FreeKaoYan行列式

二、三阶行列式的定义设三元线性方程组用消元法解得令称为三阶行列式_1131112432.unknown_1131112851.unknown_1130180912.unknown§2全排列及其逆序数一、全排列全排列：个不同元素排成一列。可将个不同元素按1~进行编号，则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列。个不同元素的全排列共有种。逆序：取一个排列为排列，其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时，则称这两个元素构成一个逆序。通常取从小到大的排列为标准排列，即1~的全排列中取123为标准排列。_1131113194.unknown_1131113339.unknown_1131113617.unknown_1131113741.unknown_1131113252.unknown_1131113089.unknown二、逆序及逆序数逆序数：一个排列的逆序数的总数称为逆序数。逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。例：讨论1，2，3的全排列。 全排列 123 231 312 132 213 321 逆序数 0 2 2 1 1 3 奇偶性 偶 奇逆序数的计算：设为的一个全排列，则其逆序数为其中为排在前，且比大的数的个数。_1131470731.unknown_1131470869.unknown_1131470889.unknown_1131470915.unknown_1131470857.unknown_1131470689.unknown§3阶行列式的定义下面可用全排列的方式改写二阶，三阶行列式。二阶行列式其中①EMBEDEquation.DSMT4是的全排列，②是的逆序数，③EMBEDEquation.DSMT4是对所有的全排列求和。三阶行列式其中①EMBEDEquation.DSMT4是的全排列，②EMBEDEquation.DSMT4是的逆序数，③EMBEDEquation.DSMT4是对所有的全排列求和。_1131471500.unknown_1131471811.unknown_1131471824.unknown_1131471841.unknown_1131471850.unknown_1131471833.unknown_1131471812.unknown_1131471544.unknown_1131471736.unknown_1131471535.unknown_1131471453.unknown_1131471484.unknown_1131471164.unknownn阶行列式的定义其中①EMBEDEquation.DSMT4是的全排列，②EMBEDEquation.DSMT4是的逆序数，③EMBEDEquation.DSMT4是对所有的全排列求和。_1131471736.unknown_1131472148.unknown_1131472174.unknown_1131472182.unknown_1131472161.unknown_1131471984.unknown_1131471535.unknown§4对换*对换：一个排列中某两个元素的位置互换成为对换。定理1对换一次改变排列的奇偶性。定理2阶行列式为其中为的逆序数。_1131473132.unknown_1147713540.unknown_1147713615.unknown_1131473090.unknown§5行列式的性质定义：设，称为的转置矩阵。性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2行列式互换两行（列），行列式变号。推论行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）的所有元素乘以数，等于用数乘以该行列式。推论行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外。性质4行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零。_1131473546.unknown_1147713974.unknown_1147713994.unknown_1147713650.unknown_1131473213.unknown性质5若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。即若，则性质6把行列式某一行（列）的元素乘以数再加到另一行（列）上，则该行列式不变。_1147714617.unknown_1147714743.unknown_1147714607.unknown例计算解。_1147714935.unknown_1147715636.unknown_1147714857.unknown例计算解。_1147715693.unknown_1147715745.unknown§6行列式按行（列）展开定义在阶行列式中，把元素所处的第行、第列划去，剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为；而称为的代数余子式。_1148018614.unknown_1148018760.unknown_1148018818.unknown_1148018842.unknown_1148018690.unknown_1148018576.unknown_1148018599.unknown_1148018511.unknown引理如果阶行列式中的第行除外其余元素均为零，即则。证先证简单情形：；再证一般情形：_1148019080.unknown_1148019383.unknown_1148020307.unknown_1148020319.unknown_1148019253.unknown_1148018993.unknown_1148019061.unknown_1148018958.unknown定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即（此定理称为行列式按行（列）展开定理）证：_1148020669.unknown_1148021033.unknown_1148021265.unknown_1148021012.unknown_1148020611.unknown例解从而解得。_1148022521.unknown_1148022598.unknown_1148022615.unknown_1148022533.unknown_1148022122.unknown定理的推论行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即结合定理及推论，得或，，其中_1148023399.unknown_1148023598.unknown_1148023806.unknown_1148023845.unknown_1148023649.unknown_1148023515.unknown_1148023349.unknown§7克拉默法则定理（克拉默法则）设线性方程组的系数行列式则上述线性方程组有唯一解：，其中_1148024093.unknown_1148024201.unknown_1148024242.unknown_1148024026.unknown当全为零时，即称之为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组必定有解（）。根据克拉默法则，有1．齐次线性方程组的系数行列式时，则它只有零解（没有非零解）2．反之，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式。_1148024854.unknown_1148025130.unknown_1148025281.unknown_1148025012.unknown_1148024822.unknown