二换元法

】 由S＝x ＋y 联想到cos α＋sin α＝1,于是进行三角换元，设 代入①式求S 和S 的值。 【解】设 代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5 解得 S＝ ； ∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤ ≤ ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ 此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝ 的有界性而求，即解不等式：| |≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 【另解】 由S＝x ＋y ，设x ＝ ＋t，y ＝ －t，t∈[－ ， ]， 则xy＝± 代入①式得：4S±5 =5， 移项平方整理得 100t +39S －160S＋100＝0 。 ∴ 39S －160S＋100≤0 解得： ≤S≤ ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ 【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x ＋y 与三角公式cos α＋sin α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设x ＝ ＋t、y ＝ －t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a ＋13b ＝5 ，求得a ∈[0, ]，所以S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝2(a ＋b )＝ ＋ a ∈[ , ]，再求 ＋ 的值。 例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B， ＋ ＝－ ，求cos 的值。（96年全国理） 【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos 。 【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 , 由A＋C＝120°，设 ，代入已知等式得： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－2 , 解得：cosα＝ ， 即：cos ＝ 。 【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－ ＝－2 ，设 ＝－ ＋m， ＝－ －m ， 所以cosA＝ ，cosC＝ ，两式分别相加、相减得： cosA＋cosC＝2cos cos ＝cos ＝ ， cosA－cosC＝－2sin sin ＝－ sin ＝ ， 即：sin ＝－ ，＝－ ，代入sin ＋cos ＝1整理得：3m －16m－12＝0,解出m ＝6，代入cos ＝ ＝ 。 【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“ ＋ ＝－2 ”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－ ＝－2 ，即cosA＋cosC＝－2 cosAcosC，和积互化得： 2cos cos ＝－ [cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos ＝ － cos(A-C)＝ － (2cos －1)，整理得：4 cos ＋2cos －3 ＝0, 解得：cos ＝ y , , － x 例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a 的最大值和最小值。 【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝ ∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0），t∈[- , ] t＝- 时，取最小值：－2a －2 a－ 当2a≥ 时，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－ ； 当0<2a≤ 时，t＝2a，取最大值： 。 ∴ f(x)的最小值为－2a －2 a－ ，最大值为 。 【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[- , ]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。 一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。 例4. 设对所于有实数x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理） 【分析】不等式中log 、 log 、log 三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 【解】 设log ＝t，则log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，log ＝2log ＝－2t， 代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以： ，解得 ∴ t<0即log <0 0< <1，解得00恒成立，求k的范围。 【分析】由已知条件 ＋ ＝1，可以发现它与a ＋b ＝1有相似之处，于是实施三角换元。 【解】由 ＋ ＝1，设 ＝cosθ， ＝sinθ， 即： 代入不等式x＋y－k>0得： 3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。 y x x＋y－k>0 k 平面区域 本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。 Ⅲ、巩固性题组： 1.​ 已知f(x )＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4 2.​ 函数y＝(x＋1) ＋2的单调增区间是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1] 3.​ 设等差数列{a }的公差d＝ ，且S ＝145，则a ＋a ＋a ＋……＋a 的值为_____。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4.​ 已知x ＋4y ＝4x，则x＋y的范围是_________________。 5.​ 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 ＋ 的范围是____________。 6.​ 不等式 >ax＋ 的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。 7.​ 函数y＝2x＋ 的值域是________________。 8.​ 在等比数列{a }中，a ＋a ＋…＋a ＝2，a ＋a ＋…＋a ＝12，求a ＋a ＋…＋a 。 y D C A B O x 9.​ 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin x＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。 10.​ 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x ＋y ＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。