高三数学一轮复习必备精品09：空间几何体的表面积和体积

21世纪教育网普通区模板.doc 第9讲 空间几何体的表面积和体积 备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲 全部免费 欢迎下载】一．【课标要求】 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．【命题走向】 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2010年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．【要点精讲】 1．多面体的面积和体积公式 名称 侧面积(S侧) 全面积(S全) 体 积(V) 棱 柱 棱柱 直截面周长×l S侧+2S底 S底·h=S直截面·h 直棱柱 ch S底·h 棱 锥 棱锥 各侧面积之和 S侧+S底 S底·h 正棱锥 ch′ 棱 台 棱台 各侧面面积之和 S侧+S上底+S下底 h(S上底+S下底+HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ) 正棱台 (c+c′)h′ 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S侧 2πrl πrl π(r1+r2)l S全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2 V πr2h(即πr2l) πr2h πh(r21+r1r2+r22) πR3 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径 四．【典例解析】 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16 即l2=16 所以l=4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD= 。 （1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN， ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N， 从而OM=ON。 ∴点O在∠BAD的平分线上。 （2）∵AM=AA1cos =3× = ∴AO= = 。 又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－ = ， ∴A1O= ，平行六面体的体积为 。 题型2：柱体的表面积、体积综合问题 例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 ，这个长方体对角线的长是（ ） A．2 B．3 C．6 D． 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝ ，c＝ ，则对角线l的长为l= ；答案D。 点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 例4．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。 解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。 ∵E、F分别为AB、AC的中点， ∴S△AEF= S, V1= h(S+ S+ )= Sh V2=Sh-V1= Sh， ∴V1∶V2=7∶5。 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可 题型3：锥体的体积和表面积 例5． 7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A. B. C. D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为 ,四棱锥的底面 边长为 ，高为 ，所以体积为 所以该几何体的体积为 . 答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. （2009四川卷文）如图，已知六棱锥 的底面是正六边形， 则下列结论正确的是 A. B. C. 直线 ∥ D. 直线 所成的角为45° 【答案】D 【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以 也不成立；BC∥AD∥平面PAD, ∴直线 ∥ 也不成立。在 中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D正确 （2009全国卷Ⅱ文）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于 ，则球O的表面积等于 × 答案：8π 解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由 例61.(2009年广东卷文)（本小题满分13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD 平面PEG 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示. 　　　（２）该安全标识墩的体积为： 　　　 　　 　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知, 平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG；. 例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？ 解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED PBrush 设点B到平面EFG的距离为h，BD＝，EF，CO＝。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.2 。 而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。 由，得· 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。 例8．2009年上海卷理）已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ， ，满足的等量关系是___________. 【答案】 【解析】 ， ，同理： ，即R1＝ ，R2＝ ，R3＝ ，由 得 例9．（2009安徽卷文）（本小题满分13分） 如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和 是平面ABCD内的两点， 和 都与平面ABCD垂直， （Ⅰ）证明：直线 垂直且平分线段AD：. （Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面 体ABCDEF的体积。 【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想 【解析】(1)由于EA=ED且 点E 在线段AD的垂直平分线上,同理点F 在线段BC的垂直平分线上. 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 即点E F 都居线段AD的垂直平分线上. . 所以,直线E F 垂直平分线段AD. (2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE 中,由于ME =1, . —ABCD 又 —BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF= 例10．（1）（2009浙江卷理）如图，在长方形 中， ， ， 为 的中点， 为线段 （端点除外）上一动点．现将 沿 折起，使平面 平面 ．在平面 内过点 作 ， 为垂足．设 ，则 的取值范围是 ． 答案： 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时， ，随着F点到C点时，因 平面 ，即有 ，对于 ，又 ，因此有 ，则有 ，因此 的取值范围是 . 例11．3.（2009浙江卷文）若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则此几何体的体积是 ． 【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法． 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为 ，上面的长方体体积为 ，因此其几何体的体积为18 例12．2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于 。 解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 . 例13．已知过球面上 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 ，求球的表面积 解：设截面圆心为 ，连结 ，设球半径为 ， 则 ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 。 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。 例14．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。 解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。 在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。 由正弦定理，得 =2r,∴r= a。 又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC， ∴P、O、O′共线，球的半径R= 。又PO′= =HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED Equation.3 = a， ∴OO′=R － a=d= ,(R－ a)2=R2 – ( a)2，解得R= a, ∴S球=4πR2=3πa2。 点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R= a,下略 题型9：球的面积、体积综合问题 例15．（1）表面积为 的球，其内接正四棱柱的高是 ，求这个正四棱柱的表面积。 （2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。 解：（1）设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED PBrush 则作轴截面如图， ， ， 又∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ （2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED PBrush 由题设 ∵　△AOF∽△AEG ∴　 ，得 ∵　△AO1H∽△AOF ∴ ，得 ∴　 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED PBrush 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等 题型10：球的经纬度、球面距离问题 例19．（1）我国首都靠近北纬 纬线，求北纬 纬线的长度等于多少 ？（地球半径大约为 ） （2）在半径为 的球面上有 三点， ，求球心到经过这三点的截面的距离。 解：（1）如图， 是北纬 上一点， 是它的半径， ∴ ， 设 是北纬 的纬线长， ∵ ， ∴ 答：北纬 纬线长约等于 ． （2）解：设经过 三点的截面为⊙ ， 设球心为 ，连结 ，则 平面 ， ∵ ， ∴ ， 所以，球心到截面距离为 ． 例16．在北纬 圈上有 两点，设该纬度圈上 两点的劣弧长为 （ 为地球半径），求 两点间的球面距离 解：设北纬 圈的半径为 ，则 ，设 为北纬 圈的圆心， ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ 中， ， 所以， 两点的球面距离等于 ． 点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离 2009江苏卷）（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点，点 在 上， 。 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面 平面 . 【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分 五．【思维总结】 1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 (1)全面积：S全= a2； (2)体积：V= a3； (3)对棱中点连线段的长：d= a； (4)内切球半径：r= a； (5)外接球半径 R= a； (6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质： 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。 则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形； ②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积 V= abc； ④底面△ABC= ； ⑤S2△ABC=S△BHC·S△ABC； ⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC ⑦ = + + ; ⑧外切球半径 R= ； ⑨内切球半径 r= 3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则 sinα=cos = ， α+ =90° cosα=sin = . ②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r ′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。 ③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆； (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面； (3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系： r= . 4．经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆； HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED PBrush 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆； 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" EMBED PBrush 5. 两点的球面距离： 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式：（其中R为球半径， 为A,B所对应的球心角的弧度数） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com