2 )当圆过极点,圆心为 ′ , π 时,圆的方程为 ρ=2rsinθ. (3)当圆心在极点时,圆的方程为ρ=r. 例1 = 4sin( - 3 ) [ ]在极坐标系中,曲线ρ θ π 关于 A = B = 5 C (2 ) D .直线θ π 轴对称 .直线θ π 轴对称 .点 , π 中心对称 .极点中心对称 3 6 3 (1999年全国高考理科试题) 【解】 ∵原方程可化为ρ π θ π ,= 4cos 2 3 - + æ è ç ö ø ÷ 即 ρ θ π ,= 4cos( - 5 6 ) ∴此曲线是圆且圆心在直线θ π 上. 于是此曲线关于直线θ π 轴对称. = 5 = 5 6 6 故 应选B. 例 2 求下列圆的圆心和半径: (1) - 3 cos - 3 3 sin 5 = 0 (2) = 5 3cos -5sin 2ρ ρ θ ρ θ+ ; ρ θ θ. 【分析】 把方程化为圆的标准方程ρ2-2ρ0ρ·cos(θ-θ0)+ ρ 的形式,便可求得圆心 ρ ,θ 和半径 .0 2 - r = 0 ( ) r2 0 0 【解】 (1)原方程可化为 ρ ρ θ θ ,2 - 6 + 5 = 0 1 2 3 2 cos sin+ æ è ç ö ø ÷ 即 ρ × ρ θ π .2 2 2- 2 3 cos( - 3 ) + 3 - 2 = 0 ∴它的圆心为 , π ,半径 .(3 ) r = 2 3 (2)原方程可化为 ρ ρ θ ρ θ ,2 +5 3 cos -5 sin = 0 即 ρ × ρ θ θ , ρ × ρ θ π , - 2 5 ( 3 2 cos - 1 2 sin ) = 0 - 2 5 cos( + 6 ) +5 - 5 = 0 2 2 2 2 于是 它的圆心为 , π ,半径 . (5 6 ) r = 5- 【解说】 (1)本题也可化为直角坐标方程去求解; (2) (2) = 2 5cos( + 6 )第 题中原方程也可化为ρ × θ π ,从而可得圆 心为 , π 、半径为 .(5 ) 5- 6 例 3 极坐标方程分别为ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是 [ ] A 2 B C 1 D. . . .2 2 2 (1992年全国高考理科试题) 【解】 ∵圆ρ θ的圆心为 , ,圆ρ θ的圆心为 = cos O ( 1 2 0) = sin1 O 2 1 2 2, π , æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ∴ .|O O |= 1 21 2 æ è ç ö ø ÷ + æ è ç ö ø ÷ = 2 21 2 2 2 故 应选D. 例 4 求证:圆 C1:ρ2+12ρcosθ+6ρsinθ-19=0与圆C2:ρ2-4 ρcosθ-6ρsinθ+9=0相切,并求切点的极坐标. 【分析】 化为直角坐标方程再去求解. 【解】 在直角坐标系中, ⊙C1:(x+6)2+(y+3)2=82, ⊙C2:(x-2)2+(y-3)2=22. ( ) ( )从而 两圆圆心距 = - 6 - 2 = 102 23 3+ - - =8+2=两圆半径之和, ∴两圆相切. 解方程组 + , + , (x + 6) (y + 3) = 8 (x - 2) (y - 3) = 2 2 2 2 2 2 2 ì í ï îï 得切点坐标为 , . 把 , 化为极坐标,得切点的极坐标为 2 5 9 5 2 5 9 5 æ èç ö ø÷ æ èç ö ø÷ 1 5 85 9 2 , .arctgæèç ö ø÷ 习题 3.4.1 1.选择题: (1) P(3 ) [ ]过点 , π ,且平行于极轴的直线的极坐标方程是 4 A = 3 2 3 B sin C sin = 3 2 2 D cos = 3 2 .ρ .ρ= θ .ρ θ .ρ θ 3 2 2 2 (2) = cos 4 [ ]极坐标方程ρ π θ 所表示的曲线是- æ è ç ö ø ÷ A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 (1994年全国高考理科试题) (3) cos = 4 3 [ ]极坐标方程ρ θ 表示 A.一条平行于x轴的直线 B.一个圆 C.一条垂直于x轴的直线 D.一条抛物线 (1986年全国高考理科试题) (4)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是 [ ] A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 (1987年全国高考理科试题) 2.填空题: (1) ( - 3) - 6 = 0极坐标方程 ρ θ π 表示的曲线是 . æ è ç ö ø ÷ (2)圆ρ2+2ρcosθ-6ρsinθ+5=0的圆心坐标是____,半径 r=____. (3) 2 -2 2 cos 4 1= 02极坐标方程 ρ ρ π θ + 表示的图形是 .- æ è ç ö ø ÷ 3 = 2cos -2 3 sin + 2 = 02.已知两圆的极坐标方程为ρ θ和ρ ρ θ , 求证这两圆相外切,并求切点坐标. 4 - 2 2 sin ( + 4 ) + 2sin2 = 0(02.画出极坐标方程ρ ρ θ θ π θ ≤θ≤ π 所表示的曲线. 2 ) 5.求下列各题中动点P的轨迹方程: (1)从极点O作圆ρ=acosθ的动弦OA,并延长OA到点P,使|AP|=a. (2)从极点O作直线与已知直线ρcosθ=4相交于点A,在线段OA上 取一点P,使OA·OP=12. 6.已知直线 l的极坐标方程将ρcosθ=4,⊙A的极坐标方程为ρ =4cosθ.过极点O作直线分别与⊙A和直线l交于点 M、N,求 MN的中 点P的轨迹方程. 7.过原点O的一条直线交圆x2+(y-1)2=1于点Q,在直线OQ上取一 点P,使点P到直线y=2的距离等于|PQ|,当此直线绕原点旋转时,求动 点P的轨迹方程(用极坐标法去解). 习题 3.4.1 答案或提示 1.(1)C.(2)D.(3)C.(4)B. 2 (1) 3. 圆心为极点、半径为 的圆或过极点倾角为 π 的直线. 6 (2)( 10 - arctg3) r (3) ,π , = . 点 , π . 5 2 2 4 æ è ç ö ø ÷ 3 (1 ).化为直角坐标方程去解,切点的极坐标为 , π . 3 4.原方程可化为(ρ-2sinθ)(ρ-2cosθ)=0,从而ρ=2sinθ或ρ =2cos θ ≤θ≤ π .(0 2 ) 5.(1)ρ=a(1+cosθ);(2)ρ=3cosθ. ( ) 6.ρ θ θ .= +2 1 2cos cos 7 Ox P = 2 = 3 2 ( R).在极坐标系 中,动点 的轨迹方程是ρ 或θ π ρ∈ . 在直角坐标系xOy中,动点P的轨迹方程是x2+y2=4或x=0. §3.4.2 圆锥曲线的统一方程 (一)圆锥曲线的统一定义 椭圆、双曲线、抛物线的统一定义为: 平面内与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等 于常数e的点的轨迹,当0<e<1时是椭圆;当e>1时是双曲线;当e=1 时是抛物线. 例 1 已知圆锥曲线的离心率为e,F是焦点,AB是过焦点F的弦, 弦两端 、 到焦点 对应的准线 的距离分别为 、 ,那么A B F l d d1 2 | |AB d d1 2+ =____. 【解】 3 - 95 = |BF| d = e 2 如图 ,由圆锥曲线的统一定义,得 . | |AF d1 由等比定理,得 | | | |AF BF d + +d = e 1 2 , 即 . | |AB d d1 2+ = e 例 2 如图3-96,设圆锥曲线的焦点弦为PQ(焦点为F),过P、Q分 别作焦点F的对应准线l的垂线,垂足分别为M、N.若梯形PQNM绕准线 旋转一周所得圆台的侧面积为S1,以线段MN为直径的球的全面积为S2, 试比较S1与S2的大小. 【分析】 因 S1=π(|NQ|+|MP|)·|PQ|,由圆锥曲线的统一定义 知,可用|PQ|表示|NQ|+|MP|,然后再去比较大小. 【解】 如图3-96.由圆锥曲线的统一定义,得 | | | |PF PM QF QN = e e, ,= 即 , ,|PM|= 1 e |PF| |QN|= 1 e |QF| ∴ + + .|PM| |QN|= 1 e (|PF| |FQ|) = 1 e |PQ| 设PQ的倾角为α,则 |PQ|sinα=|MN|. ∵S1=π(|MP|+|NQ|)·|PQ| = e |PQ|2 π , S2=π|MN|2=π|PQ|2sin2α, ∴ α . S S e 1 2 2 1 = sin 于是 当sin2α≤1时,S1≥S2; 当esin2α≥1时,S1≤S2. (二)圆锥曲线的统一方程 如图3-97,设圆锥曲线的离心率为l,焦点 F到对应准线 e的距离 |KF|=p(焦参数),以焦点F为极点(对椭圆取左焦点,对双曲线取右焦点), FK的反向延长线Fx为极轴,则圆锥曲线的统一方程为 ρ ρ θ .= e 1 - ecos 对抛物线,由于 ,所以它的极坐标方程为ρ θ .e = 1 = p 1- cos 对有心曲线 椭圆、双曲线 ,由于 , ,所以它们的极( ) e = c a p = b2 c 坐标方程为ρ θ .= b 2 a c- cos 例 1 在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0), 离 心率为e,则它的极坐标方程是 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C e 1- ecos D .ρ θ .ρ θ .ρ θ .ρ θ = - - = - - = - = - - e e e c e e c e c e e e 1 1 1 1 1 1 1 2 2 cos cos cos (1995年全国高考理科试题) 【解】 由已知可得 椭圆的极坐标方程为 ( ) ( ) ( ) ρ θ . ∵ . ∴ρ θ . = ep 1- ecos p = = c 1- e 2 b c a c c c e c c c e e e e 2 2 2 2 2 2 2 1 1 = - = æ èç ö ø÷ - = - - cos 故应选D. 例2 = 3 2 - cos 椭圆的极坐标方程为ρ θ ,则它在短轴上的两个顶 点的极坐标是 [ ] A.(3,0),(1,π) B C D . , π , , π . , π , , π . , , , π 3 2 3 3 2 3 3 2 5 3 7 3 2 7 2 3 2 æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ - æ è ç ö ø ÷arctg arctg (1996年全国高考理科试题) 【解】 ∵椭圆的极坐标方程为ρ θ , 又 在ρ θ 中, = b = 3 2 - cos 2 a c- cos 2 -1 = ( 3)2 2 2, ∴ = , = , = .a 2 b c 13 从而 在图 中, , , = , 3 - 98 |FB |=|FB |= 2 |OB |=|OB |= 3 |FO| 11 2 1 2 ∴∠ =∠ = = = π .OFB OFB arctg b c arctg 31 2 3 于是 短轴的两个端点的极坐标分别为 , π 和 , π . (2 ) (2 ) 3 5 3 故 应选C. 例 3 已知椭圆的长轴为4,焦距|F1F2|=2,过椭圆的左焦点F1作 互相垂直的两弦 、 ,它们的长度之和为 ,求这两弦的长度之AB CD 48 7 积. 【解】 如图3-99,以椭圆的左焦点F1为极点,F1F2为极轴,建立 极坐标系,则椭圆的方程为 ρ θ .= b a - ccos 2 ∵2a=4,2c=2, ∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3 于是 椭圆的方程为 ρ θ .= 3 2 - cos 设弦 的倾角为 ,则 的倾角为 π ,则AB CDj g 2 + ( )|AB|=|AF | |BF |1 1+ = π = 3 2 3 2 3 2 3 2 12 4 2 - + - + - + + = - cos cos cos cos cos j j j j j 即 .|AB|= 12 4 - cos2j 同理 . 由已知,得 + , |CD|= 12 4 - sin |AB| |CD|= 48 7 2j ( )( ) ( )( ) ∴ , ∴ . 故 · × . 12 4 - cos |AB| |CD|= 144 4 - cos 2 2 4 12 4 48 7 4 49 4 4 144 4 49 576 49 2 2 2 2 - + - = - = - = = cos sin sin sin j j j j j j 例 4 如图 3-100,过圆锥曲线的焦点 F的直线交该曲线于 M、N 两点,作MN的垂直平分线(MN的中点为Q)交该曲线的对称轴于R, 求证: 是离心率 .|FR|= e 2 |MN|(e ) 【证明】 设圆锥曲线的方程为 ρ θ ,= ep 1- ecos 点M的极角为α,则 |FM|= ep |FN|= ep 1+ ecos |MN|= ep 1- ecos 1 1 2 1 2 2 - + + = - e ep e ep e cos cos cos α , α , 从而 α α α . ∵ α α α α α α |FQ|=||FM|-|QM||=||FM|- 1 2 |MN|| =| ep 1 - ecos - ep 1 - e | = e 2 2 cos |cos | | cos | |cos | cos 2 2 2 2 2 21 1 p e e p e- = - (∵1-e2cos2α>0), 又在 △ 中, α α ,Rt - FQR |FR|= |FQ| |cos | = - e p e 2 2 21 cos ∴ .| FR|= e 2 |MN| 【解说】 =椭圆、抛物线和双曲线的焦半径公式为ρ θ , ep e1- cos 焦点弦长公式为 = α .|MN| 2 1 2 2 ep e- cos 习题 3.4.2 1.选择题: (1) = 16 5 - 3cos 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ θ ,那么它的焦点坐 标是 [ ] A.(0,0),(6,π) B.(-3,0),(3,0) C.(0,0),(3,0) D.(0,0),(6,0) (1991年全国高考理科试题) (2) = 5 3 - 2cos 已知椭圆的极坐标方程是ρ θ ,那么它的短轴长是 [ ] A B C 2 5 D 2 3. . . . 10 3 5 (1989年全国高考理科试题). (3) = ep 1- ecos F AB已知双曲线的极坐标方程为ρ θ ,过右焦点 的弦 与右支交于A、B两点,且AB与极轴成60°的角,则离心率e= [ ] A B C 2 2 D 2 3. . . .2 3 (4) 4 sin = 52极坐标方程 ρ θ 表示的曲线是 2 [ ] A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 (1990年全国高考理科试题) 2.填空题: (1) ( - 3 2 - 6cos ) ( -5) = 02 2极坐标方程 ρ θ + ρ 所表示的图形是 . ( ) (2) = 2 3-2cos (3) = 3 2 2 椭圆的极坐标方程为ρ θ ,它的右准线方程为 . 在极坐标系中,若方程ρ θ θ 表示双曲线, - +m cos sin 则m的值集为______. (4) = ep 1- ecos (e 1)双曲线ρ θ > 的两条渐近线的倾角的大小是 . 3.求证:若圆锥曲线(对双曲线仅取右支)上三点A、B、C的横坐标 成等差数列,则这三点对应的焦半径|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列(F 是焦点). 4.在极坐标系中,已知椭圆的左、右焦点在F1、F2,且F1在极点, 射线F1F2为极轴,又它的两个顶点的坐标为(1,π)、(3,0),求这个椭 圆的极坐标方程. 5 = p 1- cos (1) (2).在抛物线ρ θ 上找出: 极径最小的点; 极径等于 通径2p的点. 6 + y = 1(a b 0) F 2 .过椭圆 > > 的左焦点 作互相垂直的两弦,设它 x a b 2 2 2 们的长分别为 、 ,求证: .l l1 2 1 1 21 2 2 2 2l l a b ab + = + 7.已知一个椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b(a>b>0),过它的左 焦点F1作一弦MN,使|MN|=2b,若MN与长轴的夹角为α,求证: ta = ab a α . 8 + y b = 1(a b 0) F AB 2 2.过椭圆 > > 的左焦点 作互相垂直的两弦 、 x a 2 2 CD,求|AB|+|CD|的最小值. 9.已知点P是圆锥曲线焦半径AF的定比分点,且定比为λ,求证: 点P的轨迹是与原曲线有相同离心率的圆锥曲线. 10.在直角△ABC中,∠C=90°,∠A=α,若顶点C在圆锥曲线的焦 点上,当 B在圆锥曲线上移动,求证:点 A的轨迹是一条与原曲线有相 同离心率的圆锥曲线. 11.过双曲线的焦点F作渐近线的平行线,交双曲线于M,过F作实 轴的垂线交双曲线于点P,求证:|PF|=2|FM|. 12.设M是过抛物线的焦点F的弦PQ的中点,过 M作 PQ的垂线交 对称轴于点 N,求证:|MN|2=|PF|·|FQ|. 习题 3.4.2 答案或提示 1.(1)D.(2)C.(3)A.(4)D. 2 (1) (5 arccos 7 30 ) (5 2 - arccos 7 30 ) (2) cos = 13 5 (3)(- - 2) (2 ) . 点 , 和 , π . ρ θ . ∞, ∪ ,+∞ . (4)arccos 1 e - arccos 1 e ,π . 3 = ep 1- ecos cos = e - p.由焦半径公式ρ θ ,得ρ θ ρ ,然后利用 x=ρcosθ去证. 4 = 3 2 - cos 5 (1)( p 2 ) (2)(2p ) (2p ) .ρ θ . ,π , , π , , π . 3 5 3 6.椭圆的极坐标方程为ρ= θ ,则由焦点弦长公式,得 ep e1- cos 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 21 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2l e ep l e ep l l e ep a b ab = - = - + = - = +cos sinα , α ,所以 . 7 |MN|= 2ep 1- e = 2ab = 2b tg 2 2 . α α α= . cos cos2 2 2 2a c ab a - Þ 8 |AB|= 2ab |CD|= 2ab 2 2 . α α , α α , a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin cos + + ( ) ( )( )u =|AB|+|CD|= 2ab2 a b a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + +cos sin sin cosα α α α . 因为a2cos2α+b2sin2α+a2sin2α+b2cos2α=a2+b2, 所以当a2cos2α+b2sin2α=a2sin2α+b2cos2α,即 tg2α=1时,umin= 8 2 2 2 ab a b+ . 9 = ep 1- ecos P = ep 1ecos .设原圆锥曲线为ρ θ .动点 的轨迹方程为ρ ′ θ ( ) ( p = 1+ )其中 ′ λ λ . p 10 = ep 1 - ecos A.设原圆锥曲线为ρ θ .动点 的轨迹方程为ρ = epctg e α θ± π . 1 2 - æ èç ö ø÷ cos 11 cos = 1 e .设渐近线与极轴的夹角为α,即 α .由焦半径公式,得 ( )|FM|= ep 1- ecos + |FP|= ep 1- ecos 2 = ep |FP| 2|FM| π α , π .所以 = .= ep 2 12 3 101 = p NFM =.如图 - ,设抛物线的方程为ρ θ ,∠ α, 1- cos 则 α , α ,从而 · α .|FP|= p 1- cos |FQ|= p 1+ cos |FP| |FQ|= p2 sin2 |MN| (|MF|tg ) [ 1 2 (|FP|-|FQ|)] tg = p 2 2 2 2 2 = α = α α . sin2 ∴|MN|=|FP|·|FQ|. §3.4.3 直角坐标与极坐标的互化 (一)直角坐标与极坐标的互化公式 若极坐标系的极点和极轴分别是直角坐标系的原点和x轴的正半轴, 则平面内一点P的直角坐标(x,y)和极坐标(ρ,θ)之间有下列公式: x = cos y = sin = x + y tg = y x (x 0) 2 2 2 ρ θ, ρ θ; 或 ρ , θ ≠ . ì í î ì í ï îï 例 1 把点P的直角坐标(-1,-2)化为极坐标. ( ) ( )【解】 = tg = - 2 -1 = 2ρ , θ ,- + - =1 2 52 2 ∵点P在第三象限,ρ>0, ∴取θ=π+arctg2. 因此,点 的极坐标为 ,π+ .P ( 5 arctg2) 【解说】 由 θ 确定θ时,可根据点 所在的象限取最小正tg = y x P 角. (二)极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.把直角坐标方程化为极坐标方程 把直角坐标方程化为极坐标方程通常有两种方法: (1)把x=ρcosθ、y=ρsinθ代入原方程去解. (2)从直角坐标方程表示的曲线入手,用求轨迹方程的方法去解. 例2 x = 2p(y + p 2 )(p 0)2把直角坐标方程 > 化为极坐标方程. 【解法 1】 把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入原方程,整理,得 ρ2=(ρsinθ+p)2, ∴ρ=ρsinθ+p或ρ=-(ρsinθ+p), 即 ρ θ 或ρ θ .= p 1- sin = - p 1+ sin ( )方程ρ θ 可化为 ρ π θ ,= - p 1 + sin - = p 1- sin + 而(-ρ,π+θ),与(ρ,θ)是同一点, ∴ρ θ 与ρ θ 是同一曲线.= - p 1+ sin = p 1- sin 故所求的极坐标方程为ρ= ρ θ .= - p 1 sin 【解法2】 3 102 x = 2p(y + p 2 )2如图 - ,方程 表示焦点在原点、 轴y 为对称轴、焦参数为p,开口向上的抛物线. 在极坐标系 Ox中,设抛物线上任意一点为 P(ρ,θ),P到准线 l 的距离为|PM|,则由抛物线的定义,得 |PO|=|PM|, 即 ρ=p+ρsinθ, ∴ρ θ ,这就是所求的极坐标方程.= p 1- sin 2.把极坐标方程化为直角坐标方程 把极坐标方程化为直角坐标方程就是设法把ρ2=x2+y2、ρcosθ= x sin = y tg = y x 、ρ θ 、 θ 代入原方程进行化简. 例 3 把极坐标方程ρcos2θ+3ρsin2θ-4sinθ=0化为直角坐标 方程. 【解】 在原方程中,当sinθ=0时,ρ=0, ∴曲线ρcos2θ+3ρsin2θ-4sinθ=0过极点.从而将原方程两边 乘以ρ,得(ρcosθ)2+3(ρsinθ)2-4(ρsinθ)=0. 把ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式,得 x2+3y2-4y=0就是所求的直 角坐标方程. 【解说】 将极坐标方程F(ρ,θ)=0两边乘以ρ时,要注意曲线 是否过极点,否则所得的直角坐标方程f(x,y)=0与极坐标方程F(ρ, θ)=0不一定代表同一曲线. 例4 把极坐标方程ρ θ θ 化为直角坐标方程.= cos cos2 【解】 显然,这条曲线过原点. 把原方程两边乘以ρ,整理,得 ρ2cos2θ-ρcosθ=0, 从而 ρ2(cos2θ-sin2θ)-ρcosθ=0, 即 (ρcosθ)2-(ρsinθ)2-ρcosθ=0. 于是 所求的直角坐标方程为 x2-y2-x=0. (三)直角坐标与极坐标互化的应用 例 5 动直线Ax+By+1=0截定椭圆b2x2+a2y2=a2b2于P、Q两点, 且弦PQ与椭圆中心O所张的角∠POQ=90°,求证:A2+B2是定值. 【证明】 以点 O为极点、Ox为极轴建立极坐标系,则 b2x2+ a2y2=a2b2化为 ρ2b2cos2θ+ρ2a2sin2θ=a2b2, 于是 ρ θ θ .= ab b2 cos sin2 2 2+ a 从而可设 点极坐标为 θ θ ,θ ,则 点极P Q1 ab b a2 2 1 2 2 1cos sin+ é ë ê ê ù û ú ú 坐标为 θ θ ,θ π . ab b a2 2 1 2 2 1 1 2sin cos+ + é ë ê ê ù û ú ú 又Ax+By+1=0化为ρ(Acosθ+Bsinθ)+1=0. 将点P、Q的极坐标代入上式并整理,得 Aabcos Babsin = - b - Aabsin Babcos = - b 1 1 2 1 1 2 θ + θ θ θ ① θ + θ θ θ ② cos sin sin cos 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 + + a a ①2+②2,得 A2a2b2+B2a2b2=a2+b2, ∴ + ,即 + 是定值.A B = 1 a A B2 2 2 2 2+ 1 2b 例6 = 8cos M M在抛物线ρ θ θ 上有一点 ,它的极径等于 到准线的 sin2 l 距离,求点M的坐标. 【分析】 把极坐标方程化为直角坐标方程,用直角坐标法求解. 【解】 把方程ρ θ θ 化为直角坐标方程,得 .= 8cos sin y = 8x2 2 如图 - ,设点 , ,则它到准线的距离为3 103 M( y 8 y )0 2 0 |MN|= 2+ . y0 2 8 ∵|OM|=|MN|, ∴ .y y y 0 2 0 2 0 2 64 2 8 + = + 解之,得 ± .y = 2 20 从而点 为 ,± .M (1 2 2) 把它化为极坐标,得点 ,± .M(3 arccos 1 3 ) 习题 3.4.3 1.选择题:(1)曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为 [ ] A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4 (1998年高考理科试题) (2) + y = 1 F Fx 2 以椭圆 的右焦点 为极点, 为极轴建立极坐标系, x a b 2 2 2 记 , ,则此椭圆的极坐标方程为e = c a p = b [ ] 2 c A = ep 1+ ecos B = ep 1- ecos C = - ep 1+ ecos D = - ep 1- ecos .ρ θ .ρ θ .ρ θ .ρ θ 2 P Q (4 ) (-2 ).已知点 、 的极坐标分别为 , π 、 , π ,求它们的 2 3 5 6 直角坐标. 3.已知点M、N的直角坐标分别为(-2,-3)、(0,-3),求它们的极 坐标. 4.已知极点的直角坐标为P(1,-2),极轴平行于x轴的正半轴(且 方向相同 ,求点 , + 的极坐标.) Q(-5 - 2 2 3) 5.将极坐标方程化成直角坐标方程: (1)ρ=cosθ-sinθ; (2) = 4cos( 3 + ) (3) = 36 1+8sin 2 2 ρ π θ ; ρ θ ; (4)ρ3sinθcos2θ-ρ2cos2θ-ρsinθ+1=0. ( ) 6 - y = 1(a b 0 c 0 a - b = c ) 2 2 2 2.把直角坐标方程 > > , > , 化 x c a b - 2 2 2 为极坐标方程. 7 F + y = 1 A B C 2 .设 为椭圆 的左焦点, 、 、 为椭圆上的三点, x2 25 9 且满足∠ ∠ ∠ .求证: 为定值.AFB = BFC = CFA 1 1 1 | | | | | |FA FB FC + + 8 -12 cos( - 4 ) + 27 = 02.求曲线ρ ρ θ π 上的点与极点的距离的最 大值和最小值. 9.已知AB、CD是过抛物线y2=8x-2的焦点F的两条弦,AB、 CD = 1 2 |AB|= 2|CD| |AB| |CD|的倾角分别为α,β,且α β, ,求 和 . 10.过双曲线b2x2-a2y2=a2b2的右焦点F引一直线,使该直线被双曲 线截得的线段AB被焦点F分成2∶1两段,求这直线的斜率. 11 + y = 1(a b 0) F AB A 2 1.过椭圆 > > 的左焦点 作一弦 交椭圆于 、 x a b 2 2 2 B F S ( 3 104)2 2F AB ,又椭圆右焦点为 ,求 的最大值 如图 - .△ 12 OP OQ OR + y b = 1 2 2.设 、 、 是椭圆 的三条中心半径,且每相 x a 2 2 邻两条夹角都是 π ,求证: 2 3 1 1 1 3 2 1 1 2 2 2 2 2| | | | | |OP OQ OR a b + + = + æ èç ö ø÷. 习题 3.4.3 答案或提示 1 (1)B (2)A 2 P(-2 2 3) Q( 3 -1) 3 M( 13 arctg 3 2 ) N(3 ) . . .. . , 、 , . . ,π+ 、 , π . 3 2 4 Q(4 3 5 6 ). , .p 5.(1)x2+y2-x+y=0 (2)x y - 2x 2 3y = 02 2+ + (3)x2+9y2=36 (4) ( sin -1)( cos2 -1) = 02原方程 ρ θ ρ θÛ y=1或x2-y2=1 6 = b 7 = 9 5- 4cos 2 .ρ .用极坐标方程ρ 去解. . a FA FB FC - + + = cosq q 1 1 1 5 3 8 d 6 3 9 d 6- 3 3 9 = 4 1- cos |AB|= 16 |CD|= 8 max min. = + = , = = . .用极坐标方程 ρ 去解, , . q 10 = ep 1-ecos |AF|= ep 1-ecos |BF|= ep 1+ecos cos = tg = .用极坐标方程ρ 去解. , ,由 或 ,得 α ± ,从而 α ± . q a a AF BF e a b a = +2 1 1 2 1 3 8 92 2 11 = ep 1- ecos |AB|= ep 1- ecos + ep 1+ ecos S = 2cpesin F AB2 .用极坐标方程ρ 去解. , 从而△ q q q q q q q q = - - = - + 2 1 1 2 12 2 2 2 2 2 ep e e cep e e cos cos sin sin 当 ≤ 即 ≤ < 此时 < , θ 时, ,当 > 即 < < 此时 > , θ 时, . 1 - e e e 1( b c) sin = 1 - e e S = ab 1- e e 0 e ( b c) sin = 1 S = 2b 2 2 2 max 2 2 max 2 2 2 2 2 = b c c a 12.把直角坐标方程化为极坐标方程,用极坐标法求解.设点P ( ) cos sin r p p r q q 1 2Q( + 2 ) R( + 4 ),α 、 ρ ,α 、 ρ,α ,利用 3 3 1 2 2 2 2 2= +a b 和三角函数降幂公式求解. §3.4.4 求曲线的极坐标方程的方法 求曲线的极坐标方程通常有下列几种方法: (一)直译法 直译法求曲线的极坐标方程的步骤是: 1.建立适当的极坐标系Ox,设曲线(轨迹)上任一点M的坐标(ρ, θ),并连结OM; 2.找出动点M所适合的条件p,并写出点M的集合P={M\p(M)}; 3.运用几何、三角等方面的知识,设法用ρ、θ表示条件p(M),列 出含ρ、θ的等式,并化简、整理,得极坐标方程F(ρ,θ)=0. 一般地说,用直译法求轨迹方程,建立ρ、θ满足的方程,要通过 解三角形来实现.对于直角三角形可用锐角三角函数的定义和勾股定理, 对于任意三角形可用正弦定理和余弦定理,有时要用到三角形的面积公 式 .S = 1 2 absinC 例 1 底边固定,其它两边的乘积等于底边一半的平方,求这三角 形顶点的轨迹方程. 【解】 如图3-105,以底边AB的中点 O为极点,OB及其长线 Ox 为极轴建立极坐标系.设|AB|=2a,动点C(ρ,θ),连结CO,则动点C 的轨迹就是集合P={C\|AC|·|CB|=a2}. 将已知条件用坐标ρ、θ表示,得 [ cos( )][ cos ]a r ar p q a r ar q a2 2 2 22 2+ - - + - = 2, 整理,得 ρ2(ρ2-2a2cos2θ)=0, 即 ρ2=2a2cos2θ ① 或 ρ=0 ② 显然②是①的特例. 故 动点C的轨迹方程是ρ2=2a2cos2θ. (二)转化法(代点法) 所谓转化法就是,若欲求的动点P(ρ,θ)的轨迹与另一个动点Q(ρ ′,θ′)的轨迹有依赖关系,且这个关系式ρ′=f(ρ,θ)和θ′=g(ρ, θ)可以求出,则求动点P的轨迹转化为求动点Q的轨迹,一旦Q的轨迹 方程 F(ρ′,θ′)=0求得,那么 F[f(ρ,θ),g(ρ,θ)]=0就是动 点P的轨迹方程. 例 2 如图3-106,直线l与极轴垂直于M点,且极点O到l的距离 |OM|=a,一群正三角形(大小可变,但形状不变)的一个顶点在极点,另 一个顶点P在直线l上滑动,第三个顶点Q在OP边的上方,求△OPQ的 重心G的轨迹方程. 【分析】 重心G依赖于顶点P,而P在定直线l上,因此,找出G 与P的坐标关系式,问题可迎刃而解. 【解】 P( )( 0 | | )设点 ρ′,θ′ ρ′> ,θ′< ,则 p 2 ρ′cosθ′=a (*) 又设重心G(ρ,θ),则由正三角形的性质,得 ρ′ ρ,θ′ θ .= 3 = - p 6 把它们代入(*)中,得动点G的轨迹方程为 3 6 ρ θ .cos( - ) = a p (三)公式法 我们已经熟悉了常见曲线(包括直线)的极坐标方程,如直线ρ cos(θ - = d -2a cos( - ) + -r = 0 = ep 1-ecos 2 0 2 20α ,圆ρ ρ θ θ ρ ,圆锥曲线ρ ,当所) q 求轨迹是上述常见曲线时,可把这些方程当作公式来使用,从而迅速求 出轨迹方程. 例 3 如图3-107,已知圆ρ=2rcosθ和点A(2rcosα,α)、B(2rcos β,β),求直线AB的方程. 【解】 作 OH⊥AB于 H,设圆与极轴的另一个交点为 M,在△OAH 与△OMB中,∠HAO=∠BMO,∠AHO=∠OBM=90°,∴ ∠AOH=β,OH=OAcos β=2rcosαcosβ. 把α+β、2rcosαcosβ分别代替方程ρcos(θ-α)=d中的 α、d, 得直线AB的方程为 ρcos(θ-α-β)=2rcosαcosβ. (四)韦达定理法 例 4 过极点O作动直线l交椭圆C:(sin2θ+2cos2θ)ρ2-4(sin θ+cosθ)ρ+4=0于P、Q两点,在线段PQ上有一点M,使 2 1 1 OM OP OQ = + ,求动点 的轨迹方程.M 【解】 如图3-108,设动点M(ρ,θ),直线OQ与x轴的正向夹 角为θ=α,把它代入椭圆方程中,得 (sin2α+2cos2α)ρ2-4(sinα+cosα)ρ+4=0. ∵ △=16(sinα+cosα)2-16(sin2α+2cos2α)≥0, ∴ cosα(cosα-2sinα)≤0 ① 由图易得 <α≤0 p 2 ② 从而由①、②可得0≤cosα≤2sinα, 即 ≤α≤ . arctg 1 2 p 2 由韦达定理,得 |OP| |OQ|= + = 4(sin |OP| |OQ|= = 4 sin 1 2 1 2 2 + ρ ρ , · ρ ·ρ . a a a a a a + + + cos ) sin cos cos 2 2 2 2 2 由已知,可得 2 1 1 1 2 1 2 1 2r r r r r r r = + + = + ∴ α α, 2 = sin + cos r 即 ρ(sinα+cosα)=2. ∴ 动点M的轨迹方程为 ρ θ+ θ ≤θ≤ .(sin cos ) = 2(arctg 1 2 ) p 2 (五)参数法 如果动点M(ρ,θ)的坐标ρ、θ满足的方程不易直接求得,且ρ、 θ与第三个变量 参数 的关系式 ρ θ 易求得,从而消去,就得到( )t = f(t) = g(t) ì í î t 所求的轨迹方程F(ρ,θ)=0. 例 5 半径为r的定圆O上有两个动点P、Q,它们同时从圆 O上一 定点A出发,按逆时针方向作匀角速度运动,点 Q的角速度是点 P的角 速度的a倍(a>1),求动线段PQ中点M的轨迹方程. 【解】 如图3-109,以O为极点、OA及其延长线为极轴,建立极 坐标系. 以点P、Q自点A出发运动的时间t为参数,设点P的角速度为ω, 则点Q的角速度为aω. 从而点P(r,ωt)、Q(r,aωt). 设点M(ρ,θ),则由OM⊥PQ,得 ρ ∠ ω θ ω ω ω + ω. =|OP|cos 1 2 POQ = rcos t = t + 1 2 (a t - t) = 1 2 (a 1) t a - 1 2 ∴ 动点M轨迹的参数方程为 ρ ω, θ ω . = rcos t = 1 2 (a +1) t a -ì í ïï î ï ï 1 2 消去参数t,得所求的轨迹方程为 ρ θ.= rcos a a - + 1 1 (六)平面几何法 求轨迹方程时,熟练地使用平面几何中直线和圆等有关知识,往往 可以化难为易,使许多题目的解法简捷清晰. 例 6 从极点O引一直线和⊙A:ρ2-6ρcosθ+5=0相交于Q, 点 内分线段 成比 ,当 在圆上移动时,求动点 的轨迹方程.P OQ Q P 2 3 【解】 如图 3-110,⊙A:ρ2-6ρcosθ+5=0可写成ρ2-2×3ρ cosθ+32-22=0, ∴ A(3,0),半径r=2,连结AQ,过P作PB∥QA交Ox于B. ∵ , ∴ , ∴ × , OP PQ OB AB OP OQ OB OA OB = = = = = = 2 3 2 5 2 5 3 6 5 又 , ∴ × × , ∴ 动点 的轨迹方程是 |PB|= 2 5 |AQ|= 2 5 2 = 4 5 P PB AQ OP OQ = = 2 5 ρ + × ρ θ2 2 2( 6 5 ) - 2 cos = ( 4 5 ) 6 5 即 5ρ2-12ρcosθ+4=0. 习题 3.4.4 1 = 3 2 -cos .求曲线ρ 过焦点的弦的中点的轨迹方程. q 2.设M为定角∠POQ内一动点,过M作MP⊥OP,MQ⊥OQ,且使四边 形的面积为定值S,求动点P的轨迹方程. 3.求长轴为16,短轴为12的椭圆的中心与其上各点连线中点的极 坐标方程. 4.设F为长轴为10,短轴为6的椭圆的左焦点,P为椭圆上一点, 点 分线段 成 ,求点 的轨迹.M FP M FM MP = 1 2 5.半径为2的动圆在定圆O:x2+y2=4上滚动,求动圆上一点M的轨 迹的极坐标方程
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