自控原理_第三章_第4节

null§4 控制系统过渡过程的质量指标§4 控制系统过渡过程的质量指标通常采用的质量指标有两大类。 1、误差性能指标： 系统希望的输出与实际输出之间误差的某个函数的积分，常用的是平方误差积分指标(ISE) ：设 常用在最优系统的设计当中，求取使J达到最小的控制作用。 2、评价系统的单位阶跃响应曲线（过渡过 程）的指标。4.1以阶跃响应曲线形式示的质量指标4.1以阶跃响应曲线形式表示的质量指标(1) 峰值时间tp阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间。tptp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。(2) 最大偏差A和超调量σ(2) 最大偏差A和超调量σ 被控输出第一个波的峰值与给定值的差，如图中的A，A=y(tp)。 随动控制系统:超调量 (3-4-1)y(∞)为过渡过程的稳态值。定值控制系统：通常采用超调量这个指标：tp偏差e＝输出y－设定值R(3) 衰减比n (3) 衰减比n 在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。如图，n=B：B’。 n愈大，过渡过程衰减的越快，反之，n愈小，过渡过程的衰减程度也愈小。 一般操作经验希望过程有两、三个周波结束， 一般常取n=4:1~10:1。 l  当n＝1时，过渡过程则为等幅振荡；(4) 调节时间ts(4) 调节时间ts 阶跃响应到达稳态的时间。 工程上常取在被控变量进入新稳态值的土5％或土2％的误差范围，并不再超出的时间。 ts 的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关，ts越短，系统响应越快。(5) 上升时间tr (5) 上升时间tr 仅适用随动系统。第一次达到系统新稳态值所需的时间，定义为上升时间。(6) 余差或稳态误差e(∞) 过渡过程结束时稳态值与给定值之差，是表示控制系统精度的重要质量指标。对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的10％上升到90％所需的时间。总结： 总结： 1、峰值时间和上升时间反映了系统的初 始快速。4、稳态误差反映了系统的调节精度。3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系 统的平稳性。2、调节时间反映了系统的整体快速性。4.2 二阶欠阻尼系统的质量指标4.2 二阶欠阻尼系统的质量指标质量指标和二阶系统的两个特征参数ζ和ω0值之间存在定量关系。 单位阶跃响应输出为：（3-4-2） 其中， 0＜ζ＜1得 得 or（3-4-3） 峰值时间tp 就是式(3-4-2)的一阶导数等于零时所对应的最小时间。（3-4-2） 1、峰值时间tp方程(3-4-3)的解为：方程(3-4-3)的解为：（3-4-4） 因为达到峰值的最小时间应m＝1，即（3-4-5） （3-4-3） 2、最大偏差A和超调量σ%2、最大偏差A和超调量σ%将最大峰值时间代入式(3-4-2)中，便得到第一个峰值：因为因此最大偏差（3-4-6） 超调量：超调量：（3-4-7） 图 ζ与超调量的关系 超调量σ仅为衰减系数ζ的函数，与ω0无关。 ζ越大，超调量越小。问题：ζ=0，1时，σ=？3、衰减比n 3、衰减比n 由式(3-4-4)可知，第三个波峰值出现的时间是：则第三个峰值为：于是因而衰减比为：（3-4-8） 衰减比与衰减系数ζ的关系如图所示。 图3-12 ζ与超调量和衰减比的关系衰减比n问题：ζ=0，1时，n=？4、调节时间ts4、调节时间ts图3-13系统过渡过程的包络线调节时间定义为阶跃响应曲线进入最终稳态值土5％或士2％范围内所需时间，则：因此求出： 因此求出： （3-4-9） 当0＜ζ＜0.9时，可取ts 的近似值：（3-4-10） 5、上升时间tr5、上升时间tr由方程3-4-2，令y(tr)=1,有因此， （3-4-11） =06、余差e（∞）6、余差e（∞）余差是系统稳态过程的一个质量指标，由终值定理求出。（3-4-12） 归纳：（1）峰值时间tp、上升时间tr、调节时间ts与ζ和ω0有关 （2）超调量σ、最大偏差A、衰减比n ~ ζ有关。为什么要计算控制系统的质量指标？为什么要计算控制系统的质量指标？(1) 分析、评价控制系统： 已知G(s)，即特征参数ζ、ω0，不必求系统的过渡过程，根据公式，就可知系统的质量指标，对控制系统做出评价和分析。(2) 设计控制系统： 给定系统的质量指标后，根据以上公式，可求出ζ和ω0，即确定系统参数。一般的做法是： 由超调量等确定ζ，而由ts等确定ω0。例3-4-1 例3-4-1 已知某反馈控制系统如图所示。当x(s)为单位阶跃信号时，试决定结构参数K和τ，使得系统的阶跃响应满足动态性能指标σ=20%，tp=1s，并计算上升时间tr和调节时间ts。解： 思路：1、求闭环传递函数（标准形式） 2、根据σ，求ζ 3、根据tp，求ω0。 4、根据ζ、ω0确定k和τ。 5、计算其它。系统的闭环传递函数为： 系统的闭环传递函数为： 1、 2、根据给定条件利用式(3-4-7)和(3-4-5)3、3、(弧度180°=π弧度) 4、根据二阶系统的标准形式：5、5、在上述参数下，计算上升时间tr（式3-4-11）和调节时间ts（式3-4-10）：解毕。 问题： 问题： 1. 对非标准的二阶系统单位阶跃响应的质量指标？ 2. 对标准二阶系统，幅值不是1（非单位）的阶跃信号质量指标？ 3. 对非二阶系统计算单位阶跃响应的质量指标？问题1问题1闭环传递函数 对非标准的二阶系统单位阶跃响应的质量指标转换成标准二阶系统形式：转换成标准二阶系统形式：即：结论：任何线性二阶系统均可表示为K与二阶标准系统连乘的形式。闭环传递函数 ﹙ ﹚问题2 问题2 当K≠1时，单位阶跃响应输出的质量指标如何计算？理论上分析，单位阶跃响应输出成比例K放大。因此： 因此： l 反映绝对误差的最大偏差A数值不同，成比例放大。AAAtrtpts线性系统两个重要性质：可叠加性和均匀性l 相对指标σ和n不变问题2′ 问题2′ 对标准二阶系统，幅值不是1（非单位）的阶跃信号的质量指标 ？结论：阶跃信号R对输出的作用与增益K相同，使阶跃响应输出成比例R放大。因此：因此：● 最大偏差A数值不同，亦成比例R放大 。问题3 问题3 已知非二阶系统的阶跃响应y(t)，求过渡过程的质量指标。解：利用二阶标准系统单位阶跃响应质量指标的求解原理，求解质量指标。（第一个满足要求的时间解）作业A-3-1 A-3-31 A-3-8(1)4.3 控制系统稳态误差分析4.3 控制系统稳态误差分析l   稳态误差（余差）是反映控制系统精度 的重要技术指标l   一般常用阶跃、斜坡或抛物线输入信号 测试稳态误差l   稳态误差与输入函数的形式有关l   控制系统的设计任务之一，就是尽量减 小稳态误差1、稳态偏差与系统分类1、稳态偏差与系统分类偏差e(t)的拉氏变换为：(3-4-14)上式表明，偏差与输入信号有关，还与系统的结构及参数有关。定义：定义：给定稳态偏差，记为esx ; (3-4-15)扰动稳态偏差：记为esf ； (3-4-16)记G(s)＝Gc(s)Go(s)，稳态偏差与系统的开环传递函数G(s)H(s)有关。 在工程上，常根据G(s)H(s)的形式来规定控制系统的“型”。在工程上，常根据G(s)H(s)的形式来规定控制系统的“型”。(3-4-17) K:开环增益 在分母中包含sN 项，它表示开环传递函数中包含N个积分环节（在原点处有N重极点）。 N=0，N=1，N=2，则系统分别称为0型，1型，2型系统。注意：系统的“型”与系统的阶次不同。2、给定稳态偏差2、给定稳态偏差（1）输入为单位阶跃函数此时，由式(3-4-15)有： 定义稳态位置偏差系数Kp(3-4-18)于是 (3-4-19)对于不同类型的系统，计算对应的Kp值和稳态偏差：对于不同类型的系统，计算对应的Kp值和稳态偏差：（2）输入为单位斜坡函数 （2）输入为单位斜坡函数 有 定义稳态速度偏差系数Kv:(3-4-20)(3-4-21)null0型系统：x(t)y(t)1型单位反馈系统对斜波输入信号的响应Kv＝0，esx＝∞；Kv=K，esx＝1/K；Kv＝∞，esx＝0。1型系统：2型系统：（3）输入为单位抛物线（加速度）函数（3）输入为单位抛物线（加速度）函数有 定义稳态加速度偏差系数Ka:(3-4-22)(3-4-23)2null0型系统：Ka＝0，esx＝∞；Ka＝0，esx＝∞；Ka＝K，esx＝1/K。1型系统：2型系统：小结：小结：表2 给定信号输入下的给定稳态误差esx阶跃输入x(t)=1 斜坡输入x(t)=t 抛物线输入x(t)=1/2t2 Kp=K ∞ ∞Kv=0 Ka=0 Kp=∞ 0Kv=K ∞Ka=0 Kp=∞ 00Kv=∞ Ka=K Kp — 稳态位置偏差系数 Kv — 稳态速度偏差系数 Ka — 稳态加速度偏差系数对角线上出现的稳态偏差具有有限值，对角线以上出现的稳态偏差为∞，对角线以下出现的稳态偏差为零。结论： 结论： ①  输入信号形式影响系统的稳态误差。 ② esx与N有关，在系统中增加积分器（提高N），稳态性能可以改善。 ③ 开环增益直接影响系统的稳态特性。K越大，稳态误差越小，增大开环增益可以改善闭环系统的稳态特性。 ④ 应注意到，增大N值和K值同时也会使控制系统的稳定性和动态性能变差，必须在控制精度与稳定性之间折衷。3、扰动稳态偏差 3、扰动稳态偏差 当扰动为单位阶跃函数时，稳态偏差为：若esf=0，称系统为(对于扰动作用)无差系统；否则称为有差系统。例3-4-2例3-4-2已知系统如图所示。（1）设给定信号和扰动信号均为单位阶跃信号， 求两个稳态误差。（2）研究使esf为零时的调节器结构。解：解：（1）开环传递函数：为1型系统，因此，比较（2）若调节器里含有一个积分器, （2）若调节器里含有一个积分器, 此时系统的开环传递函数为：为2型系统讨论