换元法

知识点拨 【知识提要】 1.​ 方程中变量的换元； 2.​ 三角换元； 3.​ 特殊换元。 【基本题型】 1.​ 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程； 2.​ 某些不等式，或者某些量的取值范围； 3.​ 求某些难以直接求出来表达式的值。 【解题技巧】 1.​ 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元； 2.​ 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元； 3.​ 有时候甚至可以联想三角函数。 快乐热身 【热身】已知若有 成立，则有恒等式 成立。求 的值。 【解析】 直接用待定系数法会很繁琐。有没有简单一些的方法呢？ 解 因为 ，所以 。 所以， 。 因此， 。 热身完了，我们开始今天的课程吧！ 例题精讲 【例 1】​ 求 （无穷多个）的值。 1【解析】​ 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？ 解 设原式 ，则 ，也就是说 。 解得 （负根舍去）。 说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。关于极限的概念，以后会学到。 【例 2】​ 解关于 的一元四次方程： 。 2【解析】​ 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。 解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。 显然 不是原方程的解，所以除以 后得到： 。 设 ，则有 。 。 ⑴若 ，则方程的解为 ， 。 代回 得到 ， 。 ⑵若 ，则方程的解为 ，于是有 ， 。 ⑶若 ，则方程无解。 【例 3】​ 解方程 。 3【解析】​ 分析 方程中含有三次根式，直接解出现困难，可以考虑换元。 解 设 ， ，则有 将第一个式子立方后得到 ，再根据第二个式子，有 ，所以 。 这样， 和 是关于 的方程 的两个根。但是，因为方程 没有实根，所以这样的 和 不存在，也就是说原方程没有实根。 说明 如果不用换元法，而是直接立方，会出现这样的情况： ， ， ， 。 代回去后发现是增根，但是涉及三次根式的题目为何会产生增根呢？以后到了学了更多知识的时候就会知道了。 【拓展】设 为任意实数，求 的取值范围。 4【解析】​ 分析 同样地，可以用换元法将根式变为整式，再降次，求判别式。 解 设 ， ， 。则有 ，将第一个式子立方后得到 ，再根据第二个式子，有 ，所以 。（注意， ） 这样， 和 是关于 的方程 的两个根。其判别式 ，所以 ，解得 。反推，易知只要 ，原方程就有解。 综上所述， 的取值范围是 。 【例 4】​ 求函数 的单调递增区间。 5【解析】​ 分析 这是一个四次函数，需要设法转化为次数较低的函数。 解 可以先进行结合： 。 设 ，则 。 如果 ，则 随着 的增加而增加，所以 应当随着 的增加而增加。此时应当有 在对称轴右侧，即 ，结合 ，有 。 如果 ，则 随着 的增加而减少，所以 应当随着 的增加而减少。此时应当有 在对称轴左侧，即 ，结合 ，有 。 综上所述， 的单调递增区间是 。 【例 5】​ 已知 ，求 的值。 6【解析】​ 分析 可以考虑其对称形式。 解 设 ，则可求得 。这样有 ， 。 ， ， 。 【变式】求 的整数部分。 7【解析】​ 分析 直接求可能会很困难，但是受到前面的启发，可以考虑对偶形式。 解 根据前面的推理可以知道： 。 因为 是纯小数，所以 的整数部分等于 。 【例 6】​ 设 ， ， 为三角形的三条边长，解关于 的不等式： 。 8【解析】​ 分析 显然 的时候两边相等，那么其他情况呢？ 解 设 ， ， 。 因为 ， ， 是三角形的三条边长，所以 ， ， 均为正实数。 原式转化为 。 对于这样的不等式，通常是分立开来讨论。 如果能够比较 和 的大小，那么将三个式子相加即得。 根据凸函数的性质，若 ，则说明指数为 的幂函数是凹的，也就是说 。所以，原不等式的解集就是 。 【例 7】​ 设 和 为实数，解关于 的方程： 。（提示：需要关于 的不同取值讨论。） 9【解析】​ 分析 显然应当把 设为一个整体，进行换元代入。 解 设 ，则原方程变为 。 对比可发现，这两个式子中 和 的地位刚好互换了。 相减，得到： ，因式分解得到 ，得到 或 。 若 ，则 ，解得 ， ； 若 ，则 ，即 。 此时，若判别式 ，即 或 ， 则方程还有解 ， ； 若判别式 ，即 ，则方程没有其他解。 另外，当 时，方程的解中有相等的。 【例 8】​ 定义 的一个子集 如下： ，当且仅当存在 ，使得 。 求证：对于任意 ， ，均有 。 10【解析】​ 分析 如果是证明对于任意 ， ，均有 ，可能简单一些。 解 对于任意 ， ，则有 ， ，其中 。 此时，有 ，所以 。 另外，我们证明，若 ，则有 。 这是因为 。 现在，假设结论不成立，即存在 ， ，而 （这是因为 ）。 因为 ，所以 ，从而 ，和 矛盾。 所以，必须有 。 说明 能够表示成两个有理数平方和的有理数具有一些很有趣的性质，同学们以后还会陆续学习到。 方法引导 1.​ 对于系数具有对称性的一元四次方程，可以考虑换元； 2.​ 某些含有复杂表达式的方程中可以换元； 3.​ 方程的根之间的关系时，可以利用韦达定理进行换元。 巩固精练 习题1.​ 设 ， 。 ⑴求 的值。 ⑵ 是否等于 ？为什么？ 1【解析】​ 分析 类似地，可以用换元法来解答。但请注意题目的陷阱。 解 ⑴设 ，则 ，即 ，解得 ， 。 但是，不难发现 ， ， ，……中的任何一个都不超过 （假设某项超过 ，则它前面的那项也超过 ，可继续推得 ，矛盾），所以这个数列的上限是 ，所以答案只能是 。 ⑵设 ，则 ，即 。 确实可能等于 ，但是否还有另一个值？ 注意 （这是因为 ， ），所以 。 也就是说方程 除了 以外，还有一个大于 而小于 的解。 说明 很多题目都存在陷阱。其实只要想清楚为啥 ，就可以知道第二问的原因了。 习题2.​ 关于 的方程 有三个不相等的实数根，求 的取值范围。 11【解析】​ 分析 我们不知道如何去解一个一元三次方程，但仍可尝试通过换元法解决 解 设该方程的三个实数根为 。根据韦达定理，有： ，根据第一、三两式可知 和 为正， 为负。 将第一个式子代入后两个式子得到： 和 都是正实数。显然，如果 越大，则 越小，从而 越大。 因为 ，所以 ，即 。 所以， ，即 。 说明 虽然现阶段同学们还不会解一元三次方程，但是如果只是定性一个特殊的一元三次方程的实根分布情况，还是可以利用韦达定理而得到答案的。 习题3.​ 关于 的一元四次方程： 没有实数根，求 的取值范围。 12【解析】​ 分析 没有实数根意味着某个“判别式”小于零，但是否有其他附加条件？ 解 因为 不是方程的根，所以设 ，则有 。 。 ⑴若 ，则 ，符合题意。 ⑵若 ，则 ，解出 ，但因为 的取值范围是绝对值不小于 的所有实数，所以仍然无解，符合题意。 ⑶若 ，则根据上面，只需要方程的两个根都在 内。因为两根的平均值为 ，在 内，所以只需在 和 处的函数值都大于零即可： ，解得 。 综上所述， 的取值范围为全体正实数。 说明 一元偶次方程可以没有实根，但是一元奇次方程不会没有实根。 习题4.​ 已知 ，求 的最大值和最小值。 13【解析】​ 分析 观察条件，可以联想到三角函数，从而进行换元。 解 设 ， ， 则有 。 此时，在单位圆周上，易知其最大值为 ，最小值为 。 说明 倍角三角函数公式是很有用的公式，可以解决很多问题。 学习札记 小故事