1.4 条件概率

null§1.4 条件概率§1.4 条件概率 对随机现象的研究中，常遇到另一类概率计算问.例 两个足球队比赛的胜负预测.B = {中国队上半场负}， A = {中国队最终获胜}.(1) 考虑事件A 发生的可能性大小？一、条件概率(2)事件B已发生,问事件A发生的可能性大小？null 将已知事件B 发生的条件下，事件A发生的可能性的客观度量称为条件概率，记为P(A|B). 定义 设A，B是随机试验E 的两个随机事件，且P(B) > 0，称为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.null 由P17的性质1.3.1可知条件概率满足概率定义的三个公理，故而概率的性质同样适用于条件概率.问题 (1) 判断所求的概率是否是条件概率? (2) 判断题目中概率数据是否是条件概率? 解决问题的关键词：试验、现实、可能。 null 定理 设P (B) > 0，则有 P ( AB ) = P (B) P (A|B ) 更一般地有，若P ( A1 A2 … An-1 ) > 0，则 若P ( A ) > 0，有 P ( AB ) = P ( A ) P ( B|A ).条件概率定义的改写二、乘法公式P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1 )P (A1A2…An-1An) =null注 乘法公式是概率计算中的重要公式. 事件的概率计算可能很复杂，有时可以采用借助于一组事件组的方法.三、全概率公式务必分清题目中所给数据是否为条件概率.null 注 概率分解是一种重要的随机思想，应充分理解. 定义 设Ω为随机试验 E 的样本空间, B1, B2 , …，Bn 为 E 的一组事件，若 (1) Bi∩Bj =f，i ≠ j； 称B1, B2, …, Bn 为W 的一个有限划分(或称完备事件组). (2) B1∪B2 ∪ … ∪ Bn= W null样本空间Ω的划分nullP(Bi) > 0, i = 1, 2, …, n , 则有B1，B2 ，…，Bn 为W 的一个有限划分因 W =B1∪B2 ∪ … ∪ Bn 故 A = A∩W = A∩( B1∪B2 ∪ … ∪ Bn )吸收律null分配律又因为 (ABi) ∩ (ABj) = A ∩(BiBj) = Af = f , i ≠ j由概率的有限可加性因为P(Bi) > 0, i = 1, 2, …, n，利用乘法公式得null概率分解null注:该公式常用在预测推断中, 称为事前概率. 练习 袋中有50个球，20个黄色的，30个白色的两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取到黄球的概率是null 2）在抽检试验中,如果已抽到一件次品，需追究有关车间的责任,你如何考虑？ 1）枪支校验问题中，射手已经中靶，他是用已校正的枪的可能性有多大？对问题2）应计算以下概率： P(A i︱B) = ? i = 1, 2, 3, 4. 并比较其大小.null这类概率称为事后概率.追究责任问题 一类应用问题：把事件A看成“结果”，把事件B1，B2，…，Bn看成导致该结果的可能“原因”，在已知A发生的条件下，去找出最有可能导致它发生的“原因”.这类问题称为贝叶斯问题.null四、贝叶斯公式证明 null 贝叶斯公式用来计算事后概率.见P22，例1.3.12和例1.3.13乘法公式全概率公式null 例1 100件产品中有5件不合格，其中3 件是 次品，2 件是废品，现从中任取一件，试求1）抽得废品的概率p1;2）已知抽得不合格品，它是废品的概率p2.?null解 令A={抽得废品}，B={抽得不合格品}.有?B成为现实null#注意到null例2 掷一枚硬币直到出现三次正面才停止， 问正好在第六次停止的情况下，第五次也是 正面的概率？解 令 Ak=｛第 k 次出现正面｝，k=1,2, … B=｛第六次停止投掷｝nullP =P(A5︱B)=P(A5B)/P(B)#null 例3 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求它被甲射中的概率. 解：设 A={目标被甲击中}， B={目标被乙击中}， C={目标被击中}.所求概率为nullP =0.6/0.8=0.75#null例4 （抽签的公平性） 袋中有10 个球, 9 个白色的, 1个红色的, 10 个人依次不放回的各取一球，问第一个人，第二个人，最后一人取到红球的概率各为多少？ 解 设Ai =｛第 i 人取到红球｝， i =1，2，…，10.null第一次第二次null有 P(A1) = P(A2)= … =P(A10).#null 例5 两架飞机进行空战,甲机首先开火, 击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机又未被击落，它再次向乙机开火，并击落它的概率为0.4 .试求这几个回合中 条件概率条件概率1）甲机被击落的概率p1；2）乙机被击落的概率p2.null解：设A={甲机首次攻击时击落乙机}甲 机乙 机1(0.2)2(0.4)分析B={乙机击落甲机}C={甲机第二次攻击时击落乙机}有 P(A)=0.2, 1）甲机被击落的概率null 2）乙机被击落的概率#null 例6 甲盒中有5个红球，6个白球；乙盒中 有3个红球，4个白球。现抛一枚均匀硬币， 若出现正面，则从甲盒中任取一球，反之从 乙盒中任取一球。试求取出白球的概率p.null 解 设 A={取出白球}， B={甲盒中任取一球}={H}. A={从甲盒中取出一白球} ∪{从乙盒中取出一白球}. 于是有限可加 从而 nullBA乘法公式#概率分解: 借助事件组分解样本空间Ω,进一步计算概率.null 例7 某工厂有4个车间生产同一种产品,其产品分别占总产量的15%、20%、30%和35%，各车间的次品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02.现从出厂产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？解 设 B = {恰好取到次品}, Ai = {恰好取到第 i 个车间的产品}，i=1,2,3,4null题目中的条件概率如下构成一个样本空间的划分, 且 P(B︱A1)=0.05, P(B︱A2)=0.04, P(B︱A3)=0.03, P(B︱A4)=0.02, 由全概率公式可得#null 例8 设袋中有n个红球, m个白球. 三人依次不放回地各取出一个球. 求他们取得红球的概率各为多少？解：设Ai={第 i 个人取到红球}，i=1,2,3nullnull#null 例9 设8支枪中有3支未经校正， 5支经过校正. 某射手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8；二用未经校正的枪射击时，中靶概率为0.3. 现求他随意取一支进行射击能中靶的概率.解 设 A={ 他射击中靶} B={ 所取枪支是校正过的} 事件B和B的对立事件构成样本空间的划分，由全概率公式null# 续例9 射手随意取一支进行射击，已经中靶，求所用枪支是校验过的概率.解 所求概率为null 例10 某工厂有4个车间生产同一种产品,其产品分别占总产量的15%、20%、30%和35%，各车间的次品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02。现从出厂产品中任取一件，发觉该产品是次品而且其标志已脱落，厂方应如何处理此事较为合理？分析 关注次品来自哪个车间？可能性最大？null构成一个样本空间的划分. 第1车间 第2车间 第3车间 第4车间 设 B=｛恰好取到次品｝，Ai={恰好取到第 i 个车间的产品}，i=1,2,3,4null#同理解 null 例11 设某医院用某一种方法诊断肝癌，由于各种原因，被诊断为患有肝癌的患者未必患有肝癌。令 A={被检查者确实患有肝癌}， B={被检查者诊断为患有肝癌}. P(A)=0.0004（患者的比例很小）; P(B|A)=0.95(对肝癌病人的诊断准确率很高); null 现有一病人被该方法诊断为肝癌，求此人确是患者的概率P(A|B).解 从题设可得根据贝叶斯公式有null注：诊断有病的人确实患病的可能性很小.#null 例13 某公司有n个部门, 每个部门配有一台计 算机，各计算机之间需要传输数量不等的文件， 若语音信号已从A 传输到B，它是从哪一条 通路传输过来的可能性最大？null 例9 设8支枪中有3支未经校正， 5支经过校正. 某射手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8；二用未经校正的枪射击时，中靶概率为0.3. 现求他随意取一支进行射击能中靶的概率.解 设 A={ 他射击中靶} B={ 所取枪支是校正过的} 事件B和B的对立事件构成样本空间的划分，由全概率公式null# 续例9 射手随意取一支进行射击，已经中靶，求所用枪支是校验过的概率.解 所求概率为