3-3洛必达法则

    0 2 2 0 0 tan 2 tan 0 ln lim lnlim cot lim 2 1 lim ln lim lim sin 1lim x a x x x x x x x x x x a x a x x x x x x x x x                    0 0      0   00 1 0 不定型︵式︶不定型︵式︶ 0 0 表示无穷小；表示无穷小； 表示无穷大：表示无穷大：1 1 表示极限为表示极限为 1 1 的函数．的函数． 第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 与 型不定式 型不定式 几点注意 0 0   0 0, 0 , 0 , 1 ,     首先讨论首先讨论 时时 的情形．的情形．x a 0 0 一、 与 型不定式00   (1) (1) 设设    lim 0, lim 0 x a x a f x g x   (2) (2) 设设ff ( ( xx ) , ) , gg ( ( xx ))在某在某 内可导，且内可导，且 ,N a    0g x  求求    limx a f x g x 解法：设解法：设  ,x N a  (1) (1) 定义定义 ff ((aa) = ) = gg ((aa) = 0, ) = 0, 则则 ff ((xx) , ) , gg ((xx))在在[[aa, , xx]]或或[[x, ax, a]]上连续．上连续． (2) (2) ff ( ( xx ) , ) , gg ( ( xx ))在在 ((aa, , xx) ) 或或 ((x, ax, a) ) 内可导，且内可导，且   .0g x  由由CauchyCauchy中值定理得：中值定理得： ，使，使   , ,a x or x a                  f f x f a f x g x g a g xg      x a a          lim limx a a f x f g x g               lim lim x a f x g x x a f x g x       存在 洛必达法则：洛必达法则： 若若ff ( ( xx ) , ) , gg ( ( xx ))满足：满足： (1) (1)    lim 0, lim 0 x a x a f x g x   (2) (2) ff ( ( xx ) , ) , gg ( ( xx ))在某在某 内可导，且内可导，且 ,N a    0g x  (3)(3)     limx a f x A g x    或 则有则有         lim limx a x a f x f x A g x g x     或 说明 (1)(1) 可以改为可以改为 或或x a x a x a (2) (2) 时不定型时不定型 也有相应的洛必达法则．也有相应的洛必达法则．x a  (3)(3)洛必达法则对洛必达法则对 时时 或或 x x x  或  0 0 的情形仍成立．的情形仍成立． 【【例例11】】   0 1 1 lim x x x       1 0 0 0 1 lim 1x x       0, 1 1 ~x x x    【【例例22】】 3 3 21 3 2lim 1x x x x x x      2 2 0 0 1 3 3lim 3 2 1x x x x    1 0 0 6lim 6 2x x x   1 6lim 1 6x  ×× 3 2  注意 (1)(1)必须是必须是 或或 型不定式才可以考虑用洛必达法则．型不定式才可以考虑用洛必达法则．00   (2)(2)若若 仍属仍属 或或 型，则可继续用洛必达法则．型，则可继续用洛必达法则．  lim f x g x   0 0   【【例例33】】  lnlim 0 x x x   1 1lim x x x    1lim x x 0 一般一般  lnlim 0 0k x x x    【【例例44】】  lim xnx e nx 　　　　自然数自然数 1lim x nx e nx      2lim 1 x nx e n n x     lim ! x x e n     一般一般  lim x x e R x     洛必达法则是求不定式的一种有效方法，但与其它求极 限方法结合使用，效果更好. 注意 【【例例55】】 arctan 2lim 1sin x x x    1 x x x 1 arctan 2lim     0 0 2 2 1 1 1 lim x x x    【【例例66】】 2 tanlim tan 3x x x 2 sin cos 3lim sin 3 cosx x x x x  2 2 sin cos 3lim lim sin 3 cosx x x x x x     2 3sin 3lim sinx x x   0 0 3 【【例例77】】   2 40 sin sin coslim ln 1x x x x x x     40 sin sin cos lim x x x x x x  30 sin coslim x x x x x  20 0 0 sin 1lim 3 3x x x x   ＝－＝－1 1 【【例例88】】设设 在在 xx == aa连续，且连续，且 ，求，求 f x   0f a           0 2 lim x f a x f a x f a x f a x f a x          【【解解】】          0 2 lim x f a x f a x f a x f a x f a x                     0 0 0 lim x f a x f a x f a x f a x x f a x f a x                         0 0 0 lim 2x f a x f a x f a x f a x x f a x f a x                             2 4 2 f a f a f a f a     若条件改为若条件改为 在在 xx == aa可导，且可导，且 ，则，则 f x   0f a           0 2 lim x f a x f a x f a x f a x f a x                     0 0 0 lim x f a x f a x f a x f a x x f a x f a x               0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f a x f a f a x f a x x f a x f a f a x f a f a x f a x x x                              2 4 2 f a f a f a f a     【例9】已知 ，求f (x). ln( )( ) lim ( 0) n n n e xf x x n   ln( )lim y y y e x y 【解法一】 yy yy y xe xxe    lnlim     ex exx 01 ln ＝f (x). 【解法二】       ex ex xf 0 )( ln [1 ( ) ]lim n n n e x e n  ln [( ) 1]lim n n n x e x n  ln[1 ( ) ]lim 0 ln ln[( ) 1]lim n n n n n x e x e n n x e x x e n            ＝1 ＝lnx .lim)( x nn nnxf xx xx n      解 时，当 0x x nn nnxf xx xx n      lim)( x n n x x n 2 2 1 1lim      ,x 时，当 0x x nn nnxf xx xx n      lim)( x n n x x n 1 1lim 2 2    ,x 练习：求 【例10】已知 1 1 1lim 1 ln( 1) (0 ) 2 3n n a a n             1 1 11 2 3lim lnn n n     计算计算 【解】由已知得 1 1 11 ln( 1) 2 3lim 0 lnn n n n         1 1 11 2 3lim lnn n n       ln( 1)lim lnn n n  ln( 1)lim lnx x x  1 1lim 1 1x x x   1 原式 3 3lim ( 1 ) , . x x ax b a    求试题：试题： b =? b =? 二、其他不定型 0 0, 0 , 0 , 1 ,     关键关键::将它们化为基本不定型将它们化为基本不定型 .. 0, 0   【【例例11】】 1 1lim 1 lnx x x x      1 ln 1lim 1 lnx x x x x x        0 1 0 ln 1 1lim 1ln x x xx x     1 lnlim ln 1x x x x x x    1 0 0 ln 1 1lim ln 2 2x x x           1 , 1 , x x               1 ln 1lim 1 ln 1 1x x x x x x       21 1 1 lnlim x x x x x     (( 型型) )    【【例例22】】  2lim 2x x x x         型型 解法一：原式解法一：原式 2 2lim 2x x x x x     (( 型型)) 2lim 1 21 1 x x    解法二：原式解法二：原式 1 20 1 2 1lim x t t t t t          令 0 1 2 1lim t t t        0 0 0 1lim 1 1 2t t      1 1 0 0 0 0 0 0        步骤： 【【例例33】】 0 lim ln x x x 1 10 , 0 0 0          或 步骤： 0 lnlim 1x x x  20 1lim 0 1x x x      0 lim ln x x x 若化为若化为 型型00 0 lim 1 lnx x x  0 2 0 0 1lim 1 1 ln x x x     2 0 lim ln x x x  无法求出．无法求出． 0  型型( ) ( ) 【【例例44】】 0 lim x x x 00( ( 型型) ) ln 0 lim x x x e 0 lim ln x x x e  0 1e  0 ( ( 型)) 【【例例55】】  tan 21lim 2 xx x    1( ( 型型) )   1 l im ta n ln 2 2x x x e      1 ln 2 exp lim cos 2x x x       1 1exp lim cos 2x x x      【【例例66】】  sin 0 lim cot x x x 0( ( 型型) ) 0 l im s in ln c o t x x x e  0 ln cotexp lim cscx x x      2 20 0 tan csc sinexp lim exp lim 1 csc cot cosx x x x x x x x                     2 1 2sin2 1limexp e xx       步骤： 0 0 0 0 ln 0 1 ln1 0 0 ln             取对数取对数 说明 0 00 , , , 0 , 0 , 1 , 0      不定型：不定型： 洛必达法则 型00 ,1,0  型 型0 型 0 0 型  g fgf 1 fg fggf 11 11   取对数 令 gfy  (2) (2) 型型0 00 , 1 ,     g xy f x 先确定是否不定型先确定是否不定型                         3, 0, 0, 3, 3, 0, g x g x g x g x f x f x g x f x f x g x f x f x           0 0 1 1  肯定型肯定型 再问：再问： 是肯定型还是不定型？是肯定型还是不定型？, 0  (1)(1) 型型       0    ？？ 有界量与无穷大之积仍为无穷大有界量与无穷大之积仍为无穷大 ××  0A A     AA表示极限存在但不为零的函数表示极限存在但不为零的函数 方法：化为基本不定型方法：化为基本不定型 或或 ．有时常作倒代换．有时常作倒代换 0 0   1x t  例例   0 1lim ln 1 ln 1 x x x      , 0    (3)(3) 型型1 可利用重要极限可利用重要极限 计算．计算．  1 0 lim 1 x x x e          lim , 1,g xf x f x g x 其中 解法一：解法一：((凑法凑法))    lim g xf x          11 1lim 1 1 g x f x f xf x              Ae 其中其中    lim 1A g x f x           lim 1lim g x f xg xf x e     解法二解法二：：((取对数法取对数法))    lim g xf x    lim lng x f xe     lim ln 1 1g x f xe        lim 1g x f x e    【【例例77】】 2 1 1 0 lim 2 1 x x x x x e        2 1 0 1exp lim 2 1 1 x x x x e x              2 0 1exp 2lim 1x x x x x      2e 2 1 0 1exp 2lim 1 x x x x e x             【例8】计算极限 ．    n n n 1 4 tanlim  【解】 先求     x x x 1 4 tanlim         1 1 4 tanlim x x xe 1 t t te 1 4 tan lim 0       t x 1令 ) 4 (seclim 2 0 t te   2e 2)1 4 (tanlim e n n n    三、几点注意 11．首先判定是否为不定型．首先判定是否为不定型 【【例例11】】 2 1 l i m x x x e  【【例例22】】 1 ln l i m a r c t a n 2 x x x       ln arctan 2lim lnx x x        2lim arctan 12x x x x        21lim arctan 2 x x x x    2 2 0 0 1lim 1 1x x x    00  21 arctan 12 lim 1x x x x             取对数取对数 ∴∴ 原式＝原式＝  1e  22．． 不存在不存在( ( 非非 ) ) 不存在．不存在．  lim f x g x       lim f x g x  【【例例33】】 2 20 1sin lim sinx x x x x    2 2 2 0 02 1 1 1 1sin 2 sin cos lim lim 2 cossin x x x x x x x x x x xx x                0 0 1 12 sin cos lim 0, lim 2 cos 2 cosx x x x x x x x x    不存在不存在   2 0 2 1sin lim sin x x x x x       不存在，洛必达法则失效不存在，洛必达法则失效 0 sin1lim 0 sinx x x x x x   33．洛必达法则的条件一直满足，但．洛必达法则的条件一直满足，但       , f x f x g x g x      一直是不定型或越求越复杂，洛必达法则失效．一直是不定型或越求越复杂，洛必达法则失效． 【【例例44】】lim x x x xx e e e e     【【例例55】】   . sin11 )tan1ln(lim 3sincos1 0 xx xee xx x      xx xxxee xxx x sin )sin11(1lim 33 sincos1sin 0     xx xxx x sin )sincos1(lim2 3 0    x x x x x x xx cos1 3limsincos1lim2 2 02 3 20       4. 4. 利用其它方法或许比用洛必达法则更加有效．或将利用其它方法或许比用洛必达法则更加有效．或将 洛必达法则与其他技巧结合使用．洛必达法则与其他技巧结合使用． xx x x xxx x sin )sincos1(lim2 3 3 3 0    ＝＝6 6 【【例例66】】     0 arctan sin 3 arctan 3 sin lim 4 sin 3 4 3 sinx x x x x     【【解解】】 对对    arctan , 4f t t g t t   在在 [ sin3[ sin3xx, 3sin, 3sinxx ]]或或[3sin[3sinxx, sin3, sin3xx ]]上运用上运用 Cauchy Cauchy 中值定理中值定理:: 存在介于存在介于sin3sin3xx与与3sin3sinxx之间的点之间的点 ，使，使         2 1 arctan sin 3 arctan 3 sin 1 14 sin 3 4 3 sin 2 4 x x f x x g           又又 0 0x    所以所以 原式原式 20 2 4 lim 4 1    