局部

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 卷 第 期 年 月 力 学 学 报 , , 弹性力学问题的局部 一 方法 龙述尧 湖南大学工程力学系 , 长沙 摘要 提出了弹性力学平面问题的局部 方法 , 这是一种真正的无网格方法 这种方法采用移动最小二乘近似作为试函数 , 并且采用移动最小二乘近似函数的权函数作 为加权残值法加权函数 同时这种方法只包含中心在所考虑点处的规则局部区域上以及局部边 界上的积分 所得系统矩阵是一个带状稀疏矩阵 , 该方法可以容易推广到求解非线性问题以及 非均匀介质的力学问题 还计算了两个弹性力学平面问题的例子 , 给出了位移和能量的索波列 夫模及其相对误差 所得计算结果 该方法是一种具有收敛快 、 精度高、 简便有效的通用 方法 在工程中具有广阔的应用前景 关键词 局部 方法 , 移动最小二乘近似函数 , 索波列夫模 引 言 利用 加权残值法 , 我们可以推导出给定偏微分方程及其边界条件的积分方程 在 方法中 , 加权函数取试函数的基函数 , 也就是说 , 加权函数和试函数是取 自同一函数 空间 但在 一 方法中 , 加权函数取移动最小二乘近似函数中的权函数 , 因此 , 加 权函数与试函数取 自不同的函数空间 因为移动最小二乘近似函数不能事先直接施加本质边界 条件 , 所以采用罚因子方法施加本质边界条件 这种方法是一种真正的无网格方法 , 它不需划 分任何单元或网格 , 所有的积分都在中心为所考虑点的规则的局部区域和局部边界 对于二维 问题通常为圆 上进行 这种方法在处理非线性问题时比通常的有限元法 , 边界元法 , 无单元 伽辽金法更灵活 , 更方便 等人 把局部 一 法应用于求解调和算子的拉普拉斯方程和泊松方 程 本文将该方法推广到应用于求解弹性力学平面问题 局部 一 积分方程 虽然局部 一 法可以求解二维 、 三维弹性力学问题及其非线性问题 , 里 , 我们仅以二维弹性力学问题为例来推导局部 一 积分方程 弹性力学问题的平衡方程为 巩么 十 认 边界条件为 但是在这 了‘、了‘‘、云 亡‘ 口心几 二 在 几 上 瓦, 在 上 于 收到第一稿 , 一 一 收到修改稿 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 期 龙述尧 弹性力学问题的局部 一 方法 式中 ‘ 是体力分量 玛 是边界单位外法线分量 瓦 和 瓦分别为边界上给定的位移和面力分 量 区域 刀 的边界是 , 且 几 几 在这里以及下面我们采用通常的下标求和惯例表示公 式 由子域 几 上的加权残值法 , 并利用罚因子把本质边界条件 加入残值方程后 , 可得 人 。 ‘入 , , , 认 ,一 “ 一人 。 一 瓦 ,一 一 式中 ‘ 是加权函数 , 几 为子域 , 。 是子域 几 的边界 几 上给定位移边界条件的部分 通 常 几 几 。 , 几 是局部边界位于整体边界上的部分 , 而 , 是没有给定边界条件的其他局 部边界部分 , 即 几 几 , 几 一 几 见图 如果子域 几 完全位于整体域 口 之内 且局部边界 几 与整体边界 没有相交 , 则在边界 几。 上的积分为零 在方程 中 , 罚因子 》 是用于施加本质即位移边界条件的 , 因为移动最小二乘近似函数是用于近似试函数的 , 因此在移动最小二乘近似函数中 , 不能事先直接施加本质边界条件 毗 劣 岛 图 局部边界 , 节点的支持域 , 任一点处移动最小二乘近似试函数的定义域以及源点的影响域 , , 峨 , 对方程 中的第一个积分的第一项进行分部积分并利用散度定理后 , 可得 一‘, ‘ , , 。‘ ‘ 。 ‘、 ‘ 一 。 , ‘ 一 二 。‘ 一 。 了习 口丁儿 。 式中 几 是子域 几 的边界 , ‘ 入 玛 , 玛 是边界 几 的单位外法线 应该注意到 , 方程 对于任意形状和大小的子域是成立的 , 于是 , 我们选择简单规则形 状的子域 , 对于二维问题我们通常选择圆作为子域 按照上面的阐述 , 我们把子域边界 几 分 为三部分 , 即局部边界位于整体边界上给定面力边界条件的部分 几 。和给定位移边界条件的部 分 几、 , 以及没有边界条件的其余局部边界部分 , 因此有 几 几。 几 方程 变为 关 。 “一 人 。 “一‘ 人 。“一‘ © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 力 学 学 报 年 第 卷 人 。‘一。一 , “‘一 , “ 一人 。 一 , 一 一 式中 , 认 为给定边界面力 如果子域 几 完全位于整体域 口 内时 , 几 与 不相交 , 此时 几 , 在 几 和 几 上的积分项为零 下面 , 我们采用 一 方法继续推导公式 , 在通常的 加权残值法中 , 试函 数和加权函数取 自同一个函数空间 , 即权函数取与试函数相同的基函数 但在 加权残值法中 , 试函数和加权函数取 自不同的函数空间 为了简化方程 , 我们选择加权函数 ‘ 在 , 上的值为零 而移动最小二乘近似函数中的权函数却具有这种性质 因为在权函数的 支持域半径 珠 上 , 权函数为零 因此只要我们选择局部域 几 的半径 。 与权函数的支持域半 径 仪 相等 , 就能满足上述要求 利用这个性质 , 于是方程 变为 五 。 一 ,一 , “ 一人 。 “一 ·左 。 一 一人“一 · 人 。 瓦一 大 。 “‘一 , 利用上面的方程 , 求解整体域 口 及其边界 上的弹性力学平面问题变成了求解规则的局部域 , 即半径为 。 的圆域 几 中及其边界 , 即半径为 的圆上的积分方程 当然局部域的半径将影 响求解结果 方程 在子域 几 内及边界 几 上分别满足平衡方程和边界条件 从理论上讲 , 只要所有子域并集覆盖了整体域 口 , 即 几 〕 口 , 则也将分别满足整体域及其边上的平衡方程 和边界条件 然而 , 由计算实例可知 , 即使局部子域的并集不完全覆盖整体域 , 也能得到较精 确的结果 移动最小二乘近似函数 通常无网格方法要求用随机分布的节点上未知变量的值来表示试函数 , 且试函数应与有限 元法的插值函数一样 , 具有局部性质 , 具有这种性质且精度高的插值方法就是移动最小二乘近 似法 下面以标量函数 。 为例来说明移动最小二乘近似法的原理 考虑点 的邻域 子域 几 , 它位于全域 口 内 , 为了近似函数 。 在子域 几 的分布 , 在有限 个随机分布的节点 二。 , , , ⋯ , 上 , 函数 。 的移动最小二乘近似式 砂 哟 , 二 任 几 , 可以 定义为 。 二 二 二 , 二 任 几 , 二 二 二 式中 叫 【 二 二 ⋯ 二 」是 次完备单项式的基 , 哟 是包含系数 。 哟 , , , ⋯ , 的向量 , 这些系数是空间坐标 二 二 二 厂的函数 例如 , 对于二维问题 纷胜基 二 二 , 二次基 哟 端 二 嵘 , 定义加权离散 模为 , 二 一 艺 。 二 。 , 二 二 。 二 一 虱 ’ 少 · 哟 一 词 · · 【 · 对 一 司 式中 。 二 。 , 哟 是节点 的权函数 , 对于在 。 二 。 , 哟 的支持域内的所有 二 , 有 。 二 。 , 哟 , 二。 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 期 龙述尧 弹性力学问题的局部 方法 表示节点 。 的 二 值 , 是域 几 内权函数 二。 , 哟 的节点数 , 而矩阵 和 分别为 二 沪 二 一 ⋯二司 二 , 二 。 二 , 二 二、 , 二 ︸ 且 护 云, 讥 ⋯ 在这里应该特别注意 在式 和 中的 讥 , 。 二 , , ⋯ , 是名义节点值 , 通常它不是未 知试函数 二“ 哟 的节点值 使加权离散 模为极小可以确定系数向量 哟 对 哟 求式 中 的驻值得到 哟 和 云 的下列线性关系式 二 二 二 云 式中矩阵 哟 和 甸 分别为 哟 哟 一 尸 尸 一 到二 一 艺 帆 , 二网二 ” 声帆 尸 【 二 , 二 二 , 二 , 二 二 , ⋯ 二 , , 二 二 、 只有在方程 中的矩阵 是非奇异时 , 才可定义移动最小二乘近似函数 而要 非奇异 , 必须使得 尸 的秩等于 因此定义移动最小二乘近似函数的必要条件是 , 对于每个样点 二 〔 口 至少有 个权函数不为零 即 全 , 而且在 几 中的节点不能有特殊形式的分布 , 例如分 布在一条直线上 这里所说的样点既可以是所考虑的节点 , 也可以是高斯积分点 由式 解出 哟 并代入式 得 六二 一 鲜回“ 一 艺汽回风 , 六二几 三 并 ‘ 任 风 式中 、、,产、、产只︶口︸工‘ 了吸了‘、护 哟 尹 哟 一 哟到哟 , 几 二 一 艺 , 。 二 一‘ 二 二 。 沪武二 是类似于有限元法的插值形函数 , 我们称之为节点 氛 的移动最小二乘近似的形函数 由 式 及 可以看出 , 当 二。 , 哟 时 , 沪。 哟 在实际应用中 , 通常选择 二 二 。 , 哟 在节点 氛 的支持域上不为零 , 而节点 氛 的支持域通常取中心在 氛 点 , 半径为 ‘ 的圆 因 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 力 学 学 报 年 第 卷 此 , 对于不在节点 氛 的支持域内的 二 , 有 沪武哟 , 这使得移动最小二乘近似法具有如有限元 法的插值函数一样的局部性质 移动最小二乘近似函数 护 并不对节点值进行插值 , 因为 俨 二。 三 。。 并矶 且 沪、 二耐 并 凡。 形函数 甲、 甸 的光滑性由基函数和权函数的光滑性所确定 令 “ 口 是 阶连续可 微函数空间 , 如果 。 二 。 , 二 任 儿 口 , 夕。 二 〔 ‘ 口 , 。 , , ⋯ , 万 , , ⋯ , 汀 , 则 沪。 二 任 口 , , 在计算时 , 我们需要用到形函数 沪。 哟 的偏导数 , 其表达式如下 , 几 , 、 一 艺 , 一‘ 饥。 , 。 一‘ , , 又‘。 。。 式中 老 一‘ , 表示 的逆矩阵对 的偏导数 , 给出为 老二 一 一‘人 、 一‘ 式中 ,‘ 表示偏导 · ‘ 离散和数值计算 由于在局部 一 方法中 , 加权函数取 自移动最小二乘近似函数中的权函数 , 则 加权函数是 已知的函数 对所研究域 口 内的任一点 因而对于任一子域 , 利用方程 可得到 名义节点位移 云。 , , ⋯ , 的二个代数方程 , 方向各一个方程 应注意采用移动 最小二乘近似函数近似试函数时 , 在子域 几 内的试函数 、 由 几 内所有 二 点的定义域内的名 义节点值 云。 所确定 于是在弹性力学平面问题中 , 所得方程数与节点数的 倍相同 , 因此在 整体域内我们需要的子域数与节点数相同以得到与未知变量数相等的代数方程 为便于进行数值计算 , 我们把方程 改写成矩阵形式 , 有 人 , 一 “ 。左 。 牡 一人 。 ‘ 左 。 初厂 ·人 。 “ 厂 人 。 ““ 式中 黔 ﹄李厅 了、气臼褚以 一一一一 对于位移向量 。 , 移动最小二乘近似函数为 。 二 一 艺 , 。 二 “几 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 期 龙述尧 弹性力学问题的局部 方法 式中 二 二 。 二 矶 , 、 「沪 二 了 ’ “ ” 一 飞讥 了。 , 甲几 气留 , 一 。 沪 二 矛尹、、 一一 、、刀产 留 了、 根据弹性力学平面问题的位移 一 应变关系 , ““ ‘ 一 ‘ , 气‘ 可得应变向量为 一 艺 风 式中 。 几 , 一一 即一衡即一叙丛奴。丛肠 再由弹性力学平面应力问题的应力 一 应变关系及面力 一 应力关系可求得应力和面力的移动最小 二乘近似函数为 一 刀。 一 艺刀 。云。 几 艺 “ 式中 , 对于平面应力问题 。 , 艺 。 几“。 性 刀 为 艺叻。虱 、‘、‘少阵创别﹄产一斗汇口州︸了 ‘、、、喃比 叫︸‘褚、铸卫 己 ,上夕一 一一一刀 其中 为弹性模量 , 。 为泊松比 。 刀 。 一 夕 “ 了乙 几 几 其中 。 , 。 是边界外法线在坐标轴上的分量 、‘产矛‘ 、 一 劝” 一“‘ ” 一而 舞 几 ·舞 一 夕 沪 沪 几 石二一 一 几 石二一 十 , 笛 工 一 夕 一 夕 沪 沪 ” 下二一 , 几 不甲一 , 工 口工 一 夕 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 力 学 学 年 第 卷 将式 , , 以及式 的 , 代入方程 后 , 最后可得 客【众 · 二几 , · ,一 · , ⋯左 。 ’‘二 ” , · ,一‘二 , 一左 。 一 ,‘ · , · “ ‘ · 人 。 二几 , · , “ 二 , ‘ 人 ’ 二枯 , · ,‘ · ,‘ 二几 , · , ”· , 。 , , ⋯ , 艺‘ ‘认 一 凡 其中 ‘ ”‘ 一 。 二 , · , 二 , “ 。人 。 一 , , 二 , 一人 。 二几 , 二 ,“ · ,‘ ‘ , ” 一人 。 ’ 二几 , · , “‘· , 左 。 一 ,‘二 , 众 ’ 二 , 二 , “ 留 , “ , 在局部边界 一 方法中 , 如果采用移动最小二乘近似函数作为形函数 , 则首先 必须选择基函数和权函数 通常采用局部性能较好的样条函数和高斯函数为权函数 相应于节 点 。 的高斯加权函数为 吵牲器株渭巡 , 三 。 三 。 , 心 全 , , 少、‘ 一一 、、,产 公念 、 叨 式中 。 二 一 二 。日, 。 称为相对权系数 , 它控制权函数 二。 , 哟 的形状 , 、 是权函数 二。 , 哟 的支持域半径 , 它决定了节点 二 。 的支持域大小 在计算时通常取 样条加权函数为 二几 , 二 一 一 黯一 会 一 会 ‘ 一 三 。 三 。 。 全 。 式中 为 的单位矩阵 在选择节点 的权函数 二 。 , 叫 的支持域半径 珠 的大小时 , 一方面应考虑到在每个样点 处 , 移动最小二乘近似试函数的定义域内有足够数量的节点 , 以保证矩阵 不奇异 全 , 因此 珠 应尽可能大 , 同时 , 选择太小的 珠 时 , 在用高斯求积法计算系统矩阵元素时 , 引起相 当大的计算误差 另一方面 , 为了保证移动最小二乘近似函数的局部性质 , 以使系统矩阵的带 宽窄 , 、 又应该尽可能选择得小 至于最优的 珠 应怎样选择 , 我们将另文讨论 系统矩阵每一行的非零元素的位置由 二 点影响域内的节点所确定 如果我们把所有节点的 影响域的形状和大小取得一样的 , 则所得系统矩阵是带状的和稀疏的 , 非零元素是对称分布的但 数值不相等 当然非对称的系统矩阵需要较多的计算机内存和时间 , 但是局部 一 方法具有灵活 , 容易实施数值计算 , 精度高 , 在离散模型中 , 不需要划分单元或网格 , 在未知变 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 期 龙述尧 弹性力学问题的局部 方法 量急剧变化的地方 , 只需增加节点 , 特别在工程应用中容易实现智能化的 自适应算法等优点 , 使这种方法具有巨大的潜力和美好的前景 数值实例 为了说明局部 方法能够用于分析计算二维弹性力学平面问题以及研究这 种方法的收敛性和进行误差估计 , 我们提出了两个数值例子 , 并计算了位移和应变能的索波列 夫模 , 这些模的定义为 、夕、产占了、、 ,, · ,, 一 人 · · “ ’ ⋯卜 人告一 一 一 。 」“ ’ 相对误差为 、了、了 ,曰 矛砚、矛‘ 、俨 一 。 。 一 式中 沪 和 尹 分别表示用局部 一 方法数值计算的位移和应变能 , 矿 和 则分 别表示用解析方法计算的精确的位移和应变能 例 考虑如图 所示的悬臂梁 , 在 自由端受到集中力 尸 的作用 , 长度 , 高度 , 取 二 , 。 弹性力学平面应力问题的位移精确解为 一命 。一 会 卜 · · · , 一 会 ’ 尸 一 命 一 卜 ·卜 · , 一 会 ’‘一卜昌‘ · · 」 在计算中 , 移动最小二乘近似试函数采用线性和二次基函数以及样条和高斯加权函数 两种权 函数的支持域半径 珠 都取为 , 而高斯权函数的参数 气 取为 珠 为了研究收敛性 , 在计算时 , 我们把区域均匀地划分为 , , 个节点的网 格 在边界 几 上采用 点高斯积分 , 在局部域 几 上采用 高斯点积分 ’’ 吕吕吕吕 奋奋今 奋心曰 奋曰 奋心 图图图图 图 悬臂梁 图 简支梁 · © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 力 学 学 报 年 第 卷 例 如图 所示受均布载荷 的简支梁 , 其几何尺寸及弹性模量和泊松比均见例 , 弹性 力学平面应力问题的位移精确解为 。 创 护一 创 万 一 叭‘ 一 创 十 一 万一 沙一 创夕 、 了、、 一 叮一 乃一一司泊 一一 桨 书 一 一盗 击。一 夸 ‘ 一 答。一 会一 鉴, 一 会 、 、 、 、 万 一 铲一 创 夕钾一 创 十 石沙 ’ 创 一 丽沙 ’ 创 了 了、、上自 、 、 、 百铲一 创 一 而 沪一 创 一 丽铲一 创 十一 卜 叮一一虱 , 、 、 砂 「 , 。 、 铲十 百勺丁铲 一 万少 」十 石丽丽【‘ 十 了 万 气亏十 百少 在计算中 , 移动最小二乘近似试函数与例 一样采用线性和二次基函数以及样条和高斯加权函 数 两种权函数的支持域半径 气 , 高斯权函数的参数 。 , 区域内均匀划分的节点数以及边界 几 上和局部域 几 内所采用的高斯积分点数都与例 相同 在图 和图 中分别画出了例 和例 问题的位移和能量模的相对误差和收敛率 由图 可见 , 现在的局部 一 方法有较高的收敛率 , 且对位移和能量 因为是位移的导数 都有很高的精度 在两图中 , 分别表示线性基函数的样条和高斯加权函数 , 分 别表示二次基函数的样条和高斯权函数 表示平均收敛率 一 一︵￡︶锣一 一 二 · 夺 。 。 一 一 ‘ 刁 一 ‘ 一 一 一 一 一 一 图 悬臂梁位移和能量模的相对误差和收敛率 召 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 期 龙述尧 弹性力学问题的局部 方法 ⋯, ⋯, ⋯, ⋯, ⋯, ⋯ 一一︵。‘︶叻。一 一 。‘︶切。一 一 一 一 一 一 一 ‘ 一 一 一 一 图 简支梁位移和能量模的相对误差和收敛率 瓜 从上面的例子还可以看到 , 虽然线性基和二次基都得到好的结果 , 但二次基的结果比线性 基的好 同时 , 在例 中高斯权函数的结果比样条的好 而在例 中二次基函数的高斯权函数 的结果低于样条权函数的结果 , 然而对于高斯权函数 , 我们必须确定各节点的参数 。 , 而 侃 的 值对结果影响很大 , 至于 侃 的最优选择将进一步研究 结 论 本文提出了求解弹性力学平面问题的局部 方法的概念和计算公式 在数 值计算时采用一种有效的无网格离散模型 , 这种模型只需在域内和边界上随机布置一些节点 , 而不需要任何单元或网格 , 因而是真正的无网格方法 由算例的结果可以看出 由于移动最小 二乘近似试函数有较高阶的连续光滑性 , 因此位移和面力都有很好的收敛率和精度 同时数值 结果还证明 , 线性和二次基函数以及样条和高斯加权函数都给出了高精度的数值结果 该方法 可以容易推广到求解非线性问题及非均匀介质的力学问题 参 考 文 献 , “ 。‘ , , 、 , , 一 · 王龙甫 弹性理论 北京 科学出版社 , 匕 · · 爪云 公爪 材 几 , , 详 , © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 力 学 学 报 年 第 卷 入 印 云 。亡 肠夕‘。 八呵 材 , ￡ , 枷。 , 流‘。 。葱‘, , 仰。 , ‘。 饥 一 , , 址 勿 从 赫 一 , 即 铭 , , 明 一 罗 梦 , 劝 毗 , 犷 雌 , , 明 , , ,