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《离散数学》试题及答案

2010-12-23 8页 doc 104KB 238阅读

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《离散数学》试题及答案离散数学模拟练习题04 一、填空题 1 设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; (A) - (B)= __________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |(A×A)| = __________________________. 3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射...
《离散数学》试题及答案
离散模拟04 一、填空题 1 设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; (A) - (B)= __________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |(A×A)| = __________________________. 3. 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G=(PQ)∧R,则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________. 6 设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从AB=_________________________; AB=_________________________;A-B= _____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G=(P(QR)),则使公式G为真的解释有__________________________,_____________________________, __________________________. 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1R2 = ________________________,R2R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |(AB)| = _____________________________. 11 设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, xR}, B = {x | 0≤x < 2, xR},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13. 设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = xP(x)xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 16. 设谓词的定义域为{a, b},将达式xR(x)→xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________. 17. 设集合A={1, 2, 3, 4},A上的二元关系R={(1,1),(1,2),(2,3)}, S={(1,3),(2,3),(3,2)}。则RS=_____________________________________________________, R2=______________________________________________________. 二、选择题 1 设集合A={2,{a},3,4},B = {{a},3,4,1},E为全集,则下列命题正确的是( )。 (A){2}A (B){a}A (C){{a}}BE (D){{a},1,3,4}B. 2 设集合A={1,2,3},A上的关系R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},则R不具备( ). (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性 3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示,若A的子集B = {2,3,4,5},则元素6为B的( )。 (A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上都不对 4 下列语句中,( )是命题。 (A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗? 5 设I是如下一个解释:D={a,b}, 则在解释I下取真值为1的公式是( ). (A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是( ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6). 7. 设G、H是一阶逻辑公式,P是一个谓词,G=xP(x), H=xP(x),则一阶逻辑公式GH是( ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式. 8 设命题公式G=(PQ),H=P(QP),则G与H的关系是( )。 (A)GH (B)HG (C)G=H (D)以上都不是. 9 设A, B为集合,当( )时A-B=B. (A)A=B (B)AB (C)BA (D)A=B=. 10 设集合A = {1,2,3,4}, A上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 则R具有( )。 (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对 11 下列关于集合的表示中正确的为( )。 (A){a}{a,b,c} (B){a}{a,b,c} (C){a,b,c} (D){a,b}{a,b,c} 12 命题xG(x)取真值1的充分必要条件是( ). (A)​ 对任意x,G(x)都取真值1. (B)有一个x0,使G(x0)取真值1. (C)有某些x,使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对. 13. 设G是连通平面图,有5个顶点,6个面,则G的边数是( ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条. 14. 设G是5个顶点的完全图,则从G中删去( )条边可以得到树. (A)6 (B)5 (C)10 (D)4. 15. 设图G的相邻矩阵为 ,则G的顶点数与边数分别为( ). (A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8. 三、计算题 1.设集合A={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12},R为整除关系。 (1)​ 画出半序集(A,R)的哈斯图; (2)​ 写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界,下界,最小上界,最大下界; (3)​ 写出A的最大元,最小元,极大元,极小元。 1.​ 设集合A={1, 2, 3, 4},A上的关系R={(x,y) | x, yA 且 x y}, 求 (1)​ 画出R的关系图; (2)​ 写出R的关系矩阵. 2.​ 设R是实数集合,,,是R上的三个映射,(x) = x+3, (x) = 2x, (x) = x/4,试求复合映射•,•, •, •,••. 4. 设I是如下一个解释:D = {2, 3}, a b f (2) f (3) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 2) P(3, 3) 3 2 3 2 0 0 1 1 试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)); (2) xy P (y, x). 5. 设集合A={1, 2, 4, 6, 8, 12},R为A上整除关系。 (1)​ 画出半序集(A,R)的哈斯图; (2)​ 写出A的最大元,最小元,极大元,极小元; (3)​ 写出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界,下界,最小上界,最大下界. 6. 设命题公式G = (P→Q)∨(Q∧(P→R)), 求G的主析取范式。 7. (9分)设一阶逻辑公式:G = (xP(x)∨yQ(y))→xR(x),把G化成前束范式. 9. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)}, (1)​ 求出r(R), s(R), t(R); (2)​ 画出r(R), s(R), t(R)的关系图. 11. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价: (1) G = (P∧Q)∨(P∧Q∧R) (2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(P∧R)) 13. 设R和S是集合A={a, b, c, d}上的关系,其中R={(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}, S={(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}. (1) 试写出R和S的关系矩阵; (2) 计算R•S, R∪S, R-1, S-1•R-1. 四、证明题 1. 利用形式演绎法证明:{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S。 2. 设A,B为任意集合,证明:(A-B)-C = A-(B∪C). 3. (本题10分)利用形式演绎法证明:{A∨B, C→B, C→D}蕴涵A→D。 4. (本题10分)A, B为两个任意集合,求证: A-(A∩B) = (A∪B)-B . 参考答案 一、填空题 1. {3}; {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. 2.​  . 3.​ 1= {(a,1), (b,1)}, 2= {(a,2), (b,2)},3= {(a,1), (b,2)}, 4= {(a,2), (b,1)}; 3, 4. 4.​ (P∧Q∧R). 5.​ 12, 3. 6.​ {4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}. 7.​ 自反性;对称性;传递性. 8.​ (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0). 9.​ {(1,3),(2,2),(3,1)}; {(2,4),(3,3),(4,2)}; {(2,2),(3,3)}. 10.​ 2mn. 11.​ {x | -1≤x < 0, xR}; {x | 1 < x < 2, xR}; {x | 0≤x≤1, xR}. 12.​ 12; 6. 13.​ {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}. 14.​ x(P(x)∨Q(x)). 15.​ 21. 16.​ (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17.​ {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}. 二、选择题 1.​  C. 2. D. 3. B. 4. B. 5.​  D. 6. C. 7. C. 8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A. 15. D 三、计算证明题 1. (1) (2) B无上界,也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3. (3) A无最大元,最小元是1,极大元8, 12, 90+; 极小元是1. 2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. (1) (2) 3. (1)•=((x))=(x)+3=2x+3=2x+3. (2)•=((x))=(x)+3=(x+3)+3=x+6, (3)•=((x))=(x)+3=x/4+3, (4)•=((x))=(x)/4=2x/4 = x/2, (5)••=•(•)=•+3=2x/4+3=x/2+3. 4. (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b)) = P(3, f (3))∧P(2, f (2)) = P(3, 2)∧P(2, 3) = 1∧0 = 0. (2) xy P (y, x) = x (P (2, x)∨P (3, x)) = (P (2, 2)∨P (3, 2))∧(P (2, 3)∨P (3, 3)) = (0∨1)∧(0∨1) = 1∧1 = 1. 5. (1) (2) 无最大元,最小元1,极大元8, 12; 极小元是1. (3) B无上界,无最小上界。下界1, 2; 最大下界2. 6. G = (P→Q)∨(Q∧(P→R)) = (P∨Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R) = (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) = (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = (3, 4, 5, 6, 7). 7. G = (xP(x)∨yQ(y))→xR(x) = (xP(x)∨yQ(y))∨xR(x) = (xP(x)∧yQ(y))∨xR(x) = (xP(x)∧yQ(y))∨zR(z) = xyz((P(x)∧Q(y))∨R(z)) 9. (1) r(R)=R∪IA={(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)}, s(R)=R∪R-1={(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)}, t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)}; (2)关系图: 11. G=(P∧Q)∨(P∧Q∧R) =(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) =m6∨m7∨m3 = (3, 6, 7) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(P∧R)) =(P∧Q)∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R) =(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) =(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) =m6∨m3∨m7 = (3, 6, 7) G,H的主析取范式相同,所以G = H. 13. (1) (2)R•S={(a, b),(c, d)}, R∪S={(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)}, R-1={(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)}, S-1•R-1={(b, a),(d, c)}. 四 证明题 1. 证明:{P→Q, R→S, P∨R}蕴涵Q∨S (1) P∨R P (2) R→P Q(1) (3) P→Q P (4) R→Q Q(2)(3) (5) Q→R Q(4) (6) R→S P (7) Q→S Q(5)(6) (8) Q∨S Q(7) 2. 证明:(A-B)-C = (A∩~B)∩~C = A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C) = A-(B∪C) 3. 证明:{A∨B, C→B, C→D}蕴涵A→D (1) A D(附加) (2) A∨B P (3) B Q(1)(2) (4) C→B P (5) B→C Q(4) (6) C Q(3)(5) (7) C→D P (8) D Q(6)(7) (9) A→D D(1)(8) 所以 {A∨B, C→B, C→D}蕴涵A→D. 3.​ 证明:A-(A∩B) = A∩~(A∩B) =A∩(~A∪~B) =(A∩~A)∪(A∩~B) =∪(A∩~B) =(A∩~B) =A-B 而 (A∪B)-B = (A∪B)∩~B = (A∩~B)∪(B∩~B) = (A∩~B)∪ = A-B 所以:A-(A∩B) = (A∪B)-B.
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