回避分类讨论

回避分类讨论,巧求双曲线方程 分类讨论是中学数学的重要思想.在双曲线问题中也不可避免地要应用到这一重要思想.其中双曲线的焦点不确定是引起分类讨论的重要因素.但是分类讨论不是绝对的,也就是说,有些分类讨论是可以回避的.而回避分类讨论有时可以降低题目的难度,减少运算.下面举例说明. 例1.已知双曲线的对称轴为坐标轴,中心在原点,且过点A(2,3)和点B( ,－1).求双曲线的方程. [解析]:本题不知道焦点在哪个坐标轴上,一般需要分两种情况进行讨论.为了避免讨论可以设双曲线方程为: ( ),把点A(2,3)和点B( ,－1)代入双曲线可得方程组 解之得 ,故所求双曲线的方程为: . [评析]:如果焦点明确在哪个坐标轴上,可以根据方程设双曲线方程为 ( , )或 ( , ).若焦点的位置不能明确在x轴还是在y轴,则可设为 ( ),或者干脆设成 ( ).这样就简化了运算步骤,使问题变得简单. 例2. 求与双曲线 共渐近线且过点A 的双曲线方程. [解析]:根据双曲线渐近线和方程的关系可设所求双曲线为 ,把点A 代入可得 ,即 ,双曲线方程为 ,整理即得 . [评析]:由于本题所求双曲线的焦点不能确定在x轴还是在y轴,一般情况下也是分两种情况进行讨论.其实,若已知双曲线的渐近线为方程 ,即可化为 ,则不论双曲线的焦点在x轴或者y轴,对应的双曲线方程都可设为 ,这样就可以避免分类讨论,从而减小运算量. 例3.已知直线 : 和直线 : 被双曲线截得的线段长分别为2和 ,求双曲线的方程. [解析]:由于不能确定双曲线焦点在哪个坐标轴上,为了避免分类讨论并有利于运算,设双曲线的方程为: ( ).把 代入双曲线方程可得 ,故直线 被截得的线段长为 (1); 把 代入双曲线方程可得 故直线 被截得的线段长为 (2). 故由(1),(2)可得 , .故所求双曲线方程为 . [评析]:本题牵涉到直线与双曲线相交的问题,本来计算量就比较大,若进行分类讨论也就是双倍的计算量,这里巧妙地设双曲线地方程 ( ).把双曲线问题转化为一般的二次曲线问题,既避免了分类讨论,也使本题的计算更加简介.