3-3 系统的时域分析

null系统的时域分析系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应 连续时间系统的冲激响应 卷积积分及其性质 离散时间LTI系统的响应 离散时间系统的单位脉冲响应 卷积和及其性质 冲激响应表示的系统特性   离散时间LTI系统的响应   离散时间LTI系统的响应 迭代法求系统响应 经典时域法求系统响应 卷积法求系统响应 零输入响应求解 零状态响应求解   离散时间LTI系统的响应   离散时间LTI系统的响应 离散时间LTI系统 的数学模型为2. 经典时域分析方法:求解差分方程3. 卷积法:系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应 求解齐次差分方程得到零输入响应 利用卷积和可求出零状态响应   系统响应求解方法:1. 迭代法:一、迭代法一、迭代法 已知 n 个初始状态{ y[-1], y[-2], y[-2],∙∙∙∙, y[-n] }和输入，由差分方程迭代出系统的输出。null[例] 一阶线性常系数差分方程 y[k]-0.5y[k-1]=u[k], y[-1] = 1，用递推法求解差分方程。解： 将差分方程写成代入初始状态，可求得依此类推缺点：很难得到闭合形式的解。二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法 差分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解yh[k]和特解yp[k]组成:齐次解yh[k]的形式由齐次方程的特征根确定特解yp[k]的形式由方程右边激励信号的形式确定二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法后向差分方程式的齐次方程为二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法(1) 特征根是不等实根 r1, r2, , rn(2) 特征根是等实根 r1=r2==rn (3) 特征根是成对共轭复根 齐次解的形式二、经典时域分析方法二、经典时域分析方法 常用激励信号对应的特解形式ak (a不是特征根)ak (a是特征根)null[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 y[k]-5y[k-1]+6y[k-2] = f [k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = -1，输入信号 f [k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。特征根为齐次解yh[k]解 ： (1) 求齐次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2] = 0的齐次解yh[k] 特征方程为null解 ：(2) 求非齐次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2] =f[k]的特解yp[k]由输入f [k]的形式，设方程的特解为将特解带入原微分方程即可求得常数A= -2。[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 y[k]-5y[k-1]+6y[k-2] = f [k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = -1，输入信号 f [k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。null解 ：(3) 求方程的全解，即系统的完全响应y[k]解得 C1= -1，C2= 1 [例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 y[k]-5y[k-1]+6y[k-2] = f [k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = -1，输入信号 f [k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。null1) 若初始条件不变，输入信号 f[k] = sin0 k u[k]，则系统的完全响应y[k]=？2) 若输入信号不变，初始条件y[0]=1, y[1]=1, 则系统的完全响应y[k]=？经典法不足之处经典法不足之处 若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。三、卷积法三、卷积法系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。   数学模型: 求解方法： 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式 再由初始状态确定待定系数。 null[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+3y[k-1]+2y[k-2]=f[k] 系统的初始状态为y[-1]=0， y[-2]= 1/2，求系统的零输入响应yx[k] 。解： 系统的特征方程为系统的特征根为解得 C1=1，C2= -2null[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+4y[k-1]+4y[k-2]=f[k] 系统的初始状态为y[-1]=0， y[-2]= 1/2，求系统的零输入响应yx[k] 。解： 系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根） 解得 C1 = 4, C2= 4null[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]-0.5y[k-1]+y[k-2] -0.5y[k-3] =f[k] 系统的初始状态为y[-1] = 2， y[-2]= -1， y[-3]= 8，求系统的零输入响应yx[k] 。解： 系统的特征方程为系统的特征根为解得 C1= 1，C2= 0 ，C5= 5三、卷积法三、卷积法系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 求解系统的零状态响应yf [k]方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。 2) 卷积法： 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f [k]产生的响应称为系统的零状态响应，用yf [k]表示。2.系统的零状态响应 卷积法求解系统零状态响应yf [k]的思路卷积法求解系统零状态响应yf [k]的思路1) 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合 2) 求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 —— 单位脉冲响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意序列f [k]激励下系统的零状态响应yf [k] 。卷积法求解系统零状态响应yf [k]推导卷积法求解系统零状态响应yf [k]推导由时不变特性由均匀特性由叠加特性null[例] 若描述某离散系统的差分方程为: 已知激励 , 求系统的零状态响应yf [k]。解：