数学分类讨论思想

数学分类讨论思想 数 学 分 类 讨 论 思 想 金陵中学 解敏 分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。“物以类聚，人以群分”。将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。 分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。 需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。 在初中阶段数学教学中已经渗透了分类思想。 预备年级：分类方法的孕育。 代数孕育点：有理数的意义、绝对值、分式、 次方根。 几何孕育点：线段的比较、角的比较。 初一年级：分类方法的初步形成。 通过对分类方法的多次孕育，学生对分类思想已有了一定的认识，引进实数是对学生进行分类思想方法的极好题材。 初二、初三年级：分类方法的应用。 正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程的根的判别式、分式方程、无理方程、频数分布直方图、频率分布直方图、直线和圆的位置关系、与圆有关的角、圆周角、弦切角。 接下来我们来看几道例题。 1．​ 化简 。 解：当 时， ； 当 时， ； 当 时， 。 2．​ 已知实数 满足 ，求 的值。 解： ， 。 或 （1）​ 当 时， 原式= = （2）​ 当 时， 原式= 。 原式的值为 或 。 3．​ 解关于 的方程 。 解：（1）当 即 时，解得 (2)当 时， i.​ 当 且 时， ii.​ 当 时， iii.​ 当 时，方程无实数根。 4．​ 已知直线 不经过第三象限，则下列结论正确的是---------------（ ） A． B。 C。 D。 ：直线 不经过第三象限，情况有两种。1）经过第一、二、四象限。2）经过二、四象限。所以选择D。 5．​ 已知关于 的方程 求 为何值时，方程有两个不相等的实数根。 解：去分母，得 ，整理得 ，① 判别式 ，令 ，得 ， 当 时， 方程①有两个不相等的实数根。 若原方程有增根 时，由①得 ； 若原方程有增根 时，由①得 。 当 时，原方程有只有一个实数根。 当 且 时，原方程有两个不相等的实数根。 6．​ 已知 中，AB=10，AC=12，BC边上的高AD=8，试求BC之长。 解；（1）当高AD在 内，BD= 同理DC= ，BC= （2）当BC边上的高在 外，BD=6，CD= 7．​ 已知圆中两条平行弦长分别为10和24，圆的半径为13，求这两条平行弦间的距离。 解：（1）如右图所示：已知：AB=10，CD=24，AB//CD，⊙0的半径为R=13，求AB，CD间的距离。 过O作AB的垂线交AB于M，交CD于N， 在 和 中，R=13 （2）如右图所示：同理可得 综上所述，AB，CD间的距离是17或7。 8．​ 如图，已知 中， ，点P在斜边AB上移动（点P不与点A、B重合），以P为顶点作 ,射线PQ交BC边与点Q。 能否是等腰三角形？如果能够，试求出AP的长，如果不能，试简要说明理由。 解：若 是等腰三角形，必有CP=CQ或CP=PQ或CQ=PQ。且反之亦真。 （1）​ 如果CP=CQ ， 。 ，点P与顶点A重合。这种情况不可能。 （2）​ 如果CP=PQ 又 是 的外角， 即 又 ， ≌ ，这种情况是可能的。 又 ， 。 （3）​ 如果CQ=PQ。 ，PC是 的角平分线，这种情况是可能的。 是AB边上的中线。 综上所述：当 或 时， 是等腰三角形。 练习： 1．​ 化简： 2．​ 对于任何实数 ，点 一定不在第＿＿象限。 3．​ 已知直角三角形的两边长分别是3和4，求第三边长。 4．​ 一个梯形的四条边长分别为1、4、4、5。求这个梯形的面积。 5．​ 如图，已知在数轴上，点O是原点，在射线OM上有一定点A，OA=2， ，动点B从原点O开始在数轴上向右移动，设OB=x，当x在什么范围内变化时， 是直角三角形？ 6.已知 是⊙ 的直径， 是⊙ 的一条弦, 两点分别向 所在的直线引垂线,垂足是 ,求证： 7．点P到圆O的最短距离为3,最长距离为5,则圆O的半径为＿＿。 8．四个数据10、10、x、8的平均数和中位数相等，则x＝ 。