刚体转动惯量的测量实验报告

北方民族大学基础物理实验中心 大学物理实验指导书 53 实验三、刚体转动惯量的测量 转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物 理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于 质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动 惯量。对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当 困难的，通常要用实验的方法来测定其转动惯量。 实验上测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的特 定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。测定转动惯量的实验方法较多， 如拉伸法、扭摆法、三线摆法等，本实验利用“刚体转动惯量实验仪”来测定刚体的转动惯 量。为了便于与理论计算比较，本实验采用形状规则的圆形铝圈。 实验目的 1、 掌握电子毫秒计的使用； 2、 掌握利用最小二乘法处理线性数据的方法； 3、 掌握由转动定律测转动惯量的方法。 实验仪器 JM—2 型转动惯量仪、MUJ——6B 型电脑通用计时器、YP3001N 型电子天平、量程 125mm，分 度值 0.02mm 游标卡尺、量程 50cm 钢板尺 转动惯量仪：由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒和小滑轮组成,如图所示。承物台 转动时固定在载物台边缘并随之转动的遮光细棒，每转动半圈（ πθ = ）遮挡一次固定在底 座圆周直径相对两端的光电门，即产生一个光电脉冲送入光电计时计数仪，计数器将计下时 间和遮挡次数。计数器从第一次挡光（第一个光电脉冲发生）开始计时、计数，并且可以连 续记录，存储多个脉冲时间。塔轮上有五个不同半径的绕线轮，中间一个的半径为 2.5cm， 其余每相邻两个塔轮之间的半径相差 0.5cm。砝码钩上可以放置一定数量的砝码，重力矩作 为外力矩，结构如图： 第三部分 基本实验-----刚体转动惯量的测量 54 转动惯量仪结构图 1、砝码，2、滑轮，3、光电门，4、承物台，5、绕线塔轮，6、遮光细棒 实验原理 利用转动定律公式： αJM = （1） 定轴转动系统的力矩由砝码重力所产生的拉力和系统阻力两部分组成，并且从静止开始转 动，则有下列公式 μMmgdM −= 2/ （2） 2 2 1 tαθ = （3） 联立有 2 24 rMJm gdt gd θ= + （4） 由上面公式可知，砝码质量与转过θ 所用的时间平方分之一为线性关系，由此可以通过改变 砝码质量 m，测得一系列的 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 1, t m ，通过最小二乘法公式，可求得斜率 b 和截矩 a gdMa gdJb /2 /4 μ θ = = （5） 从而可求得转动惯量： θ4/gdbJ = 2/gdaM =μ 北方民族大学基础物理实验中心 大学物理实验指导书 55 铝圈转动惯量为全系统和空载转动惯量之差： 21 JJJ −= （6） 最后得到 ( )214 bb gdJ −= θ （7） 实验内容 1. 测量全系统（加铝圈）时在不同重量的砝码牵引下，转过两圈所用的时间 2. 测量空载时在不同重量的砝码牵引下，转过两圈所用的时间 3. 测量绕线塔轮的直径 4. 测量铝圈的相关参数 实验步骤 一、调整转动惯量仪初始状态 1. 移动转动惯量仪到实验桌合适位置，以方便操作为宜； 2. 使用水平仪调整转动惯量仪与桌面接触的 3 个脚，使其水平； 3. 确定绕线塔轮轮槽，一般选取从上往下的第三个轮槽 4. 试绕线：将线的末端打结，卡在轮槽边缘的狭缝里，然后均匀缠绕在轮槽上（注意不要 有绞缠），一般缠绕 3 圈以上为宜，然后将悬挂有砝码底座的线的另一端通过桌边固定 的滑轮引出，让其自由垂下； 5. 通过观察轮槽与滑轮之间的细线是否水平来调节桌边滑轮的高度，使滑轮轮槽与绕线塔 轮轮槽保持基本水平 6. 在自由垂下的砝码底座上加砝码，调节砝码基本静止，然后释放，让系统自由转动，观 察系统是否可以顺滑的转动（注意是否有磕碰，若有磕碰，需检查原因以排除） 二、选择数字毫秒计的功能和参数 1. 打开插线板电路开关，按下数字毫秒计的“power”键，使数字毫秒计处于工作状态； 2. 连续按下“功能”键，将数字毫秒计的功能选定在“周期”上； 3. 按住转换键，使周期参数从 0 开始增加，到“2”时松开转换键（数字毫秒计计时圈数 为两圈） 4. 试运行：将遮光杆放入光电门内，然后释放，直到数字毫秒计显示时间，观察转过圈数 是否为两圈，制动系统 三、测量全系统（加铝圈）不同质量砝码牵引下，转过两圈所用的时间 1. 确定自己所要选取的 7个不同质量（从 20 克开始，可选择每次增加 10 克或 5 克，够 7 组为止），填写到原始数据中； 第三部分 基本实验-----刚体转动惯量的测量 56 2. 把铝圈放到转动平台上（注意铝圈边缘要和平台边缘完全重合） 3. 选择自己原始数据表格中的一个质量，把合适砝码加到底座上，使总质量（加砝码底座） 达到预期，使砝码自由垂下，保持基本静止； 4. 把遮光杆放到光电门中，按下数字毫秒计“功能”键，然后释放，数字毫秒计显示时间 时制动，记录砝码加底座质量和数字毫秒计时间，填在原始数据记录纸相应表格中。 5. 换下一个质量，重复步骤 3、4，直到测完 7 组数据。 6. 检查自己测量数据，是否有异常值，若有异常值，则对异常的一组或几组重新测量 四、测量全系统（不加铝圈）不同质量砝码牵引下，转过两圈所用的时间 1. 把铝圈从转动平台上取下 2. 采用全系统时所选取的 7 组质量，填写到原始数据表格中 3. 选择自己原始数据表格中的一个质量，把合适砝码加到底座上，使总质量（加砝码底座） 达到预期，使砝码自由垂下，保持基本静止； 4. 把遮光杆放到光电门中，按下数字毫秒计“功能”键，然后释放，数字毫秒计显示时间 时制动，记录砝码加底座质量和数字毫秒计时间，填在原始数据记录纸相应表格中。 5. 换下一个质量，重复步骤 3、4，直到测完 7 组数据。 6. 检查自己测量数据，是否有异常值，若有异常值，则对异常的一组或几组重新测量 五、关掉数字毫秒计，将细线从轮槽取下，连带砝码整理好放回原位 六、使用游标卡尺测定绕线轮槽直径（单次测量），并记录数据 七、铝圈参数测定 1. 用钢板尺测量铝圈的外径，并记录数据 2. 用钢板尺测量铝圈的内径，并记录数据 3. 用电子天平测量铝圈的质量，并记录数据 八、将实验数据交老师签字；整理仪器，离开实验室 注意事项 1、 开始必须调节转动惯量测试仪处于水平状态； 2、 细线缠绕时，尽量均匀分布，不要有绞缠； 3、 必须使滑轮的凹槽和绕线轮盘在同一水平面上； 4、 必须使滑轮的凹槽在绕线轮盘的切线方向上； 5、 砝码总质量必须包括砝码底座质量； 6、 释放砝码时，必须使砝码处于基本静止的铅直状态； 北方民族大学基础物理实验中心 大学物理实验指导书 57 7、 释放砝码时，遮光杆必须在光电门内； 8、 系统转动时，不能有磕碰或现象； 9、 全系统时铝圈外延必须和转动平台的外沿基本重合； 10、测量时要在释放砝码的前一步才按下数字毫秒计的“功能”键，不能过早按下。 思考题 1、分析相对误差是大还是小，说明一下本次实验是否成功 2、如本次实验不成功，试分析原因何在？是系统误差还是随机误差。 参考文献 [1].成正维.大学物理实验.北京：高等教育出版社，2002 第三部分 基本实验-----刚体转动惯量的测量 58 附录 1：数据记录及数据处理 1．数据记录表 实验室温度： 实验室湿度： 实验仪器： &&仪器名称和型号，若无型号，请记录仪器量程或等级 表一、全系统时不同质量条件下的实验数据（θ 取 π4 ） i 1 2 3 4 5 6 7 砝码质量m /g 转过两圈的时间 /t S 时间平方分之一 2 1 t / 2 1 S 表二：空载时不同质量条件下的实验数据（θ 取 π4 ） i 砝码质量m /g 转过两圈的时间 t /s 时间平方分之一 2 1 t / 2 1 S 表三：绕线塔轮直径 d /mm 表四：铝圈参数 m/g 外径 1D /mm 内径 1D /mm 2．数据处理 一、统一单位制 二、数据计算 1、砝码质量与转过的时间平方分之一为线性关系，利用原始数据中全系统和空载的 北方民族大学基础物理实验中心 大学物理实验指导书 59 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 1, t m ，代入最小二乘法公式，可分别求得斜率 1b 和 2b 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ***b m m t t t t ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= • − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ （单位） 代入转动惯量公式，可求得 ( ) )*(** 4 21 单位=−= bbgdJ θ 2、斜率的不确定度可按下式来估计 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 122 2 2 = 1 1n n n n x y mt E b x x y y m m t t ⎛ ⎞Δ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠= + +− − −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) bbEbu ⋅= 式中的 ixΔ 和 iyΔ 为每次测量的最大允差 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 2 2 22 11 111 ∑∑ ∑∑ Δ=Δ=Δ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛Δ=Δ=Δ ii i i m n y n y tn x n x 本实验对每一次时间和质量的测量的最大允差取为 st 1.0=Δ 和 0.5m gΔ = 克，则 3 2 1 2 i i t t t −Δ = Δ ， 0.5im gΔ = ，带入上式可分别求得 1b 和 2b 的不确定度，转动惯量 J 的不确 定度可按照不确定度传递公式，计算如下： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 2 4 J J J gu J u b u b u d d u b u b u d b b b b d θ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 其中 ( ) 0.02mu d mm= Δ = 3、根据转动惯量的数学公式计算转动惯量： ( ) ( )单位*** 8 2 1 2 1 =+= DDMJ 4、根据理论公式算的结果计算相对误差： ( )( ) ***%100)( =×−= 理论理论实验相对误差 J JJ 第三部分 基本实验-----刚体转动惯量的测量 60 附录 2：MUJ----6B 电脑通用计数器使用说明书 一、主要特点 本机采用单片微处理器,程序化控制,是一种最新的智能化仪器。可广泛应用于各 种计时、计数测频、测速实验中。在与气垫导轨配套使用时，除具有一般数字计时器同样的 功能，还具有将所测时间直接转换为速度、加速度值的特殊功能，使你能更加自如地完成实 验。本机具有记忆存储功能，可记忆多组实验数据，在较短的时间内完成气垫导轨分组实验， 关闭气源，实验室将会有一个十分安静的环境，实验人员集中精力进行数据处理，从而减少 了气源对环境的污染，最大限度地减少了气源炭粉给气垫导轨带来的损害。本机还可与自由 落体仪配套使用。为使广大用户操作更加便捷，本机只设置了四只操作键,同时设置了可转 换的十种功能。时标基准根据测量结果自动定位。你在实验中任意选择光电门数量，仪器会 自动判定有几只光电门。在工作采集数据均为挡光前沿触发，请你仔细阅读使用说明书后， 使用本仪器，你会感到实验更加方便、快捷。 二、仪器技术指标 1、显示方式： 6 位 0.8〞LED 数码管 2、计时范围： 0.00ms～35.50min 3、计数范围： 0～999999 4、周期数范围： 1～9999 5、测加速度范围： 0.00cm/s2～2000 cm/s2 6、测速范围： 0.00cm/s～2000 cm/s 7、测频范围： 1HZ～20MHZ 8、电周期范围： 0 .5HZ ～200KHZ 9、测频输入电压： 0.1V ～100V 10、信号源输入： 1HZ，10HZ，100HZ，1000HZ，10000HZ 11、光电输入： 双路、4 门 12、电磁铁插口： 1 个（P1 光电门兼用） 13、电源电压： 220V±10%AC 三、工作原理 本机以 51 系列单片微机为中央处理器,并编入与气垫导轨等实验相适应的数据处理程 序,具备多组实验的记忆存储功能,通过功能选择复位键输入指令,通过数值转换键设定所需 数值,提取数据键提取记忆存储的实验数据.P1,P2 光电输入口采集数据信号,由中央处理器 北方民族大学基础物理实验中心 大学物理实验指导书 61 处理,LED 数码显示屏显示各种测量结果. 四、面板各部位的作用 1.前面板 ①测频输入口 ②LED 显示屏 ③功能转换指示灯 ④测量单位指示灯 ⑤功能选 择/复位键 ⑥数值转换键 ⑦取数键 ⑧电磁铁键 ⑨电磁铁开关指示灯 2.后面板 ①P1 光电门插口(外侧口兼电磁铁插口) ②P2 光电门插口 ③频标输出插口 ④电源线 ⑤电源开关 四个功能键的功能 1. 功能键: 用于十种功能的选择及取消显示数据复位.如按下功能键前,光电门遮过光,则 清“0”,功能复位.光电门没遮过光时,按功能键,仪器将选择新的功能.或按下功能键不 放,可循环选择功能,至你所需的功能灯亮时,放开此键即可。 2. 转换键: 用于测量单位的转换,挡光片宽度的设定及简谐运动周期值的设定。 在计时、加速度、碰撞功能时,按下转换键小于 1 秒时,测量值在时间或速度之间转 第三部分 基本实验-----刚体转动惯量的测量 62 换.按下转换键大于 1 秒时,可重新选择你所需要的挡光片宽度 1.0cm 、3.0cm、 4.0cm、 5.0cm 、10.0cm,确认到你选用的挡光片宽度放开此键即可. 3. 取数键: 在计时1(S1),计时2(S2),加速度(a),碰撞(PZh),周期(T)和重力加速度(g)功能 时,仪器可自动保留前几次实验测量值,按下取数键,可显示存入值.当显“E×”,提示将 显示存入的第×次实验值.在显示存入值过程中,按下功能键,会清除已存入的数值. 4. 电磁铁键：按动此键可改变电磁铁的吸合(键上方发光管亮),放开(键上方发光管灭). 五、仪器功能与操作 如要显示速度值,请确认你使用的挡光片与你设定的挡光片宽度应相等.(仅显示时间时 可忽略此项操作).每次开机,挡光片宽度自动设定为 1.0cm. 光电门组装请看附图 1.计时 1(S1): 测量对任一光电门的挡光时间,可连续测量.自动存入前 20 个数据,按下取数键可查看. 2.计时 2(S2): 测量P1口或P2口光电门两次挡光时间间隔及自由落体仪配套滑块通过P1口或P2口光 电门的速度.本仪器可自动存入前 20 个数据,按下取数键可查看. 3.加速度(a): 测量滑块通过每个光电门的速度及通过相邻光电门的时间或这段路程的加速度 a. 本机会循环显示下列数据 1 第一个光电门 × × × × × × 第一个光电门测量值 2 第二个光电门 × × × × × × 第二个光电门测量值 1-2 第一至第二光电门 × × × × × × 第一至第二光电门测量值 如连接 3 个或 4 个光电门时,将继续显示 3,2-3,4,3-4 段的测量值。只有再按功能 键,清“0”,方可选择下一次测量。 本仪器除显示本次实验数据还可: 1、 存储 2 只光电门前 4 次实验测量值。 2、 存储 3～4 只光电门前 2次实验测量值。 3、 按下取数键可查看存储测量值。 北方民族大学基础物理实验中心 大学物理实验指导书 63 4. 碰撞(PZh):等质量或不等质量碰撞. P1口、 P2口各接一个光电门,两只滑行器上装好相同宽度的凹形挡光片和碰撞弹簧, 让滑行器从气轨两端向中间运动,各自通过一个光电门后相撞,相撞后根据滑行器质量、 初速度的不同分别通过光电门. 本机会循环显示下列数据: P1.1 P1 口光电门第一次通过 ××××××××× P1 口光电门第一次测量值 P1.2 P1 口光电门第二次通过 ××××××××× P1 口光电门第二次测量值 P2.1 P2 口光电门第一次通过 ××××××××× P2 口光电门第一次测量值 P2.2 P2 口光电门第二次通过 ××××××××× P2 口光电门第二次测量值 （1）、如滑块 3 次通过 P1 口,本机将不显示 P2.2 而显示 P1.3 （2）、如滑块 3 次通过 P2 口,本机将不显示 P1.2 而显示 P2.3 本仪器除显示本次实验数据,还可以记忆存储前 4 次实验的测量值.按下取数键可查看. 5. 周期(T):测量简谐运动 1～9999 周期的时间.可选用以下二种方法测量. 不设定周期数:在周期数显示为0时,每完成一个周期,显示周期数会加1.按下转换键即 停止测量.显示最后一个周期数约 1秒后，显示累计时间值。 设定周期数:按下转换键不放,确认到你所需周期数时放开此键即可.(只能设定 100 以 内的周期数.)每完成一个周期,显示周期数会自动减 1,当最后一次遮光完成,显示累计时间 值。按取数键可显示本次实验(最多前 20 个周期)每个周期的测量值,如显示 E2(表示第二个 周期), ×××××××××(第二个周期的时间)……。 待运动平稳后,按功能键,即可重新开 始测量。 6.重力加速度(g): 将电磁铁插入 P1 光电门外侧插口,两个光电门插入 P2 光电门插口,电磁铁键上方发光 管亮时,吸上小钢球;按电磁铁键,小钢球下落(同步计时),到小钢球前沿遮住光电门(计录时 间),显示： 1 第一个光电门 ××××××××× t1值 第三部分 基本实验-----刚体转动惯量的测量 64 2 第二个光电门 ××××××××× t2值 注:第三个光电门插在 P1 光电门内侧插口,还可测到第 3 个数值 因:h1=（1/2）gt12 h2=（1/2）gt22 故有：g1=2(h2-h1)/（t22-t12） (h2-h1)为两光电门之间距离 将两光电门之间距离设定大些，可减小测量误差。 本仪器除显示本次实验数据，还可存储前 5 次实验测量值。按下取数键可查看。按功能 键或电磁铁键，仪器可自动清“0”，电磁铁吸合。 重力加速度的测量方法，还可用计时 2（S2）功能测量，具体方法请见我厂自由落体仪 使用说明书。 7、计数（J）：测量光电门的遮光次数。 8、测频（f）：可测量正弦波、方波、三角波。 将本机附带的测频输入线连接在前面板测频输入口上，另一端的红黑两色夹子分别夹在 被测信号的输出端及公共地线上。在电周期功能时，按转换键可转换到测频功能。 说明：当被测信号大于 1MHz，如显示 5628.86 KHz，需查看尾数时，按取数键将会在显 示屏左端显示×。则此次测量值应为 5628.86×KHz。 9、电周期（T0）： TD=1/f，频率较低时，用电周期测量频率值较准确；连接方法详见测频章节。 10、信号源（XH）：将信号源输出插头插入信号源输出插口，可输出频率为：10.000、1.000、 0.100、0.010、0.001 单位为 KHz 的方波信号，按转换键可改变电信号的频率。 如果测试信号误差较大，请检查本仪器地线与测试仪器地线是否相连接。 六、本机的自检、调整和维护 本机具有自检功能。按住提取数据键不放，再开启电源开关，数码管显示“222222” “5.5.5.5.5.5.”,发光二极管全亮，执行自检，最终显示 23.50ms，表示本机工作正常。 若本机无计时功能，请检查光电门是否正常，出现其他故障请与厂家联系或请专业人员修理。 注意事项 1、 测量时间大于计时范围时，显示 0.0.0.或单位指示灯不亮； 2、 测量时间小于 1ms 或大于 99.999s，按转换键想转换为速度时，只显示 0.0.0.， 表示超范围转换； 3、 避免使仪器接近太阳光，否则影响仪器的性能。